基于改進人工魚群算法的模糊時間序列模型

鮮思東，張建鋒

（重慶郵電大學a.復雜系統(tǒng)智能分析與決策重點實驗室；b.自動化學院,重慶 400065）

0 引言

在過去幾十年中，人們提出了許多預測模型來處理各種領(lǐng)域中的預測問題，其中時間序列模型是人們最常用到的預測模型之一，當歷史數(shù)據(jù)為語言值等不確定信息時，經(jīng)典時間序列模型就無法對歷史數(shù)據(jù)進行有效的預測。1965年，Zadeh[1]首次提出模糊集理論,為處理模糊數(shù)據(jù)提供了理論依據(jù)。Song等[2-4]將模糊集理論融入時間序列建模過程,給出了模糊時間序列預測模型(FTS)。在模糊時間序列的研究初期對論域大多采用均等劃分[2，3]，隨著研究的不斷深入,人們打破等區(qū)間劃分限制,給出了一些非等分的論域劃分方法,如基于蟻群算法(GA)[5]、粒子群優(yōu)化算法(PSO)[6-8]的論域劃分方法、基于比例論域劃分方法[9]、基于模糊c均值聚類算法的論域劃分方法[10]和其他非等分論域劃分方法[11，12]。模糊關(guān)系的構(gòu)建對模糊時間序列的預測具有重要的影響，Song[2-4]先定義一個“乘”運算，用預算結(jié)果得到的矩陣表示模糊關(guān)系,而Chen[13]提出一種新的構(gòu)建模糊邏輯關(guān)系矩陣的方法,Aladag[14]提出使用人工神經(jīng)網(wǎng)絡來確定模糊邏輯關(guān)系。

大量的研究表明，模糊論域區(qū)間的劃分方式和模糊邏輯關(guān)系的構(gòu)建方法是影響模糊時間序列模型預測精度最重要的兩個方面。為此,本文通過改進人工魚群算法，給出一種新的模糊時間序列論域區(qū)間的劃分方法，提出一種基于改進人工魚群算法的模糊時間序列預測模型。新模型使用Chen[15]提出的模糊關(guān)系表和模糊邏輯組關(guān)系表來確定模糊關(guān)系。為了獲得較好的預測值，新模型在訓練數(shù)據(jù)集和測試數(shù)據(jù)集兩個階段分別采用Kuo[7]提出的EBN(estimating based on next state）和 MV(master voting）這兩種方法進行預測分析。通過對美國Aalbama大學[2]的注冊人數(shù)進行預測，實驗結(jié)果表明了所提出算法的有效性。

1 模糊時間序列

其中，fAi(?)為模糊集合 Ai的隸屬函數(shù),fAi(?):U→[0，1]:fA(ui)為ui在模糊集A上的模糊隸屬度函數(shù)值,并且 fA(ui)∈[0，1]，1≤i≤n[1]。

定義1：令R中一個子集Y(t)(i=1，2，…)為給定論域,fi(t)(i=1,2,…)為定義在其上的模糊集合，且 F(t)={f1(t)，f2(t)，…},則稱 F(t)為定義在Y(t)上的模糊時間序列[2]。

定義2：假設F(t)由 F(t-1)確定，即F（t-1→F(t)），可以表示為 F(t)=F(t-1)?R(t-1，t),稱作 F(t)的一階模糊時間序列模型,R(t-1，t)為F(t)與F(t-1)之間的模糊關(guān)系[2]。

定義 3：F(t-1)=Ai，F(xiàn)(t)=Aj，則稱 Ai→Aj為一個模糊邏輯關(guān)系（可簡稱為模糊關(guān)系）,其中Ai稱為模糊關(guān)系的前件,Aj稱為模糊關(guān)系的后件[2]（若有模糊關(guān)系重復出現(xiàn),則只保留一組）。

定義4：若模糊時間序列F（t）存在一組模糊邏輯關(guān)系

設U為論域,將U劃分為 n個子區(qū)間,即U={u1，u2，…，un},則定義在論域U中的模糊集合A可表示為：，則模糊邏輯關(guān)系組可以簡記為

2 改進的全局人工魚群算法（IGAFS）

人工魚群算法[16]模擬魚群的群體行為進行隨機尋優(yōu)的搜索，主要包含人工魚的覓食、聚集、追尾等行為,利用局部最優(yōu)信息逐步迭代，達到全局尋優(yōu)的目的。

一條人工魚代表空間中一個點，可以表示為X=(x1，x2，…xn),其中 xi(i=1，2，…n)為欲尋優(yōu)的變量；人工魚個體所在位置的適應度為Y=f(X)，本文的Alabama大學注冊人數(shù)的預測致力于Y最小化;魚群規(guī)模 fishnum,兩條人工魚之間的距離計算公式為，人工魚移動（迭代）的最大步長用step表示；人工魚群的擁擠因子用δ表示;人工魚的感知范圍用νisual表示；移動（迭代）次數(shù)用try_number表示，r為區(qū)間(0,1)內(nèi)的隨機數(shù)。

（1）聚群行為

聚群行為是人工魚個體在移動程中自然地聚集成群向鄰域中心移動的行為。設人工魚當前位置狀態(tài)為Xi,探尋其鄰域內(nèi)(即dij＜νisual)伙伴數(shù)目nf及中心位置Xcenter，計算該聚群中心的適應度（即食物濃度）。在求極小值問題中，如果Ycenter*nf＜δ*Yi,表明中心位置 Xcenter處有較多食物且伙伴數(shù)量不太多,則該人工魚向中心位置Xcenter前進一步。其計算公式為：

否則，繼續(xù)執(zhí)行覓食行為。

（2）追尾行為

追尾行為是一種人工魚向著附近有著最優(yōu)適應度移動的行為。設人工魚當前狀態(tài)為Xi,搜索當前鄰域內(nèi)（即dij＜νisual）的伙伴中適應度值最小的伙伴Xmin,此時其對應的適應度值為Ymin。在求極小值問題中,如果Ymin*nf＜δ*Yi,表明在Xmin處具有較高的食物濃度并且其伙伴數(shù)量不太多,那么朝Xmin前進一步。其計算公式為：

否則，繼續(xù)執(zhí)行覓食行為。

（3）覓食行為

覓食行為是人工魚根據(jù)食物濃度趨向較優(yōu)適應度的基本行為。設人工魚當前位置狀態(tài)為Xi,在其感知鄰近范圍內(nèi)隨機選擇一個狀態(tài)Xj：

式中,Rand()是一個介于-1和1之間的隨機數(shù),在求解極值問題中,若Yi＞Yj,則向該位置前進移動一步：

反之,在鄰近范圍內(nèi)重新隨機選擇狀態(tài)Xj,判斷是否滿足前進迭代的條件,反復嘗試try_number次后，如果仍不滿足前進移動條件,則執(zhí)行下一步的隨機行為。

（4）隨機行為

隨機行為就是在人工魚的視野中隨機選擇一個位置狀態(tài),然后向該方向移動，其他它是覓食行為的一個缺省行為。計算公式為：

其中，Rand()是一個介于-1和1之間的隨機數(shù)。

另外，人工魚群算法通過設置公告牌來記錄最優(yōu)狀態(tài)和當前迭代的最優(yōu)人工魚位置信息。

為了提高人工魚群算法的全局搜索能力,克服傳統(tǒng)人工魚群算法計算精度低、后期收斂速度慢、復雜度較高等缺點,江銘炎和袁東風[17]在人工魚的位置更新公式中加入全局最優(yōu)信息,提出了全局人工魚群算法(GAFS)。但是該GAFS中各人工魚在隨機行為階段只能在其視野范圍內(nèi)產(chǎn)生隨機狀態(tài),這就使得各條人工魚的搜索范圍太小,不利于算法跳出局部最優(yōu)。

為了擴大每條人工魚的搜索范圍。本文在隨機行為階段,將隨機狀態(tài)的選擇范圍擴大到整個魚群搜索區(qū)域,從而增強了全局人工魚群算法跳出局部最優(yōu)解的能力。AFS算法中魚的聚群、追尾、覓食和隨機行為的公式（2）、公式（3）、公式（5）和公式（6）修改為如下新的公式：

其中，Xbest為全局最優(yōu)位置,xmin為人工魚搜索范圍的最小邊界值,xmax為人工魚搜索范圍的最大邊界值。

3IGAFS-FTS預測模型

模糊區(qū)間是模糊時間序列模型建立的基石,模糊區(qū)間劃分是決定模糊時間序列預測精度的關(guān)鍵因素,為了能夠更好地提高預測精度,更加真實地反映數(shù)據(jù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu),本文將IGAFS算法用于模糊區(qū)間的劃分中,建立了IGAFS-FTS預測模型,具體實現(xiàn)步驟如下:

步驟1：設置數(shù)據(jù)集和初始化參數(shù)

將數(shù)據(jù)集中的數(shù)據(jù)分為訓練集和測試集。設置FTS中模糊區(qū)間的個數(shù)n和模型階數(shù)λ,初始化IGAFS算法相關(guān)參數(shù),包括各人工魚所含參數(shù)數(shù)目d=n-1、人工魚的群體規(guī)模 fishnum、最大迭代次數(shù)MAXGEN等。

步驟2：定義論域

步驟3：初始化人工魚的位置并計算其對應的適應度值

在人工魚群算法中,每條人工魚的位置由d維參數(shù)向量 Xid=(xi，1，xi，2，…，xi，d) 來表示,Xid表示論域 U 的一組分隔點。每條人工魚都從論域U內(nèi)隨機產(chǎn)生d個數(shù)據(jù),并將這d個數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列,作為各條人工魚所對應的初始化位置向量,計算此時各條人工魚（即可能解）所對應的適應度值 fitness,適應度值的計算過程如下所示:

步驟3.1：數(shù)據(jù)模糊化

根據(jù)每個人工魚所對應的位置向量來劃分論域U,運用文獻[13]中定義的論域及模糊集的方法將數(shù)據(jù)模糊化,給出相應的模糊時間序列。

步驟3.2：建立模糊邏輯關(guān)系和模糊邏輯關(guān)系組

經(jīng)上文的分析可知,不同的論域劃分所得到的模糊時間序列是不同的,進而所構(gòu)成的模糊邏輯關(guān)系組也是不同的。根據(jù)上一步所確立的各組模糊時間序列數(shù)據(jù)和預先給定的模糊時間序列的模型階數(shù),確立相應的模糊關(guān)系和模糊關(guān)系組表。例如,假設某個具有23個觀測值的時間序列,在某種論域劃分下，得到表1所示的模糊時間序列,表2給出其所對應的模糊關(guān)系組。

表1 樣本模糊時間序列

表2 樣本模糊時間序列的模糊邏輯關(guān)系組

步驟3.3：去模糊化及求預測值

通過對上面得到的各模糊邏輯關(guān)系組進行解模糊運算,進而得到在不同論域劃分下所對應的預測值。訓練與測試數(shù)據(jù)集分別采用EBN和MV這兩種方法來獲得預測值。

在EBN預測方法中:將各個模糊邏輯關(guān)系組中,所含的每條模糊邏輯關(guān)系右件模糊值(Ai)所對應的區(qū)間均分為3塊,然后通過公式（11）計算得到預測結(jié)果：

其中，F(xiàn)(t)為預測值,n為同一個模糊邏輯關(guān)系組中所含的不同模糊邏輯關(guān)系的個數(shù);midk(1≤k≤n)為模糊邏輯關(guān)系右件模糊值Ak所對應區(qū)間的中點值;submidk為將模糊邏輯關(guān)系右件模糊值Ak所對應區(qū)間均分為3個區(qū)間后,其中某個區(qū)間的中點值。例如:表2中所給出的第2個模糊邏輯關(guān)系組,它只有一個右件模糊值A6。此時,本文的目標是預測表1中所給出的第6個觀測值,假設這個觀測值的實際值是76100,A6所對應的模糊區(qū)間為 I6=(75000，76500],將其均分為3個子區(qū)間，此時,其所對應的3個子區(qū)間為。根據(jù)上面這些信息,按照EBN預測方法,可知區(qū)間 I6的中點值為mid6=75750,實數(shù)。因此,得到對應的模糊關(guān)系為F(t-2=在子區(qū)間 SR6.3中,此時76500)/2=76250,進而,可以得到的預測值為：

本文采用等Kuo等[6]提出的MV預測方法來獲得測試數(shù)據(jù)集的預測值,原文獻在建立模糊關(guān)系時使用前λ年的數(shù)據(jù)來做預測,通過MV預測方法來計算測試數(shù)據(jù)集的預測值,預測值計算公式如下：

其中，F(xiàn)(t)為第t年的預測值,λ表示預測用到幾年的數(shù)據(jù),Wh表示前一年的數(shù)據(jù)對預測下年數(shù)據(jù)的影響程度,表示之前第i年模糊數(shù)據(jù)集區(qū)間的中點值,不同的Wh值不同的對應預測精度,選取實驗過程中使得精度最好的Wh。

步驟3.4：計算適應度值

本文采用預測值與實際值的均方誤差(MSE)函數(shù)來評價算法的預測性能,MSE公式如下：

其中，Xforecasted（t） 和 Xactual（t）分別為t時刻樣本數(shù)據(jù)的預測值和實際值,N是預測值的個數(shù)。

在初始化人工魚群階段,比較初始化魚群中各人工魚所對應的適應度值,將最小適應度值所對應的位置向量賦給Xbest。用公告牌來記錄最優(yōu)狀態(tài)和當前迭代的最優(yōu)人工魚位置信息。

步驟4：人工魚行為選擇

每條人工魚分別執(zhí)行IGAFS中的覓食、聚群、追尾和隨機行為等步驟,不斷更新人工魚個體的位置狀態(tài)信息,尋找并保存全局最優(yōu)值,將最優(yōu)人工魚位置向量賦給Xbest。

步驟5：行為終止判斷

對是否達到魚群的最大迭代次數(shù)進行判斷,若未達到最大迭代次數(shù)，則迭代次數(shù)加1,跳轉(zhuǎn)至步驟3繼續(xù)執(zhí)行;若已達到最大迭代次數(shù)，則輸出魚群的最優(yōu)適應度值和最優(yōu)值對應的人工魚位置向量。

4 應用實例

為了驗證所提出算法的有效性,本文選取表3中給出的一組Alabama大學1971—1992年的注冊人數(shù)[2]作為樣本數(shù)據(jù)進行比較研究。

表3 實際注冊人數(shù)、模糊化數(shù)據(jù)

4.1 訓練數(shù)據(jù)集的應用結(jié)果

步驟1：數(shù)據(jù)集設置和參數(shù)初始化

模糊區(qū)間的個數(shù)為n=7,各人工魚所含參數(shù)數(shù)目為d=6,模型階數(shù)λ=2,人工魚的群體規(guī)模 fishnum=100,最大迭代次數(shù)MAXGEN=150,人工魚的感知距離νisual=500,擁擠因子delta=5,最大移動步長step=600*rand（rand為[0,1]內(nèi)的隨機數(shù)）,最大試探次數(shù)try_number=30。

步驟2：定義論域

步驟3：初始化人工魚的位置并計算其對應的適應度值

通過步驟3.1至步驟3.4得到初始化人工魚群的位置向量,并將最小適應度對應的位置向量賦給Xbest。

步驟4：用IGAFS得到全局最優(yōu)適應度值

每條人工魚分別執(zhí)行IGAFS的覓食、聚群、追尾和隨機行為4個步驟，不斷更新人工魚個體的位置狀態(tài)信息,然后保存全局最優(yōu)位置向量值，經(jīng)過150迭代后，得到使MSE結(jié)果最優(yōu)的全局最優(yōu)參數(shù)向量為：

此時，所對應的MSE=48875,結(jié)果如表3所示。

在表4中,將本文提出的預測方法與HPSO（使用2階模糊時間序列）[6],Cheng[12]，CCO6H[18],Egioglu[19]和Chen[20]等模型的預測結(jié)果進行比較,結(jié)果表明在訓練數(shù)據(jù)集階段新方法優(yōu)于其他模型。

表4 不同方法預測結(jié)果比較

4.2 測試數(shù)據(jù)集的應用結(jié)果

為了確定所提出方法預測未來數(shù)據(jù)的能力，將數(shù)據(jù)集中最后的3個觀測值作為測試數(shù)據(jù)集，并對這3個觀測值進行預測。為剩下的19個觀測值創(chuàng)建相應的模糊關(guān)系,預測得到對應測試集中的數(shù)據(jù),通過預測值與實際值的均方誤差(MSE)來評估預測未來數(shù)據(jù)的能力。

本文測試集的分析與其他方法一樣，都是通過MV預測方法，得到測試集中的數(shù)據(jù)。通過大量研究發(fā)現(xiàn)2階模型時可以獲得最好的預測精度。

表5給出在相同的區(qū)間數(shù)目n=7、模型階數(shù)λ=2和Wh=15下,HPSO[6]，AFPSO[21]和本文提出的新方法在測試階段的預測精度。

表5 不同方法預測結(jié)果比較

由表5可以看出本文所提出的方法MSE最小，這表明對于Alabama大學注冊數(shù)據(jù)來說本文所提出的方法在測試階段預測精度是比較好的，并且對未來數(shù)據(jù)的預測性能也是令人滿意的。

5 結(jié)論

論域劃分是影響模糊時間序列模型預測精度的關(guān)鍵因素,本文將改進的全局人工魚群算法用于模糊時間序列論域的劃分,從而提出了一種新的模糊時間序列預測模型,并將提出的方法用來預測Alabama大學注冊人數(shù),最后通過與其他模型進行比較，仿真結(jié)果表明：本文所提出的基于改進人工魚群算法的模糊時間序列預測的有效性,它更好地反映了數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu),提高了預測精度。

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