強化解方程訓練 提高解題的能力

謝秀喜

【摘 要】學好數學，要學會透過現象看本質，要領會問題的思想方法，由尋找聯系入手，運用特殊與一般的思想方法，把個別的離散的現象構造成等式關系，建立成方程系統。通過解方程，獲得問題的答案。從而培養學生善于觀察、分析、思考的學習習慣，提高學生發現問題和解決問題的能力。

【關鍵詞】列方程 方程組 解方程

數學思想方法是數學寶庫中的重要組成部分，是數學學科賴以建立和發展的重要因素，在初中數學教學中，要把數學思想方法和知識技能融為一體，培養學生的能力，提高學生的技能。根據筆者長期的理論研究和教學實踐，本文談談“強化解方程訓練，提高解題的能力”

一、列方程解實際應用問題

列方程和解方程是數學的基本訓練，是數學解題的重要技巧。列方程解應用題是考查學生對數學知識掌握與應用的一個重要的方法和技能。

案例一：為了慶祝“六一”兒童節，海山中學七年級宏志班買阿爾卑斯棒棒糖分給班上每位同學。如果每人分3根，剩余20根；如果每人分4根，還缺25根。問這個班有多少學生？買了多少根棒棒糖？

分析：這是典型的“等量問題”，棒棒糖的總數是定值，表示總數的方法有兩種。設這個班級有x名學生，每人分3根，需要3x根，加上剩余的20根，棒棒糖共（3x+20）根；每人分4根，需要4x根，減去缺的25根，棒棒糖共（4 x-25）根。這批棒棒糖的總數是定值，表示它的兩個式子相等。

解：設這個班有x名學生，依題意得到關系式：3x+20=4x-25

解得：x=45。所以棒棒糖的數量是：3×45+20=155

由此可知，這個班有45名學生，這次活動共買棒棒糖155根。

反思：（1）教師要善于指導學生尋找等量關系進行列方程。常見的等量關系有：①利用周長、面積、體積公式建立相等關系；②行程問題：路程=速度×時間；③追擊問題：追擊差=速度差×追擊時間；④工程問題：工作量=工作時間×工作效率；⑤濃度問題（以鹽水為例）：濃度=（鹽÷鹽水）×100%；鹽水=鹽+水；③鹽=鹽水×鹽水濃度；⑥航速問題（以船為例）：順水速度=靜水速度+水速；逆水速度=靜水速度-水速；⑦利潤問題：商品利潤=售價-進價；商品實售價=商品原價（標價）×（折數×0.1）；商品利潤率=商品的利潤÷商品的進價=（商品的售價-進價）÷商品的進價。通過指導學生尋找“等量關系”，就可以使問題獲得解決。

（2）列方程解應用題的一般思路是“審題、找等量、設元、列方程、解方程、檢驗”等。關鍵是四步驟：①通過讀題和分析問題條件，找到等量關系。有的習題條件不直觀，不能直接找出相等的關系，可以通過“列表、畫圖、找關鍵數字、找重要詞語”等方法挖出隱含的等量關系；②設未知數可直接設和間接設，依找的相等關系來設。③列出包含已知和未知量的代數式，用等量關系連接，就列出方程。④解方程結束時，要檢驗所得解是否方程的解，是否滿足實際問題。

二、運用列方程組解決問題

方程組是刻畫實際問題的重要數學模型，在現實中具有廣泛的應用，用它解決實際問題時，要注意分析問題中的各種等量關系，引進適當的未知量，建立相應的方程組。

案例二：美麗的山下村和風景秀麗的江邊村相距48千米。一葉小舟從山下村順流而下到江邊村需2小時，從江邊村逆流而上山下村要用3小時，問小舟在靜水中的平均速度是多少？水流平均速度又是多少？

分析：這個問題中要求兩個未知數，它是順流、逆流的航速問題。已知兩村的距離和順流航行需2小時，逆流航行需3小時，求兩個未知數需設兩個方程。根據順流航行路程=順流航行時間×順流航行速度，逆流航行路程=逆流航行時間×逆流航行速度，把它們組成方程組。根據解二元一次方程組的消元思想求得方程組的解。

解：設小舟在靜水中的速度和水流速度分別為x千米/小時和y千米/小時。

依題意得到：方程①2（x﹢y）=48和方程②3（x-y）=48；

通過指導學生解得x=20；y=4

由此可知，小舟在靜水中的速度為20千米/小時，水流速度為4千米/小時。

反思：解題中要注意審題，分別找出已知量和未知量，通過某種規律找到它們之間的相等關系。注意確定小舟順、逆流時合成速度的表達式；注意二元一次方程組是方程中含有兩個未知數，解方程組要注意等式性質的應用，解完方程組要將“解”代入原方程組中的每個方程進行檢驗，兩個方程都成立的解才是原方程的解。

三、解方程要理解“方程的解”

每個方程的未知數的取值范圍都有一定的限制，在解方程中，如果改變了原方程的未知數的取值范圍（縮小或擴大）都會影響方程的解，即可能漏掉一些解或摻進一些假的解，數學上分別叫做“失根”或“增根”。具體在解分式方程、無理方程、含絕對值的方程和高次方程時，由于實施某種變形可能改變未知數的取值范圍，因而可能失根或增根，所以解方程結束時一定要注意驗根。

案例三：解分式方程

分析：這是一個比較復雜的“分式方程”，解分式方程最容易出現的問題是“增根”與“失根”。所以教師要注意指導學生在解完分式方程之后，一定要進行“驗根”。

解：在教師的指導下，通過學生的討論與練習，經過“利用分比定理，去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1”等過程，解得“x1=-5；x2=1”

討論：原方程的未知數的取值范圍是：x≠1，x≠-2的所有實數，而經過用分比定理變形后所得的方程的未知數的取值范圍改變為x≠0的所有實數，這樣方程有產生增根的可能。經檢驗，x=1是方程的增根，應舍去，而x=0也能使方程的兩邊相等，也是方程的解，因此x=0是失去的根。

所以方程的解應為：

反思：解分式方程時，將分式方程轉化為整式方程時易產生增根，解完時一定要將“解”代入最簡公分母，如果“最簡公分母”為0，就是增根；即使最簡公分母不為0，也需代入原方程，只有使原方程左右兩邊相等的未知數的值才是分式方程的解，因為不論是解“一元一次方程、二元一次方程組、分式方程、一元二次方程”等得到的“解”，代入原方程檢驗可提高解題的準確度，避免解題的失誤。

四、一題多解提高解題能力

“一題多解”是培養學生發散性思維能力的重要途徑。教師教學時，①要善于運用鼓勵性的語言鼓勵學生思考，引導學生討論與交流，鼓勵學生積極參與；②要幫助和指導學生進行“多元的思考，多角度、發散思維、逆向思考”等方法的訓練。學生在“鼓勵、競爭、多角度、發散思維、逆向思考”等情境之中，將會“樂于表達自己的解題想法”，往往會出現“一題多解”的效果。

案例四：花農家有塊長方形花圃，邊長是方程 的兩個根，花農想知道這塊花圃的邊長是多少，你能夠幫助這個花農解決問題嗎？

分析：邊長滿足方程 的兩個根，只需得出這個方程的解即可。它是一元二次方程的標準形式，求解可考慮運用：①求根公式法；②配方法；③因式分解法等。在教師的啟發下，鼓勵學生“討論、交流、探索”等活動，尤其是通過“十字相乘”法的探討，培養學生發散性思維的能力，為學生將來的學習打下良好的基礎。

解法1、用求根公式法解得：x1=3； x2=2

解法2、用配方法解得：x1=3； x2=2

解法3、用十字相乘法，得到（x-3）（x-2）=0；解得：x1=3； x2=2

由此可知，長方形花圃的長為3，寬為2.

反思：（1）教師要善于指導學生多進行“一題多解”和“一題多變” 的解題訓練。這種訓練：①有利于培養學生發散性思維的能力，有效提高學生思維的靈活性；②可以有效地提高學生分析問題、解決問題和歸納能力等技能。

（2）本題解一元二次方程運用三種不同解法，過程、方法和思考角度不同，最終的結果一樣，富有異曲同工之美。有利于培養學生發散思維的能力，有助于培養學生大膽思考和大膽創新的能力。

（3）在教學活動中，鼓勵學生積極思考，找出最佳的解題思路，找出最優和最簡單的解決問題的辦法，拓寬學生解題思想，訓練學生思維能力，指導學生探求數學知識并會靈活運用，從而指導學生在更高層次上創造性學習和探究，促進學生解題能力的進一步提高都具有重要的意義。

（4）鼓勵學生積極反思，對重要數學公式、定理的應用進行系統小結，使學生對所學知識的內在聯系脈絡清晰，從而實現“舉一反三”的效果。

隨著數學的研究范圍不斷擴展，方程被普遍使用，從初等數學中的簡單代數方程，到高等數學中的微分方程、積分方程，方程的類型由簡單到復雜發展，不論怎樣發展，方程就是含有未知數的等式，都表達涉及未知數的相等關系。恩格斯說過“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學”，許多數學問題的未知數不是孤立的，它們與一些已知數之間有確定的聯系，這種聯系為一定的相等關系，把這種關系用數學形式寫出的是含有未知數的等式就是方程。解方程的基本思想方法都是依據相等關系使未知數逐步化歸為用已知數表達的形式，這正是方程的本質所在。方程的本質在于對已知數和未知數一視同仁，通過建立已知數和未知數間的等量關系，求得未知數。