基于知識主動建構的教學設計、演繹和訓練

鐘鳴　陳鋒

一、問題的提出

數學教師如何有效訓練學生思維的深度與廣度，進而促進學生主動地建構知識？筆者認為，對于常態課而言，基于對知識的整體設計，深入知識的本質和連接點，能訓練學生的思維深度；基于學生現有水平，依據學情預設適合學生的問題串，逐層推進、步步深入、系統演繹，能降低思考難度；基于問題的變式拓展，把握本質不變規律，能訓練學生的思維廣度。下面，筆者以“二次函數的幾何應用”一課的教學過程與反思為例，談一談如何幫助學生主動建構知識。

二、基于知識主動建構的教學設計、演繹和訓練

1.課堂引入整體設計。

“二次函數的幾何應用”是數學知識的內部運用，是函數應用的例子，其關聯代數與幾何，有很強的綜合性，是近幾年各地中考的熱點。本節課是繼教材中二次函數內容結束后，對二次函數拋物線與幾何圖形之間綜合問題的微專題探究。基于二次函數的整體知識，圍繞學生已掌握的內容，筆者開展了如下的課堂導入。

師：近段時間我們一直在研究二次函數，你能說說處理二次函數的關鍵是什么嗎？

生1：二次函數的表達式。

師：求出二次函數表達式的關鍵又是什么？

生2：點。

師：由此可見，點是解決二次函數問題的金鑰匙。有了點的坐標就可以求出二次函數的表達式，反之有了二次函數的表達式就可以用表達式表示點的坐標，進而表示與它相關的量。那么，點的坐標可以表示哪些與它相關的量呢？

生3：利用點的坐標可以表示線段長，由線段可以聯系角度。

師：線段和角是幾何圖形的元素。圖形問題可以因此轉化為代數問題，從而進行數形雙向聯系。

板書：

式→點→線（角）→形；

形→線（角）→點→式。

師：對于這個思路，我們在一次函數、反比例函數中反復經歷。二次函數與幾何圖形問題的基本處理方法也應如此。

基于整體的，才是生長的、深入的。筆者從二次函數的解析式與點說起，由點到線，再由線到角，又由線和角到形，將二次函數與相關的知識關聯起來，橫向溝通，打通函數與圖形的內在聯系；指出一次函數與反比例函數中的相同經驗，縱向聯系，抓住知識方法背后的不變本質。抓住本質方能正確遷移，打通聯系才能自然聯想，引導學生避免“只見樹木不見森林”的狹隘思維，帶領學生體驗知識的自然生長、方法的逐步深入、思想的漸次升華。

2.課堂例題系統演繹。

《義務教育數學課程標準》（2011年版）指出，數學教學活動，特別是課堂教學，應激發學生興趣，調動學生積極性，引發學生的數學思考，鼓勵學生的創造性思維。創造性的思維一定是有深度的。由于九年級學生已具備一定的分析問題的能力，有獨特的解決函數問題的方法（課堂導入部分會給學生充分表達自己方法的機會和時間），基于學生實際水平，筆者讓學生圍繞二次函數與幾何應用的核心問題展開學習，鼓勵學生的創造性思維。在例題教學部分，筆者進行了如下設計。

例 如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與x軸交于點A、B，點A的坐標為（-1，0），拋物線經過點（2，-3），與y軸交于點C，其頂點為點D。

師：（示范讀題）根據這些條件，你能得到什么？

生4：求出函數解析式為y=x2-2x-3，用兩點的坐標（-1，0）、（2，-3）代入，就能求出它的解析式。

師：還可以求什么？

生5：利用解析式求出對稱軸為直線x=1；求出點坐標B（3，0）、C（0，-3）；利用對稱及解析式可以求得D坐標（1，-4）。

師：除了剛才的方法，求拋物線的解析式還有哪些方法？

生6：先結合解析式的特征直接求出對稱軸為直線x=[2a2a]=1，再利用對稱性，由A（-1，0）求出B點坐標（3，0），設交點式y=a（x+1）（x-3），將點（2，-3）代入即可。

師：不計算能說明此函數必經過（0，-3）嗎？為什么？

生7：利用對稱軸直線x=1及點（2，-3），由對稱性直接求出C（0，-3）。

師：還可以獲得些什么？

生8：可以求線段所在直線的解析式，如直線BC的解析式為y=x-3。

生9：可以求線段的長度，如AB=4。

生10：可以求一些直線與x軸、y軸的特殊夾角，如BC與y軸夾角為45°。

師：除了考慮到了求點坐標、線段（或直線）解析式、長度及一些特殊角度外，你還會聯想到什么？

生11：把得出的線段長、角度放入幾何圖形中去。

師：對，例如放到三角形中去……

基于學生的，才是適切的、深刻的。教師基于學生的已有基礎設計問題，引發學生自然聯想，這樣設計問題才是適切的；在學情預設和學生現場回答的情況下，適時追問，不斷促使學生思維走向深刻。問題與追問，共同構成了深度思維的系統演繹過程，有利于學生深度思維的培養。筆者基于學生的學情，設計這樣的問題與問題串，起步低、落腳高，引導學生從二次函數的解析式特征獲知有用信息，自主探究，在追問質疑中生成有深度、高質量的思維活動。

3.課堂探究變式訓練。

把握事物的本質不是直接告訴學生本質是什么，而是要讓學生通過主動探究和體驗，在變化中抓住不變的本質；要通過一個背景展開教學過程，進行變式探究，在變式中剝離非本質屬性，呈現知識、方法的本質特征，讓學生站得高，想得深遠。筆者基于一個簡單背景進行變式訓練，將涉及三角形的問題一一呈現，如定面積問題、面積最大問題、直角三角形問題、相似三角形問題等，將學生的思維引向深入，讓學生在變化中感悟不變的思想方法。這無疑是復習課激發學生深度參與的一種方式。

探究問題：例題的條件不變，在此拋物線上找一點P，使△ACP為直角三角形，這樣的P點有幾個？并求點P的坐標。

變式1：將“點P在拋物線上”改成“點P在拋物線的對稱軸上”。（讓學生略微分析方法思路）

變式2：將“△ACP為直角三角形”改為“△ACP為等腰三角形”。

（由學生總結構造直角三角形與等腰三角形的基本技能：判斷是否有兩定點；在兩定點前提下由“兩線一圓”構造直角三角形、由“兩圓一線”構造等腰三角形。）

變式3：在對稱軸上是否存在一點P，使以C、D、P為頂點的三角形與△ABC相似？（也讓學生思考一下找全等三角形的方法。）

變式4：請在拋物線上找一點P，使△BCD的面積與△CDP的面積相等，并求點P坐標。

變式5：此拋物線上是否存在使△CDP的面積最大的點P？

基于變式的，才是本質的、深遠的。這組變式由例題背景出發，層層遞進，或構建特殊三角形并變換形狀，或引入相似，或求面積，或找最值。通過豐富的變式，既減少學生熟悉題目的時間，又減少機械低效的計算。學生在不斷的變式中，抓住分析問題的通法，抓住幾何圖形的性質，學會了轉化問題的思想方法，提升了解題能力。

三、教學反思

1.整體設計要系統整合。

本節課的主題是“二次函數的幾何應用”，筆者在教材的整合上體現了整體性。在九年級上學期二次函數的應用中盡管包羅萬象，但是拋物線與直線形圖形的綜合無非就是特殊圖形的存在性問題、面積的最值問題、圖形之間特殊的關系問題等。站在九年級教學的系統角度來看，對于本節課，要先整體感知、宏觀把握，然后到九年級下學期專題復習之時再劃分類別、各個擊破。這是一種有層次、有節奏的系統規劃。

2. 系統整合要瞻前顧后。

本節課從拋物線的點的坐標計算開始，由點的坐標得到線段的長、直線的表達式，再由線的計算進入基本圖形——三角形的形狀研究和大小計算，帶領學生研究了特殊的三角形——直角三角形的存在問題、面積的計算問題和面積的最值問題，復習運用了二次函數、一次函數、勾股定理等基礎知識，總結提煉了直角三角形存在問題的“兩線一圓”找點法和等腰三角形存在問題的“兩圓一線”找點法，滲透了將面積求解轉化為“軸上形”的轉化思想。由此再進一步帶領學生往后眺望。學生掌握了拋物線與三角形之間的相關知識處理方法后，必將可以類比這些方法解決與其他圖形（如四邊形、五邊形、多邊形，甚至圓）間的關聯問題，解答與圖形的形狀確定、圖形的面積大小、圖形之間的聯系問題，讓學生多角度體驗，思維真正地由淺到深得以鍛煉。

3. 系統演繹要環環相扣。

教師站位要比較高，對知識點與知識點、題與題之間的銜接要自然巧妙。學生在筆者的啟發引導下不僅能深入課堂，而且在思維的廣度和深度上都得到了有效訓練，自然地獲得深刻體驗。筆者從一開始的開放式問答就抓住了學生的注意力，由點到線，再到形，引出了本節課的重點，在給出題目后設置了一連串追問：“看到這些信息，你想到了什么？”“c是多少，怎么求的？”“不用計算，你能說說拋物線肯定經過（0，-3）的理由嗎？”“除了剛才的方法，求這個拋物線的解析式還有哪些方法？”以此促使學生不斷深入思考，培養了學生的讀題、審題、篩選信息的技能。

（作者單位：1.江蘇省無錫市西漳中學，2.江蘇省無錫市太湖格致中學）

本文是江蘇省教育科學“十三五”規劃課題“指向初中數學核心概念主動建構的教學研究”（立項編號C-c/2016/02/02）的階段研究成果。