總體方差未知時(shí)k法單側(cè)計(jì)量檢驗(yàn)方案的改進(jìn)

杜子芳，劉亞文，于煥杰

（1.中國人民大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100872；2.對外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué) 統(tǒng)計(jì)學(xué)院，北京 100029）

0 引言

k法是產(chǎn)品計(jì)量抽樣檢驗(yàn)中的常用方法之一。對于其中的單側(cè)檢驗(yàn)而言，在中心極限定理成立假設(shè)下，其抽樣檢驗(yàn)方案（N，n，k）非常簡單，只需要確定n和k兩個(gè)參數(shù)即可。其中N為總體規(guī)模或批量，n是不放回簡單隨機(jī)抽樣方式的樣本量，k是單側(cè)檢驗(yàn)時(shí)的判別依據(jù)—界值。

單側(cè)k法檢驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)背景是，μ0和μ1都是事先給定/規(guī)定/約定的值，分別稱為合格質(zhì)量水平和極限質(zhì)量水平。由于單側(cè)檢驗(yàn)雖有下限與上限之分，但原理是一樣的，不妨只討論單側(cè)下限的計(jì)量檢驗(yàn)的情形，即認(rèn)定當(dāng)產(chǎn)品質(zhì)量特性Y是數(shù)值型隨機(jī)變量時(shí)，其總體均值μ≥μ0時(shí)，認(rèn)為該批產(chǎn)品是合格的，買方應(yīng)予以接收；總體均值μ＜μ1時(shí)，予以拒收。顯然 μ越大越好，買方不希望μ＜μ0，更幾乎不準(zhǔn) μ＜μ1。由于此時(shí)恒有(μ1＜μ0)，否則會(huì)因買方標(biāo)準(zhǔn)高于賣方標(biāo)準(zhǔn)，交易無法達(dá)成。但明顯地，當(dāng)總體均值 μ1≤μ＜μ0時(shí)，無法做出接收還是拒收的判斷。為了對一批產(chǎn)品做出要么接收要么拒收的決斷，基于第三方立場，人們提出了在μ1到μ0之間確定一個(gè)k值，修改檢驗(yàn)或判定準(zhǔn)則為：

1 方案改進(jìn)

針對和總體方差σ2已知的情形（注意這既非罕見的場合，在連續(xù)生產(chǎn)許多批產(chǎn)品的中后期階段尤其如此，亦非如統(tǒng)計(jì)學(xué)理論中的不符合現(xiàn)實(shí)的假設(shè)），W.A.Wallis上世紀(jì)50年代前就有十分完美的結(jié)果：

此即著名的Wallis經(jīng)典公式。自該公式面世以來，國內(nèi)外這方面的研究很少，國外近40年沒見新的文獻(xiàn)，幸而國內(nèi)還有少數(shù)學(xué)者還在關(guān)注。

對于總體方差未知的情形（這種場合常見于孤立批和連續(xù)批的初期階段，且十分吻合統(tǒng)計(jì)學(xué)的理論假設(shè)），Wallis W.A.于1947年也給出了一個(gè)看起來不錯(cuò)且沿用至今的近似結(jié)果：

其推導(dǎo)過程為：

方差未知時(shí)應(yīng)使用t分布解決問題，為此令：

也就是：

當(dāng) μ=μ0時(shí)，P(yˉ≥μ0+ts)=1-α

當(dāng) μ=μ1時(shí)，P(yˉ≥μ0+ts)=β

或

當(dāng) μ=μ0時(shí)，P(yˉ-μ0≥ts)=1-α

當(dāng) μ=μ1時(shí)，P(yˉ-μ0≥ts)=β

進(jìn)一步：

當(dāng) μ=μ0時(shí)

當(dāng) μ=μ1時(shí)

顯然，μ=μ0時(shí)即服從自由度為n-1的中心t分布。

可是，μ=μ1時(shí)，由于不服從N（0，1）分布，從而服從自由度為n-1的非中心t分布。

方差為：

顯然：

當(dāng) μ=μ0時(shí)

當(dāng) μ=μ1時(shí)

不過二者方差是相等的。

因而：

類似地也可得：

盡管這個(gè)結(jié)果只是近似的，且該公式一面世，哥倫比亞大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教研組就指出這個(gè)結(jié)果遠(yuǎn)非準(zhǔn)確，并以表的方式給出了一個(gè)具體比較。

然而令人訝異的是，這個(gè)公式竟然沿用至今，仍然活躍在國際標(biāo)準(zhǔn)和教科書中，似乎并未受到進(jìn)一步的質(zhì)疑和挑戰(zhàn)。哥倫比亞大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)教研組的精確解主要從消除以正態(tài)分布近似t分布所產(chǎn)生誤差的角度，并非給出一個(gè)相應(yīng)的替代方案。事實(shí)上，1979年，E.C.Schilling和D.J.Sommer1979年還基于Wallis經(jīng)典公式和近似公式制作了可用于對不合格品率或百單位缺陷數(shù)的檢驗(yàn)用表，被用于ISO-3951-1981，并因此活躍于對新版ISO標(biāo)準(zhǔn)及各國標(biāo)準(zhǔn)之中。

癥結(jié)在于，人們在幾十年間里似乎沒有發(fā)現(xiàn)上述推導(dǎo)過程一開始就令k=μ0+ts是一處不顯眼的致命錯(cuò)誤，因?yàn)樽屑?xì)思考，從此式可以看出，k的定義只與μ0有關(guān)，而與 μ1無關(guān)，對比上述總體方差σ2已知時(shí)的公式 k=中，μ0與 μ1完全是對稱的情形，則不難知道漠視μ1的存在是不合理的。

事實(shí)上，數(shù)理統(tǒng)計(jì)似乎總是以原假設(shè)成立為優(yōu)先條件進(jìn)行理論推導(dǎo)，不曾意識(shí)到對產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)來說，原假設(shè)與備擇假設(shè)的地位是平等的，而且在計(jì)算過程里，忽視了本質(zhì)上兩個(gè)假設(shè)是允許同時(shí)成立的本原，否則Wallis經(jīng)典公式便不成立。

將k法的下限計(jì)量檢驗(yàn)的判定規(guī)則更“準(zhǔn)確”地表達(dá)為：

原假設(shè)成立即當(dāng) μ=μ0時(shí)

備擇假設(shè)成立即當(dāng) μ=μ1時(shí)

于是當(dāng)總體/批方差σ2已知時(shí)，若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；當(dāng) μ=μ1時(shí)也服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布；則有：

聯(lián)立這兩個(gè)方程即可得到優(yōu)美無比的經(jīng)典公式。換個(gè)角度看，這說明在單側(cè)計(jì)量檢驗(yàn)問題里原假設(shè)與備擇假設(shè)的地位是平等的，允許同時(shí)成立。這與統(tǒng)計(jì)學(xué)的判別分析相似，基于這樣的分析，可以給出一下推導(dǎo)：

設(shè)方差未知但相等，中心極限定理成立，將μ0與μ1一視同仁則：

于是：

這里的公式極其簡潔，完全可與總體方差已知時(shí)Wallis公式相媲美，且與Wallis公式的聯(lián)系十分清晰，只是以t分布代替標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布而已。從檢索結(jié)果看，這個(gè)結(jié)果應(yīng)歸功于中國學(xué)者。需要注意的是，這是精確的結(jié)果，比起前述教科書的近似結(jié)果：不僅精確而且簡潔，更容易解釋。

美中不足的是：

公式右邊存在以n為自變量的參數(shù)，為了克服這一缺陷，國內(nèi)學(xué)者提出的解決方法大致有三種：

（1）基于t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的近似關(guān)系，直觀地提出了在Wallis公式中用樣本方差替代了總體方差的解決辦法；

（2）利用命名為動(dòng)差法的解決辦法，逐漸加大n進(jìn)行試調(diào)查，直至樣本方差穩(wěn)定，然后在Wallis公式中用樣本方差替代了總體方差；

（3）以假設(shè)值代入精確公式，算出相應(yīng)參數(shù)的手段并編成表備查，現(xiàn)行國標(biāo)即采用這種方法。

第一種解決方法實(shí)質(zhì)是以標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似代替t分布，樣本量較小時(shí)弊端明顯；第二種解決方法關(guān)于總體方差的估計(jì)誤差較小，其樣本量必偏大；第三種是目前最好的解決辦法，但通過列出不同的有限的α，β等試算結(jié)果，編制成表讓使用者查表，既不靈活也比較繁瑣，更不適應(yīng)當(dāng)今計(jì)算機(jī)及軟件普及的情況。

針對第三種解決方法的這一瑕疵，本文發(fā)現(xiàn)編制表格本質(zhì)上屬于迭代，所以完全可以嘗試通過迭代法求得最終的n，步驟是：首先以 zα和 zβ代替 tα(n-1)和 tβ(n-1)，求出一個(gè)n*，將n*代入等式右端 tα(n-1)和 tβ(n-1)，求出新的n*；重復(fù)上述步驟直至n*穩(wěn)定下來不再變化為止。嘗試的結(jié)果表明，不論是初值是小還是大，不管離真值是遠(yuǎn)還是近，收斂速度都很快。究其原因，應(yīng)是得益于t分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的高度近似，比較t分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布圖容易發(fā)現(xiàn)，兩者差異的確不大，且差異隨n增加而快速減小。見圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布與t分布密度曲線

2 數(shù)值模擬

表1 第一例數(shù)值迭代過程表

在該例中，只經(jīng)過三步即得到收斂的結(jié)果（見表1），且與依近似公式：

所得樣本量結(jié)果一樣，但t值有所不同，近似的為0.46，依精確公式計(jì)算的為0.470727。

表2 第二例數(shù)值迭代過程表

如表2所示，3次迭代結(jié)果穩(wěn)定于：

但若依近似公式則為：

可見，在方差較大時(shí)，即使需要比較精密的檢驗(yàn)時(shí)，兩者結(jié)果相差不大，這大概是Wallis近似公式能夠“長盛不衰”的緣故。但當(dāng)方差較小時(shí)，兩者的差異是較大的：見表3所示，上例中的方差由256調(diào)到25，則依近似公式樣本量是7，依精確公式迭代是11。

將這些例子的結(jié)果與哥倫比亞大學(xué)統(tǒng)計(jì)教研室的結(jié)果進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，精確公式比近似公式更加接近。其實(shí)由于Wallis近似公式：

表3 方差較小時(shí)的數(shù)值迭代過程表

公式右端第二項(xiàng)是一個(gè)只與α有關(guān)的常數(shù)項(xiàng)，與n無關(guān)，不會(huì)像精確公式那樣隨n增加而收斂于總體方差已知的Wallis經(jīng)典公式。這是很明顯的瑕疵。瑕疵源于：

本文進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，新的精確公式雖然結(jié)論正確，但推導(dǎo)過程卻也存在瑕疵。原本的判定原則：

當(dāng)μ≥μ0時(shí)，認(rèn)為該批產(chǎn)品是合格的；

當(dāng)μ＜μ1時(shí)，認(rèn)為該批產(chǎn)品不合格。

與后來推出完美公式的k法的右側(cè)計(jì)量檢驗(yàn)的判定規(guī)則：

當(dāng) μ=μ0時(shí)，P{yˉ≥k}=1-α

當(dāng) μ=μ1時(shí)，P{yˉ≥k}=β

并不具一一對應(yīng)的等價(jià)性，很明顯，原本的規(guī)則中μ≥μ0和μ＜μ1都是實(shí)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間，而后來的μ=μ0和μ=μ1都是一個(gè)點(diǎn)。更何況：

事實(shí)上，演算表明k與μ0之間的概率遠(yuǎn)小于理論上的0.5-α，足以表明所謂若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的似是而非。

3 結(jié)論

樣本量過大和過小都有弊端。如何合理確定樣本量是產(chǎn)品抽查檢驗(yàn)方案的重要內(nèi)容之一?？茖W(xué)的抽查檢驗(yàn)有助于公平維護(hù)賣方和買方雙方的權(quán)益和利益，促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步，減少交易糾紛，降低抽檢成本。鑒于產(chǎn)品質(zhì)量檢驗(yàn)的重要性，對抽驗(yàn)方案的哪怕些微改進(jìn)都是很有益處的，對于正處在經(jīng)濟(jì)轉(zhuǎn)型產(chǎn)品升級(jí)由制造大國向制造強(qiáng)國奮進(jìn)的中國來說，更具價(jià)值，附帶地還可能有助于爭取國際標(biāo)準(zhǔn)方面的話語權(quán)和存在感。同時(shí)，上面的推導(dǎo)雖然以產(chǎn)品檢驗(yàn)為背景，但其方法可以推廣與任何基于給定兩類錯(cuò)誤的如醫(yī)學(xué)試驗(yàn)、風(fēng)險(xiǎn)控制等統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)領(lǐng)域。

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