數(shù)學教學如何合理運用數(shù)學中的對稱方法

高尚斌

[摘 要] 現(xiàn)行的高中數(shù)學教材中，體現(xiàn)數(shù)學中對稱方法的內(nèi)容比比皆是。教師如何挖掘教材中蘊含體現(xiàn)對稱方法的內(nèi)容，并通過一定的教學手段和學生的數(shù)學學習活動直觀形象地概括，歸納所涉及內(nèi)容的對稱性質(zhì)，這樣才能使數(shù)學思維的訓練與數(shù)學方法的培養(yǎng)有機地結(jié)合，才能合理達成教學目標。

[關(guān) 鍵 詞] 對稱方法；數(shù)學教學；合理運用

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2018）07-0146-01

一、對稱方法的背景

自然辯證法告訴我們：世界上的萬事萬物都處在運動變化中。運動是絕對的，靜止是相對的。許多事物的運動變化狀態(tài)呈現(xiàn)出各種各樣的對稱特征。例如，一些植物的葉片、動物的形體；中國古代的建筑設(shè)計、工藝美術(shù)圖案；天體的固有周期運動相對于時間；地理學中的經(jīng)度與時差；大量的平面圖形，空間幾何圖形相對于基本元素——點、線、面，呈現(xiàn)的對稱等。運用數(shù)學理論和方法定量精準地刻畫數(shù)學問題中的對稱性便產(chǎn)生了數(shù)學中的對稱方法。在數(shù)學課堂教學中如何有效合理地運用數(shù)學中的對稱方法，對培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)和創(chuàng)新性的數(shù)學能力具有十分重要的意義。

二、根據(jù)圖形對稱的特征，設(shè)計數(shù)學教學活動

1.在《平面幾何》的教學中，我們把具有軸對稱性質(zhì)的一類圖形（如等腰三角形、等腰梯形、圓等）要求學生通過畫圖—折疊—剪紙等數(shù)學實驗活動，探索發(fā)現(xiàn)圖形關(guān)于某直線（對稱軸）兩旁的部分能完全重合。同樣，把具有中心對稱特征的圖形（如平行四邊形、圓、雙曲線等）通過翻轉(zhuǎn)180度能夠與原來的圖形重合。通過數(shù)學活動使學生加深了對軸對稱、中心對稱概念的理解和認識，為進一步探求兩類圖形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)。

2.在《平面解析幾何》的教學中，為了通過方程討論曲線（或直線）的性質(zhì)，我們可以將具有關(guān)于原點對稱和坐標軸對稱的曲線對應(yīng)的標準方程（例如，圓、橢圓、雙曲線的標準方程）引導(dǎo)學生通過分析方程中變數(shù)x與y具有的輪換對稱不變性，利用這個特征通過對方程的討論得出它們既是中心對稱（原點對稱）圖形又是軸對稱（坐標軸對稱）圖形的性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)與形的完美統(tǒng)一。

3.在二項式定理的教學中，利用對稱方法引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)具有等距對稱性，得出二項式系數(shù)的性質(zhì)。

三、根據(jù)數(shù)學問題中字母或變量系數(shù)具有的對稱性，研究數(shù)式的性質(zhì)

1.在三角函數(shù)關(guān)系式的教學中，由于許多恒等式在表達形式上具有簡單明了的對稱關(guān)系，所以，教學中通過分析對稱特征可以加深對這些公式的理解與記憶。

2.對命題及其關(guān)系，簡單的邏輯關(guān)系的教學中，一些命題的結(jié)構(gòu)形式具有對稱性，例如，原命題與逆否命題可以通過它們的題設(shè)與結(jié)論的否定轉(zhuǎn)換，使復(fù)雜抽象的命題轉(zhuǎn)化為簡單具體的

命題，從而使問題得以解決。

3.根據(jù)數(shù)學美感要素中的對稱美創(chuàng)設(shè)課堂情境，激發(fā)學生的求知欲。數(shù)學中的對稱美從古到今充滿著數(shù)學發(fā)展的每一個角落。縱觀數(shù)學發(fā)展史，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)的勾股定理，他認為直角三角形具有簡明和諧的對稱關(guān)系；笛卡兒創(chuàng)立的解析幾何，在方程與曲線之間建立了相應(yīng)關(guān)系，推動了數(shù)學的發(fā)展；愛因斯坦創(chuàng)立的相對論，一些結(jié)論的產(chǎn)生是現(xiàn)代物理學研究中采用數(shù)學中運用平衡對稱法的范例。教學中遴選那些在數(shù)學發(fā)展史上對自然科學的發(fā)展和研究方法具有影響的內(nèi)容，作為引入新課內(nèi)容的“敲門磚”以此激發(fā)學生的學習興趣和探索科學的精神。例如，在講解橢圓性質(zhì)時可在電腦搜集“中國大劇院”“鳥巢”“神舟七

號”的太空運行軌道等圖片，由于它們的設(shè)計風格與運行軌道具有橢圓的對稱性。在講正弦定理和余弦定理的公式推導(dǎo)時，可緊扣“邊與對應(yīng)角正弦的比相等”“任意邊與其余兩邊及夾角的

關(guān)系”具備數(shù)學中輪換對稱式的特征，這樣，學生也能正確表述寫出其余三組公式，并加深對公式的記憶。

四、根據(jù)數(shù)學中的對稱方法，合理達成課堂教學目標

依據(jù)數(shù)學課程標準制定的課堂教學目標——知識與技能目標；過程與方法目標；情感態(tài)度與價值觀。必須突出：（1）知識目標符合課程標準——具體性。（2）教學方法符合學生易掌握的實際——可操作性。（3）有利于學生智力開發(fā)和能力提高——可檢測性。三維目標實際上是教學目標的子目標，它們既相互聯(lián)系又相互依存，因此，在課堂教學中通過創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課的環(huán)節(jié)讓學生觀察一些對稱圖形，動手實踐（折疊、剪紙、畫圖等）直觀感悟?qū)ΨQ圖形的特征。接著，在直角坐標系平面內(nèi)，通過數(shù)形結(jié)合精辟分析對稱圖形的性質(zhì)。當他們得出結(jié)論時，不僅感悟到學習數(shù)學的方法，而且體驗到數(shù)學活動充滿探索與創(chuàng)造，感受到數(shù)學的對稱美。通過練習與檢測獲得的成功與喜悅，獲得情感體驗，使不同層次學生學習數(shù)學的價值得到了體現(xiàn)，價值觀隨之發(fā)生了變化。

總之，數(shù)學中的對稱方法和對稱思想在數(shù)學教學中具有廣

泛的運用。從數(shù)學教學的核心目標之一即培養(yǎng)學生良好的思維品質(zhì)和創(chuàng)新性的數(shù)學應(yīng)用意識來看，在傳授知識的同時必須注重學生數(shù)學思想和方法的培養(yǎng)。因為數(shù)學中許多概念的產(chǎn)生、公式及定理的得出都是人們從大量的生產(chǎn)生活實踐及科學技術(shù)發(fā)展過程中積累的事實，通過人腦抽象思維的形式逐步呈現(xiàn)出來的。所以，重視數(shù)學中一些特定的數(shù)學方法——對稱方法等的數(shù)學教學有助于學生觀察能力、應(yīng)變能力、猜想歸納能力的培養(yǎng)，對形成抽象思維能力具有重要意義，同時對中學數(shù)學教學的改革與發(fā)展具有積極的促進作用。

參考文獻：

[1]王仲春，李元中，顧莉蕾，等.數(shù)學思維與數(shù)學方法論[M].高等教育出版社，1989（11）.

[2]徐利治.數(shù)學方法論選講[M].華中理工大學出版社，2000.