中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值

何憶捷，熊 斌

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中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值

何憶捷1，2，熊 斌1，2

（1．華東師范大學 數學科學學院，上海 200241；2．上海市核心數學與實踐重點實驗室，上海 200241）

在中學數學范圍內，構造法是一種較為常見、富有特點的解題方法，其非常規性與創造性的思維特點受到一定的認同．構造法解題的4類思維模式包括：考慮特殊情形、聯想與關聯、命題轉換和間接構造．在中學數學教育中融入構造法解題，具備一定的基礎．將構造法解題滲透于教學實踐中，有拓寬思維、培養創造力的特殊意義和教育價值．

構造法；解題；思維模式

在數學上，構造法是指按固定的方式經有限個步驟能夠實現的，用來定義概念或證明命題的方法[1]．構造法由來已久．在中國古代，以秦漢時期《九章算術》與魏晉時期《劉徽注》為代表的中國傳統數學，在從問題出發以解決問題為主旨的發展過程中，建立了以構造性與機械化為特色的算法體系[2]．19世紀末，數學基礎的直覺學派提出構造性數學，并將構造法推向極致．直覺主義先驅克羅尼克主張沒有能行性就不得承認它的存在性，布勞威爾更貫徹和發展了“存在必須被構造”的觀點[1]．直覺主義者對于要確立其存在的那個對象要求一個構造性定義，“這個構造性定義必須由有限個步驟可以確定到任何需要的精確度”[3]．

在中學數學范圍內，構造法是一種較為常見、富有特點的解題方法．一般認為，構造法解題大致可歸結為“構造法作為輔助手段”及“存在性命題的構造證明”這兩方面[4]．例如，構造函數證明不等式，構造解析幾何模型求參數的范圍等，屬于前一方面，這時構造是一種使問題得以轉化的輔助手段，并不是解決問題的目的；而直接列舉出滿足條件的數學對象或反例，導致結論的肯定與否定，則屬于后一方面．需要指出的是，在一些問題中，要求給出滿足條件的所有數學對象，或是滿足條件的某種最優結果，隱含地需要對一部分情況予以證明，對另一部分情況予以否定，這些問題也常常涉及到實例或反例的構造．

這里在中學數學范圍內探討構造法解題的思維特點、思維模式及教育價值．

1 構造法解題的思維特點

許多國內數學教育者論述了構造法解題的思維特點．王延文（1993）認為，構造法解題的實質是根據數學問題的條件或結論的特征，用條件中的元素為“原件”，用已知數學關系為“支架”，在思維中構造出一種相關的數學對象、一種新的數學形式，從而使問題轉化并得到解決，其思維方式上常常表現出簡潔、明快、精巧等特點，常使數學解題突破常規，另辟蹊徑[5]．邵光華（2009）認為，構造法不同于常規的一步步尋求必要條件直至推導出結論的邏輯思維方法，屬于非常規思維，沒有完全固定的模式可以套用，具有鮮明的創造性；反例構建是猜想、試驗、推理等多重并舉的一項綜合性、創造性活動[1]．周春荔（2012）認為，構造是思維中綜合過程的一種最高級的表現形式和結果[6]．

盡管國外的數學教育研究幾乎不涉及“構造法”這一術語，但亦有支持上述觀點的論述．例如，Chamberlin與Moon（2005）認為，構造模型可引發創造行為和更高層次的思考，尤其是在綜合的水平上，其中，模型是指由元素、元素間的關系、描述元素相互作用的操作、以及適用于這些關系與操作的模式或規則所構成的系統[7]．Mednick（1962）將創造性思維過程定義為“由關聯元素形成新的組合，這些組合符合特定要求，或在某種意義上是有用的”，并認為新組合中的元素之間關系越遠，代表形成新組合的思維過程或解答越有創造性[8]．實際上，這些來自不同角度的論述與構造法解題有許多一致的成分．

總體而言，構造法解題的非常規性與創造性的思維特點，受到一定的認同．

2 構造法解題的若干思維模式

在20世紀中期，美籍匈牙利數學家波利亞的論著《怎樣解題》《數學與猜想》《數學的發現》構成了數學解題領域的奠基性工作[9-12]，其中，《數學的發現》對雙軌跡模式、笛卡爾模式、疊加模式、遞歸模式作了詳細的討論[12]，這些可以視為數學解題的典型有用的思維模式．

在構造法解題這一具體領域，余紅兵、嚴鎮軍（2001）所著《構造法解題》作為一本專門向中學生介紹構造法解題的小冊子，通過分析具體的問題，談到了一些解決構造問題的思考線索，例如，“觀察分析問題中的數量關系，并據此構造適當的輔助圖形”；“從問題中某些簡單、特殊的情況著手……由此常可能誘導出所需的構造”；“在證明符合要求的事物有無窮個時，舍多求少的想法尤能派上用場”；“可以先檢查一些簡單和容易試驗的特例，也許，試驗的結果已提供了反例，或者能夠提供構造反例的某些線索；也可能所審查的特例和命題一致，這多少使人有理由相信命題是真實的，我們可以試著去證明它”[4]．與關于數學解題的一般性的討論相比，這里的敘述更凸顯“構造”的形態．

許多學者側重于構造法的某一方面探討思維策略．例如，關于輔助模型的構造，有“確定目標，想象模型，初步構造，修正加工”的思考步驟[6]；關于反例的構造，有極端特例構造法、逼近構造法、直觀構造法、嘗試構造法[1]．馮躍峰（2008）以組合構造為主題，全面細致地討論了構造法的15種思考策略——從“容易求值”的角度著手、從等號成立的條件著手、研究特例、研究最壞情形、逐增構造、遞歸構造、局部擴充、局部調整構造、對稱構造、周期構造、分組構造、等價構造、充分條件、必要條件、待定參數[13]．這些策略在整體結構上顯得較為松散，但從功能上看，有的側重于嘗試（如研究特例、研究最壞情形），有的側重于命題轉換（如等價構造、充分條件），也有的是實現構造的手法（如遞歸構造、局部調整構造），這可以啟發人們對這些策略進行分類，每一類中的策略功能相近，各有具體表現形式．

在已有文獻的基礎上，結合對大量具體問題求解過程（包括學生實際解題時的心理過程）的分析檢驗，提出構造法解題思維模式的框架如下：

（1）考慮特殊情形（例如：構造并研究簡單情形、極端情形、特殊形態等；增加約束以便搜索所需構造）．

（2）聯想與關聯（例如：從數量或圖形結構特征展開聯想，引入相關數學對象、模型或結論；構造輔助線、輔助量等過渡元素，逐步建立所考慮的對象之間的關聯）．

（3）命題轉換．

①考慮等價問題（例如：借助函數、解析幾何、組合等模型將原問題等價轉化為直觀或容易處理的新問題；將問題或其一部分，歸結為已考慮過的問題）．

② 考慮必要條件（例如：假定所需對象已被構造出，研究它的性質，試圖從這些性質的某種組合出發，去尋找一個可行的構造）．

③考慮充分條件（例如：提出一個使題設條件成立的充分條件，用該條件替代原條件后，考慮如何進行構造）．

（4）間接構造．

① 從弱解得到解（例如：構造一類弱解，于其中篩選出解；構造一個弱解，再通過有限步調整，使原先未滿足的條件亦得到滿足）．這里，“解”指滿足所需條件的數學對象，“弱解”則指僅滿足其中部分條件的數學對象．

② 從局部到整體（例如：按某種程序逐步確定所需對象；分成多個局部作構造，再進行合成）．

3 構造法解題思維模式的一個說明性例子

這樣，第（2）小題已經解決，當然對第（1）小題，尚需展開更遠的“聯想”與“關聯”，或改從其他角度入手．

防錯控制系統通過對裝配結果的檢測可以有效地減少各個工作站的錯裝率，提高Rh，從而提高整個系統的可靠度。

則有

從而得到解

它既保持了偶函數的性質，也已不再是常值函數了．第（2）小題亦可類似處理．

以上是問題1的一些代表性的求解思路，體現了構造法解題的若干思維模式．運用這些思維模式的其它表現形式，或是綜合地運用多種思維模式來求解問題1，都是可能的．對于更多其他的構造問題，這些思維模式還可以有更豐富的表現形式和組合方式．

4 構造法解題的教育價值

在中學數學教育中融入構造法解題，具備一定的基礎．

其一，大量的概念辨析及命題真偽的判斷與論證，本身就需要借助實例與反例的構造．實例與反例的使用，對加深數學理解，提高解題能力均有益處，特別是反例的構造，有助于培養逆向思維以及創造性思維，有助于提高發現和糾正數學中的錯誤和漏洞的能力[14-15]．

其二，一些難以用常規的代數方法處理的問題，通過構造函數、構造解析幾何模型等方式進行轉化，使問題得到簡化或直觀化，這實際上是構造法作為輔助手段應用于解題的體現．

其三，構造法解題就其內涵而言，與中學數學教學與考試評價中已受廣泛關注的“數學開放題”頗有相似之處．數學開放題通常是指已知、解決過程和所達目標中，有至少一項具有開放性的題目[16]．高質量的數學開放題，可以做到緊密聯系數學雙基，又可以為思維方式和過程提供更多空間[17-18]．有不少數學開放題，是要求解題者給出某種數學對象或作出某種設計，這也正是構造法解題所關注的一個重要方面．

事實上，通過留心關注、適當改編，可以積累豐富的構造法解題的素材．

用構造法解題，常以簡短的篇幅給出嚴格的構造證明，或借助輔助對象的構造，使問題變得簡明直觀，這也許是構造法給人以簡潔明快感的原因．但不能因此忽略解題者在實現構造前所經歷的復雜思維過程．構造法解題的非常規性與創造性，使得常常需要非邏輯思維的參與，才能取得關鍵的進展．著名數學家龐加萊曾說：“邏輯不能告訴我們，為什么這些思路可以構成通往目的地的一條通道，出發不久就會碰到岔路口，邏輯無法作出正確的選擇．”[19]波利亞認為，論證推理與合情推理是數學活動中相輔相成的兩個方面．數學家創造性工作的成果是論證推理，即證明，但這個證明是通過合情推理，通過猜想而發現的[10]．運用構造法解題時，學生常常不能機械地模仿、被動地思考，而要經歷探究、發現與創造的過程．對于問題1，有的學生可能經歷30分鐘甚至更久才將其解出，事后卻發現答案很簡單．實際上，這個簡單的答案并不是在解題一開始就浮現的，而是解題者通過多角度的探索，在對問題有相當熟悉的情況下發現的一種有意義的信息或信息組合．《普通高中數學課程標準（實驗）》指出，高中數學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識[20]．構造法解題與這一課程理念是相符的．對能力可及的學生而言，這種思維訓練的價值是毋庸置疑的．

同樣，也不能忽略一個構造問題的各種解法所蘊含的多重價值．例如，問題1對構造法解題的思維模式的體現比較豐富，如果仔細地分析講解，當可使學生充分領略多種思考的角度．因此，哪怕是已被學生正確解答的問題，在一定情況下仍具有良好的拓寬思維的功效，值得充分利用．

綜上，將構造法解題滲透于教學實踐中，有特殊的意義和教育價值．以下是一些具體的建議．

5 構造法解題的教學建議

首先，在對構造法解題的基本特點和適用范圍有良好把握的基礎上，可以多注意積累有關素材，根據需要改編或創作一些問題．不妨將問題1與下述兩個問題進行對比：

其次，可以為學生提供更多與構造相關的數學任務，有意識地為他們創造一些這方面的訓練機會．例如，在要求學生理解概念、判斷命題，或解決具體問題時，提供他們舉實例和反例的訓練；可以向學生提出一些解法高度開放的探究或設計任務；對于仍學有余力的優秀學生，則可以讓他們接觸一些離散數學題材的構造問題，因為離散數學領域有大量能體現構造法思維模式且饒有趣味的非常規問題，是對中學常規教學的有益補充．事實上，波利亞（2006）指出，數學教育應當使學生盡可能地熟悉數學活動的所有方面，應當盡可能為學生從事獨立的創造性工作提供機會[12]．當然也應注意到，寬松的環境是孕育創造性思維的一大外部因素，故應當為學生留出一定的思考空間，不應施加太多的壓力，比如題海戰術．從某種意義上說，許多數學問題是特殊的，甚至是獨一無二的，解決這樣的問題不能僅靠機械的記憶和模仿，而是需要融會貫通和遷移，因此關鍵不在于訓練強度，而是訓練的質量．

此外，應當把握好構造法滲透于教學的尺度．第一，需要把握好高層次思維與基本知識技能之間的平衡，對前者的重視不代表對后者的忽視，相反，后者是學生長遠發展的必要基礎．第二，不應過分夸大構造法對解決數學問題的作用，實際上，存在性問題的構造證明與經典證明皆有重要意義，后者決不應受到忽視．第三，在鼓勵學生運用構造法的同時，也要支持他們形成適合自己的解題風格，而不是強加干預．

總之，關注并挖掘構造法解題的素材，并合理地滲透于平時的教學活動中，對于學生（尤其是數學上有較大潛力的學生）的發展而言，有其獨到的價值．這些潛在的價值何以去實現，有待進一步研究和實踐．

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Thinking Patterns and Educational Value of Problem Solving by Constructive Method in High School Mathematics

HE Yi-jie1, 2, XIONG Bin1, 2

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. Shanghai Key Laboratory of Pure Mathematics and Mathematical Practice, Shanghai 200241, China)

Constructive method was a commonly used method, with its distinctive feature, in high school mathematical problem solving. The unconventionality and creativeness of thinking in applying constructive method was generally recognized. This paper put forward 4 kinds of thinking patterns in utilizing constructive method, including consideration of special cases, association and connection, propositional transformation, and indirect construction, which were illustrated by a further example. It had a certain basis to integrate the problem solving by constructive method into high school mathematics education. The instructional practice would be of educational significance in expanding students’ thinking and forstering their creativity.

constructive method; problem solving; thinking patterns

[責任編校：周學智]

2017–12–29

上海市核心數學與實踐重點實驗室數學實踐課題——高中數學資優生培養的行動研究（18dz2271000）

何憶捷（1985—），男，上海人，講師，博士，主要從事數學方法論與數學競賽及數學資優教育研究．

G632

A

1004–9894（2018）02–0050–04

何憶捷，熊斌．中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值[J]．數學教育學報，2018，27（2）：50-53．