一道高中數學建模題的實踐與思考

摘 要：建模素養是中學生六大數學核心素養之一，提升數學建模素養離不開學生的實踐。本文以一道數學建模題為例，探討如何在中學數學教學中落實建模活動，肯定了建模活動對培養學生數學建模能力的重要性。

關鍵詞：數學模型；攝像頭安裝；三視圖

數學模型將課堂上的數學知識與日常工作與生活聯系起來。數學建模活動使學生體驗從實際背景中抽象出數學問題、構建數學模型、尋求結果、解決問題的過程，激發數學興趣。在數學教學活動中適時引入數學建模活動，能夠啟發學生獨立思考，增加學生之間的交流，讓學生在掌握知識技能的同時，感悟數學的本質；讓學生積累數學思維的經驗，形成和發展數學核心素養。

1 商店攝像頭安裝問題

商店老板為預防盜竊，決定在房頂安裝攝像頭。攝像頭可以360°旋轉。商店平面圖如圖1所示，店老板將攝像頭安在了角落P點。

（1）圖1中標出了店里10個人的位置，記為A，B，C，D，E，F，G，H，J，K。問這10人是否全部在監控范圍內？說明你是如何得到結論的。

（2）店老板說商店15%的區域P點的攝像頭是監控不到的，證明此說法。

（3）為使攝像頭監控范圍最大，應把攝像頭安裝在什么位置？說明你是如何得到該結論的。

2 解題思路

（1）從點P引出直線代表攝像頭的視線，到達F和H兩點的直線將被墻壁遮擋，故F和H不住監控范圍內。

（2）題目已經將商店平面圖劃分為20個等大的小正方形，可以證明監控盲區面積相當于3個小正方形，3/20=15%。

（3）如圖2，將攝像頭安裝在點Q或Q附近時，監控盲區面積相當于兩個小正方形，2/20=10%。

3 學生實踐情況

題目包含三個問題，引導學生找到最優的攝像頭安裝方案。多數學生能夠正確回答前兩個問題，而第三個問題有一定的靈活性，能給出完整答案和分析的學生不多。部分學生能夠得出攝像頭安裝在點Q監控范圍會變大，但并沒有計算出Q點的監控面積；有些學生得到了Q點的監控面積，但沒有發現在Q點附近的左右兩側，監控面積與Q點相等；只有少數學生能夠發現規律，給出詳細的推導和分析。

4 教學思考

該建模題目為三維立體幾何問題，需要一定的空間想象能力。題目中給出了商店的俯視圖，將問題轉化為了二維平面幾何問題，并進一步將商店平面圖劃分成20個等大的小正方形，已經將現實問題數學化，把建立好的模型直接呈現出來。學生只需要利用已有模型解決問題，這大大降低了題目難度。高中學生在學習了三視圖后可以獨立完成此建模題目。

題目具有良好的區分度，教師能夠及時掌握學生的概念理解、數學推理、數學表達等情況。在實際教學中，教師可以根據需要對商店的尺寸數據進行修改，也可以考慮讓學生分組討論建立模型，通過小組交流與合作，鍛煉學生解決實際問題的能力。

5 小結

本文的建模題目選自美國數學評價資源網（Mathematics Assessment Resourse Service），是很好的數學建模素材。教師在日常教學中引入數學建模活動是非常必要的。豐富的數學建模實踐活動可以增強學生學習數學的興趣和信心，培養學生的抽象思維和推理能力，培養學生的創新意識和實踐能力，達到提升學生數學建模素養和綜合能力的目標。

參考文獻：

[1]普通高中數學課程標準[M].北京師范大學出版社，中華人民共和國教育部，2011.

[2]美國州際核心數學課程標準[M].人民教育出版社，全美州長協會和首席州立學校官員理事會，2016.

[3]史寧中.學科核心素養的培養與教學——以數學學科核心素養的培養為例[J].中小學管理，2017（01）.

課題項目：2018年吉林省教育學會教育科研規劃課題（立項編號JLXH13513954）

作者簡介：張秀英（1984-），女，長春師范大學國際教師教育學院，研究方向：教育測量與評價。