任務(wù)驅(qū)動(dòng)法在函數(shù)的微分教學(xué)中的應(yīng)用

秦琳，張恩路

[摘 ? ? ? ? ? 要] ?以建構(gòu)主義為背景，在課堂教學(xué)中采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式，按照任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的建構(gòu)過(guò)程，對(duì)《函數(shù)的微分》這一課題進(jìn)行課堂設(shè)計(jì)。圍繞一個(gè)中心任務(wù)——緊固件噴涂量計(jì)算，將知識(shí)點(diǎn)巧妙穿插串聯(lián)。這是對(duì)教學(xué)模式和教學(xué)方法一次改革的嘗試。

[關(guān) ? ?鍵 ? 詞] ?任務(wù)驅(qū)動(dòng); 函數(shù)微分;建構(gòu)主義

[中圖分類(lèi)號(hào)] ?G712 ? ? ? ? ? ? ? ? ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼] ?A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?[文章編號(hào)] ?2096-0603（2018）27-0180-02

一、背景

任務(wù)驅(qū)動(dòng)的教學(xué)模式是建構(gòu)主義理論和信息技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，是由教師將所要學(xué)習(xí)的新知識(shí)轉(zhuǎn)化成一個(gè)或幾個(gè)具體的任務(wù)。學(xué)生在強(qiáng)烈的問(wèn)題動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下，通過(guò)有效地查找和使用各種學(xué)習(xí)資源，對(duì)所提的任務(wù)進(jìn)行分析、討論，明確新舊知識(shí)間的聯(lián)系，再在教師的指導(dǎo)幫助下找出解決問(wèn)題的方法，最后通過(guò)任務(wù)的完成實(shí)現(xiàn)對(duì)所學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)，從而培養(yǎng)出獨(dú)立探索、勇于開(kāi)拓進(jìn)取的自學(xué)能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

本文應(yīng)用任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)法，按照任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式的實(shí)施過(guò)程，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，對(duì)《函數(shù)的微分》這一課題進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，與專(zhuān)業(yè)課相銜接，實(shí)施高等數(shù)學(xué)教學(xué)改革的嘗試。

二、教學(xué)實(shí)踐

【設(shè)計(jì)任務(wù)】備課環(huán)節(jié)中，在分析課程目標(biāo)和學(xué)生特征的基礎(chǔ)上遵循吸引學(xué)生、分層設(shè)計(jì)和系統(tǒng)達(dá)標(biāo)等原則設(shè)計(jì)任務(wù)。

本課題的教學(xué)目標(biāo)：理解并掌握微分的概念;領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想;提升兩種能力。

教學(xué)方法：任務(wù)驅(qū)動(dòng)、情境教學(xué)。圍繞一個(gè)中心任務(wù)——緊固件噴涂量計(jì)算，將知識(shí)點(diǎn)巧妙穿插串聯(lián)。

【實(shí)踐任務(wù)】現(xiàn)有一批定量的機(jī)械零件，要對(duì)其表面進(jìn)行噴涂，以延長(zhǎng)使用壽命，需要多少涂料呢？

【分析任務(wù)】這是對(duì)機(jī)械零件噴涂的涂料用量的預(yù)算問(wèn)題，通過(guò)對(duì)涂料用量的科學(xué)計(jì)算，可以降低成本，減少浪費(fèi)，提高效率。此任務(wù)貼近機(jī)械專(zhuān)業(yè)，學(xué)生對(duì)機(jī)械零件比較熟悉，能很快進(jìn)入情境，具有直觀性和形象化的特點(diǎn)，激發(fā)學(xué)生探究新知的欲望。接下來(lái)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該任務(wù)進(jìn)行分析、建模。

機(jī)械零件種類(lèi)繁多，在這里我們以常見(jiàn)的柱狀零件——螺栓、螺柱、圓柱銷(xiāo)為例。

引導(dǎo)學(xué)生分組討論，要完成此任務(wù)，需要做什么模型假設(shè)，需要解決哪些問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的解決任務(wù)的思路和計(jì)劃。

【假定】要噴涂的零件是圓柱銷(xiāo)，且只噴涂圓柱銷(xiāo)的側(cè)面，涂層均勻。要計(jì)算涂料的用量，根據(jù)m=ρv，涂料的密度ρ是一個(gè)常數(shù)，只需要計(jì)算涂層體積就可以。

【問(wèn)題建模】已知一圓柱體底半徑為r0，高為h。當(dāng)?shù)装霃皆黾应時(shí)，試計(jì)算體積的改變量（用ΔV表示）。

此時(shí)適時(shí)提問(wèn)學(xué)生，怎么計(jì)算涂層體積的精確值呢？有學(xué)生積極回答：用圓柱的側(cè)面積乘以涂層的厚度。教師再次引導(dǎo)，這樣計(jì)算得到的是涂層體積的精確值嗎？學(xué)生在教師的提示下恍然大悟，這樣計(jì)算并不是精確值。

那么ΔV的精確值該如何計(jì)算呢？有的學(xué)生馬上想到用體積差來(lái)計(jì)算。即

ΔV=π（r0+Δr）2h-πr02h=2πr0h·Δr+πr（Δr）2=2πr0hΔr+πh（Δr）2

我們用了7次乘法，1次加法，得到了涂層體積的精確值。但是這樣計(jì)算計(jì)算量比較大，如何能夠減少計(jì)算量呢？在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，有一個(gè)重要的思想，那就是在精度要求不是非常高的情況下，我們考慮用精度換速度，那么

ΔV=2πr0hΔr+πh（Δr）2 ? （1）

在完成任務(wù)的過(guò)程中，再次對(duì)學(xué)生提出問(wèn)題：（1）式中如果只保留一項(xiàng)，計(jì)算量能減少，但是精度能保證嗎？有兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的問(wèn)題需要解決：（1）式中如果只保留一項(xiàng)，該保留哪一項(xiàng)？保留下來(lái)的這一項(xiàng)作為ΔV的近似值，精度高不高？為回答這兩個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從立體幾何的角度進(jìn)行剖析。

■

從圖形上看，要求的ΔV，實(shí)際上就是這樣一個(gè)很薄的圓環(huán)柱體的體積（如圖a），動(dòng)員引導(dǎo)學(xué)生沿紅色的地方將圓環(huán)柱體剪開(kāi)，然后展開(kāi)，會(huì)得到一個(gè)什么樣的立體呢？通過(guò)動(dòng)畫(huà)演示，可以看到展開(kāi)后是一個(gè)棱柱，棱柱的截面是一個(gè)等腰梯形。將其平鋪，棱柱的相關(guān)數(shù)據(jù)可以根據(jù)圓環(huán)柱的數(shù)據(jù)得到。將棱柱做進(jìn)一步處理，沿著上邊緣線(xiàn)豎直向下切開(kāi)，棱柱就變成了三部分，中間是一個(gè)長(zhǎng)方體，剪下的兩部分是同等大小的三棱柱，這兩個(gè)小三棱柱可以通過(guò)重組拼接成一個(gè)小長(zhǎng)方體。大長(zhǎng)方體的體積等于2πr0hΔr，小長(zhǎng)方體體積等于πr（Δr）2，ΔV=■+■，這一大一小長(zhǎng)方體的體積，恰好對(duì)應(yīng)著（1）的兩項(xiàng)。

這樣，前面兩個(gè)問(wèn)題就得到了解決，誰(shuí)去誰(shuí)留？顯然要舍棄小長(zhǎng)方體的體積，保留大長(zhǎng)方體的體積，得到ΔV的近似值。同時(shí)從幾何角度也得到，用大長(zhǎng)方體的體積來(lái)近似涂層的體積，精度上可以得到保證。

因此，ΔV≈2πr0hΔr，在這個(gè)式子里，Δr即為涂層的厚度，2πr0h即為側(cè)面積，用側(cè)面積乘以涂層厚度，這正是我們最先想到的辦法。這樣我們從幾何角度證明了學(xué)生最初的想法，雖然不是精確值，但是它卻可以有效降低計(jì)算量，同時(shí)滿(mǎn)足一定的精度，因此不失為完成任務(wù)既快又好的方法。同時(shí)，2πr0h除了是側(cè)面積，與體積函數(shù)又有什么關(guān)系呢？如果保持h不變，2πr0h是體積函數(shù)對(duì)r的導(dǎo)數(shù)，即ΔV≈V′|■·Δr。其實(shí)，函數(shù)導(dǎo)數(shù)與自變量增量成績(jī)的形式出現(xiàn)在函數(shù)增量的近似值中并非個(gè)例，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)學(xué)家正是發(fā)現(xiàn)了這一特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)艱苦努力的研究，得到函數(shù)增量近似表達(dá)式的一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念——函數(shù)的微分。

以上我們利用建構(gòu)主義理論，引導(dǎo)學(xué)生建立了一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生可以通過(guò)不斷發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題找到成就感，另一方面，教師可以通過(guò)交流討論、引導(dǎo)建構(gòu)等方式關(guān)注學(xué)生，以此來(lái)肯定、激勵(lì)、指導(dǎo)學(xué)生。對(duì)學(xué)生的不同結(jié)論要及時(shí)總結(jié)和分享，在不斷的反饋評(píng)價(jià)中，構(gòu)建完善的知識(shí)體系，必要時(shí)加以拓展應(yīng)用。

在本節(jié)課的教學(xué)中，我們也及時(shí)對(duì)函數(shù)微分的概念進(jìn)行實(shí)際問(wèn)題的延伸，以此對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行拓展。

【任務(wù)延伸1】緊固件螺紋部分的噴涂計(jì)算問(wèn)題，如何解決？

查閱GB/T5267.1-2002，針對(duì)規(guī)格為M10×100（直徑為10mm，長(zhǎng)度為100mm，螺紋桿長(zhǎng)為52mm）的螺柱，估算其側(cè)面涂層的體積（假定涂層厚度為0.05mm）。

■ ? ?■

【任務(wù)延伸2】（油路檢修）保證發(fā)動(dòng)機(jī)的油路暢通是發(fā)動(dòng)機(jī)日常維護(hù)的一項(xiàng)重要內(nèi)容。日常工作中，由于一些因素的影響，通常會(huì)使發(fā)動(dòng)機(jī)的油管半徑變小，因此需要定期對(duì)油管進(jìn)行疏通。假定在固定壓力下，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)油管的油料體積V與油管半徑r的四次方成正比，即V=kr4。問(wèn)：如果油路疏通使油管的半徑r增加3%，那么V會(huì)增加多少？

通過(guò)對(duì)上述延伸任務(wù)的解決，學(xué)生真實(shí)地感受到發(fā)動(dòng)機(jī)的日常維護(hù)工作很重要。

三、效果反饋

通過(guò)在課堂中實(shí)際采用任務(wù)驅(qū)動(dòng)教學(xué)模式授課，提高了課堂的教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣及責(zé)任感。通過(guò)與實(shí)際任務(wù)相結(jié)合的方式，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)，了解數(shù)學(xué)的美。學(xué)生通過(guò)運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些實(shí)際生活中遇到的問(wèn)題，使學(xué)生體會(huì)到解決實(shí)際問(wèn)題的快樂(lè)，從而培養(yǎng)學(xué)生的興趣。

四、教學(xué)思考

教學(xué)改革是一項(xiàng)長(zhǎng)期、復(fù)雜、艱巨的系統(tǒng)性工程，我院數(shù)學(xué)教師通過(guò)多次學(xué)習(xí)研究“十九大”報(bào)告精神及《教育部關(guān)于全面提高高等教育質(zhì)量的若干意見(jiàn)》（教高【2012】4號(hào)）等文件，發(fā)現(xiàn)校企合作、基礎(chǔ)與專(zhuān)業(yè)深度融合，培養(yǎng)適應(yīng)社會(huì)需要的復(fù)合型人才是高等職業(yè)教育的發(fā)展趨勢(shì)。在下一步的教學(xué)改革嘗試中，進(jìn)一步改變傳統(tǒng)教學(xué)模式為模塊化教學(xué)模式，按照若干個(gè)相對(duì)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)，將“高等數(shù)學(xué)”課程內(nèi)容分為幾個(gè)模塊，各專(zhuān)業(yè)可依據(jù)專(zhuān)業(yè)課程的需求，選擇合適的若干模塊組合進(jìn)行學(xué)習(xí)。在模塊組合教學(xué)過(guò)程中，教師可依據(jù)不同內(nèi)容要求、不同專(zhuān)業(yè)要求，靈活運(yùn)用多種教學(xué)方法。通過(guò)教學(xué)改革，突出培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力和數(shù)學(xué)遷移能力。在學(xué)習(xí)過(guò)程中用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)數(shù)學(xué)的思想和情感，突出數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用性和數(shù)學(xué)知識(shí)專(zhuān)業(yè)應(yīng)用中的遷移性。在設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程時(shí)，教師嘗試使用與專(zhuān)業(yè)技術(shù)課程、專(zhuān)業(yè)課程的實(shí)際應(yīng)用密切相關(guān)的基本案例。

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