中職數學課堂中的變元初探

樓鶯

[摘 要] 數學是思維的體操，數學學習除了學習數學知識之外，更重要的是數學思想的滲透和方法的靈活應用。通過實例剖析數學課堂中對變元的觀察和思考，轉化和處理，化繁為簡，化難為易，使復雜的數量關系易于表達，使看似無從著手的問題迎刃而解。

[關 鍵 詞] 中職數學；變元；換元；轉化

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）07-0090-01

在解決數學問題的過程中，根據所需求解數學問題的特征，把某個變量或含有變量的式子看成一個整體，并用另一個變量去代替它，從而簡化所遇問題的方法稱為換元法。換元的實質就是轉化，理論依據是等量代換，通過變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使復雜問題簡單化。很多數學問題由于條件與結論中的變量關系在形式上的隱蔽，它們之間實質性的邏輯聯系不易從表面形式上發現，所以就要引進新的變量，把分散的條件聯系起來，把隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來，或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。

一、換元

（一）整體換元：以“元”換“式”

設輔助元解決問題是一種重要且較為常見的數學思想方法。引入一個或幾個新的變量來代替原來的那些變量或代數式，替換后的方程或代數式通?？梢灾糜谑煜さ臄祵W認知環境中，只需求解后再返回去求原變量的值或等價的代數式即可。

例1.求函數y=1-sinα（sinα+5）的最大值。

此題單純通過正弦函數的單調性來求解顯然是不合適的，于是令sinα=x（-1≤x≤1），通過換元把三角函數問題轉化為了二次函數求閉區間上最值的問題。

由這兩個例子可見通過換元，把帶有變量的式子看作一個整體，轉化為另一個變元。把未知的問題轉化為我們所熟悉的問題，從而水到渠成地解決了問題。

（二）三角換元，以“式”換“元”

一個簡單的變元轉化為一個三角函數，看似化簡為繁，其實三角函數因其擁有原來的變元所沒有的天然的取值范圍，再者可以借助同角三角函數的關系去掉根號，故可以使整個解題過程簡潔明了。所以三角換元的方法用得恰當，可以使問題變得直觀和簡單。

例2.求函數y=■的值域。

求函數y=■的值域時，通常先觀察定義域，發現x∈[-1，1]，由此聯系到sinα∈[-1，1]，則設x=sinα，看似把簡單問題復雜化了，其實卻實現了從無理式到有理式的轉化，把問題就轉變成了求三角函數值域的問題。用換元法的時候要遵循簡化計算的原則，換元之后要注意新變量取值范圍的選取，要使新老變量的取值范圍既不擴大也不縮小。

二、減元

這里所謂的減元不僅是指減少變元的個數，還包括降低變元的次數以及減少變元出現的頻率等，由于減元策略的應用融匯于多種數學方法與數學知識之中，掌握了它就能提高解決數學問題的能力。

例3.求函數y=sinα+cosα+sinαcosα的最小值。

此題令sinα+cosα=t，從而借助sinα與cosα的和與積的內在聯系，把變量減少為一個，這樣又把三角函數問題轉化成了求二次函數閉區間上的最值問題。

由以上這個例題可見，如果掌握了減元的解題策略，就為數學中很多問題的解決找到了突破口。

三、虛元

顧名思義，虛元是原本不存在的變元?？此苹啚榉?，增加了一個或若干個原本不存在的變元，其實卻有利于運算的流暢進行，整個思考過程都收到了事半功倍的效果。

例4.已知tanα=2，求sinαcosα+cos2α

此題把1當作了sin2α+cos2α，使整個分式成為齊次式，再令分子分母同除以cos2α，即可使問題得到簡化，如果按照同角三角函數的關系式求值，不但要分類討論還會產生增根。

由以上例子可知，通過觀察和分析，找到那個隱含在題目中的虛元，可以令問題大大簡化。

四、主元

所謂主元思想，是指在含有兩個或兩個以上變元的問題的解決過程中，選擇其中一個變元作為主要的研究對象，視為主元，而將其余各字母視作參數或常量，再揭示其中的內在關系來指導解題的一種思想方法。

例5.求不等式：■>2對一切實數x恒成立，求實數k的取值范圍。

此題選擇x作為主元能令問題大大簡化。這一思想方法運用的核心就是選擇主元、確定主元。在這種多變量問題的解題中一旦選對了主元，就相當于找到了問題的突破口。

本文的前4例在換元前后變元個數不變，例5把兩個單調性不一致的變元減少為一個，除例3外，它們都是非常典型的換元法。后5例從不同角度理解和轉化變元，靈活的、因題制宜的數學思想方法收到了很好的簡化原題的效果。

數學思想和方法的考查是對數學知識在更高層次上抽象和概括的考查。采用類比、聯想等方法探索并歸納數學學習過程中對變元的處理，使思考者更富創造性和想象力，且有利于激發學生的學習積極性，有利于培養學生的數學思維能力，并能提高學生求解綜合問題的能力。這對學生站在一個新的高度系統地學習數學、應用數學起著事半功倍的作用。

參考文獻：

[1]王仲春，李元中.數學思維與數學方法論[M].高等教育出版社，1989.

[2]粱法馴.數學解題方法[M].華中理工大學出版社，1995.