函數(shù)型非參數(shù)模型的股市曲線預(yù)測

夏道明

（合肥幼兒師范高等?？茖W(xué)校 基礎(chǔ)部，合肥 230013）

0 引言

金融危機(jī)的頻發(fā)會使投資者的財產(chǎn)遭受損失，因此人們迫切希望可以利用各種統(tǒng)計方法來對未來股票市場的行情走勢進(jìn)行模擬、預(yù)測，從而達(dá)到保本升值的目的。隨著經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展，股票市場的地位日益凸顯，也被人們越來越重視，但股票市場極高的復(fù)雜性和不確定性導(dǎo)致人們對股市的預(yù)測有著極大的困難。國內(nèi)外諸多專家學(xué)者也積極致力于股市預(yù)測的研究中，努力建立一個好的預(yù)測模型，以期更好地描述股市的變化。

股市的走勢雖然受到多種因素影響[1]，但股市態(tài)勢變化仍然具有內(nèi)在規(guī)律和特點，是各因素綜合結(jié)果在態(tài)勢上的表現(xiàn)。現(xiàn)有關(guān)于股市預(yù)測的方法主要是傳統(tǒng)的時間序列模型[2]，如常用的AR、ARMA、ARIMA模型等，然而應(yīng)用這些模型的前提是股票時間序列數(shù)據(jù)服從于正態(tài)分布并趨向于平穩(wěn)[3]，因而達(dá)不到有效地對多數(shù)股票數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測的目的[4]。Yi Zuo[4]、Engle R F[5]對其進(jìn)行改進(jìn)，分別提出了ARCH模型和GARCH模型，都可以應(yīng)用于股票時序數(shù)據(jù)處于非正態(tài)分布情況下的預(yù)測。另外，研究人員通過對股票數(shù)據(jù)分析尋找出當(dāng)前觀測值和歷史數(shù)據(jù)值之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系，建立反映股市變化的數(shù)學(xué)模型。王冬琳[6]用基于遺傳算法和半?yún)?shù)回歸的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成的方法，對上證指數(shù)開盤價進(jìn)行預(yù)測研究；汪靈枝[7]在遺傳算法的基礎(chǔ)上改進(jìn)了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)集成個體的連接結(jié)構(gòu)和初始連接權(quán)值，并結(jié)合主成分分析方法，建立了新型的股市預(yù)測模型；姚宏亮[8]基于股票波動典型的M形態(tài)，提出了基于因果關(guān)系的嶺回歸股市態(tài)勢預(yù)測算法，并建立了預(yù)測模型；吳成東等[9]基于人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)，利用BP網(wǎng)絡(luò)對股票市場股價的走勢進(jìn)行了預(yù)測分析；20世紀(jì)70年代，加拿大統(tǒng)計學(xué)家Ramsay將泛函分析、拓?fù)鋵W(xué)與統(tǒng)計學(xué)的數(shù)據(jù)統(tǒng)計相結(jié)合進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，提出函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的方法。這種方法能對無限維或高維空間的曲線數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計分析，更好展現(xiàn)出數(shù)據(jù)變化的規(guī)律，從而挖掘出更多的數(shù)據(jù)信息，更加全面深刻的認(rèn)識問題[10,11]。本文基于函數(shù)型數(shù)據(jù)理論，將函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的思想應(yīng)用于股市，采用2013年3月至2016年11月的上證綜指，建立函數(shù)型非參數(shù)模型，運用核估計的方法，估計有關(guān)參數(shù)值達(dá)到預(yù)測股市的目的，同時與傳統(tǒng)領(lǐng)域中經(jīng)典自回歸方法進(jìn)行比較，展示出函數(shù)型非參數(shù)模型的優(yōu)越性。

1 函數(shù)型非參數(shù)預(yù)測模型

1.1 函數(shù)型非參數(shù)模型

設(shè)n個樣本{(Xi，Yi)}來自如下函數(shù)型非參數(shù)模型：

其中，Xi為解釋變量，它是函數(shù)型變量，Yi是響應(yīng)變量，它是實值變量，εi為實值隨機(jī)變量，其滿足E(εi|Xi)=0 ，m(?)是未知算子。Ferraty 和 Vieu（2006）[12]利用Nadaraya-Watson(N-W)核估計方法研究了在給定X=x時Y的條件分布函數(shù)的估計，定義如下：

其中K、H為核函數(shù)，光滑參數(shù)h:=hn、g:=gn滿足為半度量表示兩個函數(shù)型樣本xi、xj之間的相近程度。由式（2）可以得到m(x)的一個函數(shù)型條件分位數(shù)的估計量：

對于上述核函數(shù)、半度量及光滑參數(shù)的所選方法參見文獻(xiàn)[12]。

1.2 預(yù)測過程

上證綜指數(shù)據(jù)的變化過程是一個連續(xù)過程，視為一條連續(xù)曲線，具有函數(shù)型數(shù)據(jù)特征。設(shè)上證綜指為一個隨機(jī)變量S在某時間段t∈[a，a+nτ]的觀測數(shù)據(jù)構(gòu)成的一個連續(xù)的時間序列{S(t)，t∈[a，a+nτ]}。根據(jù)對股指中長期的預(yù)測，為了使預(yù)測效果更明顯及計算方便，本文選取τ=30作為觀測周期，其中a∈{1，2，...，30}。則觀測到的股指數(shù)據(jù)可以看作是按觀測周期τ重復(fù)進(jìn)行觀測得到的。從函數(shù)型數(shù)據(jù)的角度看，將觀測周期τ內(nèi)觀測到的數(shù)據(jù)視為一個觀測段si：

由式（4）知，可以將觀測區(qū)間[a，a+nτ]上的觀測值S(t)轉(zhuǎn)化為函數(shù)型時間序列{s1，s2，...，sn} 。在實際生活中，股指是按每日收盤時刻 r1，r2，...，rl收集的數(shù)據(jù)，因此本文在觀測段si所得到的函數(shù)型數(shù)據(jù)為：

將時間序列轉(zhuǎn)化為函數(shù)型數(shù)據(jù)條件，利用已知的函數(shù)型數(shù)據(jù){s1，s2，...，sn}對下一個觀測段sn+1進(jìn)行預(yù)測。利用函數(shù)型數(shù)據(jù) {s1，s2，...，sn}構(gòu)建函數(shù)型數(shù)據(jù) (Xi，Yi)并對條件分位數(shù)函數(shù) m進(jìn)行估計，其中τ)，i=1，2，...，n-1。由式（2）得到函數(shù)型數(shù)據(jù)預(yù)測模型：

當(dāng) x=sn時得到 sn的預(yù)測值基于函數(shù)型非參數(shù)模型的股指的中長期預(yù)測步驟主要為以下幾個部分：

（1）確定觀測時間區(qū)間[a，b]、觀測周期τ。

（3）確定式（2）中核函數(shù)K、H，半度量 d(?，?)以及光滑參數(shù)h、g的選取方法，確定α值。

2 實例分析

本文采用上證綜指2013年4月至2016年12月每日的股指數(shù)據(jù)對上述模型進(jìn)行分析。首先，對每日的股指數(shù)據(jù)進(jìn)行描述，作出其時間序列圖。其次，對上述函數(shù)型非參數(shù)模型進(jìn)行參數(shù)選取。最終，得到預(yù)測值，并與實際值進(jìn)行比較，將通過圖像展示其預(yù)測效果。

2.1 上證綜指每日數(shù)據(jù)

上證綜指數(shù)據(jù)可以看作一列實際的時間序列數(shù)據(jù)，由N=900，{S(t)，t=1，2，...，900}個數(shù)據(jù)組成。圖1表示每日上證綜指數(shù)據(jù)的時間序列圖。

2.2 參數(shù)選取及預(yù)測過程

在式（5）中，本文選取的核函數(shù)為：

圖1 每日上證綜指序列圖(2013.4.24—2016.12.30)

半度量選取的一般形式為：

其中次數(shù)q的選擇影響著曲線的擬合程度。另一個影響著曲線的擬合為核函數(shù)中光滑參數(shù)h、g的選取，光滑參數(shù)h由交叉驗證自動選取窗寬，對于g的選取主要通過交叉驗證的k近鄰的方法進(jìn)行選取gk，對于k選取的具體過程可以參考文獻(xiàn)[12]。

本文將900個股指數(shù)據(jù)分為三十組，即τ=30，則每個觀測周期內(nèi)所觀測到的數(shù)據(jù)為三十個。這樣就把900個數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化生成為30條函數(shù)型數(shù)據(jù)曲線，從而減少了數(shù)據(jù)處理的維度，避免維數(shù)災(zāi)難的發(fā)生。為了體現(xiàn)本模型的優(yōu)點，本文通過前29條曲線預(yù)測第30條曲線，并與第30條曲線進(jìn)行對比。主要預(yù)測過程為以下步驟：

步驟1：由式（4）構(gòu)造函數(shù)型數(shù)據(jù) (si，Yi)i=1，...，28，代入式（5）得到第29組數(shù)據(jù)。

步驟2：確定選取q值標(biāo)準(zhǔn)：本文通過不同的q值比較均方誤差（MSE）：

步驟3：通過合適的q值，光滑參數(shù)h、gK，核函數(shù)確定最終的合適非參數(shù)模型。當(dāng)x=s29時，由式（5）得到第30組數(shù)據(jù)，將其轉(zhuǎn)化成曲線。

2.3 預(yù)測結(jié)果

基于函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法，本文將870個數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為29條曲線，減少了數(shù)據(jù)處理的維度，避免由維數(shù)災(zāi)難而造成的預(yù)測不準(zhǔn)。從圖2可以看出在函數(shù)型非參數(shù)模型下，通過29條曲線建立的模型對第30條曲線進(jìn)行預(yù)測時表現(xiàn)出很好的預(yù)測效果，預(yù)測的偏差較少。

2.4 模型預(yù)測對比

股市數(shù)據(jù)為時間序列數(shù)據(jù)，現(xiàn)有關(guān)于股市預(yù)測的方法主要是一些傳統(tǒng)的時間序列模型，本文將函數(shù)型非參數(shù)模型與傳統(tǒng)的時間序列模型相比較，并對結(jié)果進(jìn)行分析。

本文主要通過李志林[13]提出的自回歸方法對上述數(shù)據(jù)建立模型進(jìn)行預(yù)測。首先對樣本取對數(shù)再取一階差分，將非平穩(wěn)時間序列平穩(wěn)化。計算差分后的序列的樣本相關(guān)函數(shù)，如圖3所示。

圖2 函數(shù)型非參數(shù)模型預(yù)測的結(jié)果

圖3 一階差分自相關(guān)函數(shù)

從圖3中可看到，對數(shù)據(jù)進(jìn)行一階差分后，自相關(guān)函數(shù)在零附近徘徊，說明序列是平穩(wěn)的。由AIC準(zhǔn)則判斷模型為AR(2)。本文利用前870個數(shù)據(jù)確定模型為：Xk=0.1018Xk-1-0.0316Xk-2+εk,然后預(yù)測后30個數(shù)據(jù)，得到的預(yù)測曲線（虛線）與實際曲線（實線）的對比如圖4所示。

圖4 自回歸模型

由圖4可以看出，除了最高點周圍的一些數(shù)據(jù)，大體上來說前600個數(shù)據(jù)預(yù)測較好，600～870個數(shù)據(jù)有些誤差，但誤差不大，因此本文認(rèn)為此回歸模型是有效的，然后比較預(yù)測數(shù)據(jù)。從圖中可以看出，預(yù)測的30個數(shù)據(jù)與實際數(shù)據(jù)差距較大，實際中股市是下降的，而預(yù)測出的卻是上揚的。在時間序列模型中可以看出，當(dāng)給出的數(shù)據(jù)太多時，有可能造成預(yù)測不準(zhǔn)；但只是運用部分?jǐn)?shù)據(jù)時，雖然能提高預(yù)測的準(zhǔn)確率，但不能充分發(fā)掘數(shù)據(jù)中的信息。

本文的預(yù)測分析方法并不是將離散的觀測數(shù)據(jù)作為一個孤立的點來看待，而是將其看成某區(qū)間段的一條連續(xù)曲線，通過多條曲線建立函數(shù)型數(shù)據(jù)模型，達(dá)到在充分運用已有的數(shù)據(jù)信息下減少處理數(shù)據(jù)的維度避免維數(shù)災(zāi)難，又可以提高預(yù)測結(jié)果準(zhǔn)確性的目的。

3 結(jié)論

本文基于函數(shù)型非參數(shù)模型對上證股指進(jìn)行中長期預(yù)測。該模型是將每日股指變化視為函數(shù)型變量，從函數(shù)型數(shù)據(jù)分析的角度進(jìn)行分析，建立預(yù)測模型，在充分利用挖掘已有的信息下，減少處理數(shù)據(jù)維度，提高預(yù)測準(zhǔn)確性。與已有文獻(xiàn)中的自回歸方法模型相比，本文的函數(shù)型非參數(shù)預(yù)測模型在預(yù)測中長期股指時精度較高，適用于中長期的數(shù)據(jù)預(yù)測。

將函數(shù)型數(shù)據(jù)分析方法應(yīng)用于金融數(shù)據(jù)不僅能夠分析數(shù)據(jù)的函數(shù)特征，也能分析預(yù)測金融發(fā)展趨勢，可以為政府政策制定提供依據(jù)。當(dāng)已有的數(shù)據(jù)不完整出現(xiàn)缺失情況時，如何處理數(shù)據(jù)使其預(yù)測的準(zhǔn)確性不變，可以作為一個研究方向。

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