基于動力學分析的定點投籃命中條件的研究

摘 要：本文通過對定點投籃中籃球的動力學分析，得到了籃球空心進入籃筐的理論條件。首先，確定了球心經過籃筐中心時出手速度與出手角度滿足的條件；其次，考慮籃筐對籃球的阻攔作用，將籃球入框問題轉化為求籃球的大圓和籃筐的等效入射截面的位置關系的問題，從而得到籃球進入籃筐的入射角度和速度應滿足的條件；接下來，考慮了投籃時出手角度的橫向偏差，分析出手的角度的橫向偏差與命中的關系；最后，給出了籃球出手速度、角度所容許的誤差。

關鍵詞：定點投籃；出手角度；出手速度；入射角；入射速度

1 緒論

籃球運動是我們生活中最流行的體育項目之一，而提高投籃的準確性是我們都期待的。根據觀看大量的籃球比賽視頻以及自己投籃時的感悟，我們發現投籃的準確程度與籃球進入籃筐的角度和速度有關。本文對定點投籃過程建立動力學模型，旨在從理論上探究籃球空心入框的條件，用以提高籃球運動中的投籃準確率。

籃球從出手到空心入框的過程可劃分為兩個運動過程：籃球從出手到即將進入籃筐的運動過程和籃球從即將進入籃筐到命中的運動過程。在前一個運動過程中，無需考慮籃球的形狀，可將籃球視為質點，此時籃球的運動過程可以看作斜拋運動。在后一個運動過程中，運動過程很短，可將其近似地視為勻速直線運動，而由于籃筐大小的限制，需考慮籃球實際的形狀對入框的影響。因此，首先將籃球視為質點，建立籃球球心軌跡模型，在不考慮籃筐大小的前提下，得到籃球球心經過籃筐中心的條件。在此基礎上，分析籃球即將入框時，使籃球不擦碰籃筐順利投入籃筐時，入射角應滿足的條件。最后，分析給出了出手的角度（橫向的偏角）和速度大小允許的偏差。

2 球心經過筐心的條件

2.1 籃球運動軌跡經過筐心的條件

首先考慮籃球球心正好命中籃筐中心的情況。此時無需考慮籃筐的阻攔，可將籃球視為一個質點。由斜拋運動的知識，可將投籃出手速度沿水平和垂直方向分解，求出籃球在水平方向和垂直方向的運動學方程，進而建立籃球球心的運動軌跡模型。由于籃筐中心的位置在籃球的運動軌跡上，將籃筐中心的坐標代入籃球的軌跡方程，即可得到出手速度與角度的函數關系。

假設投籃時出手速度與籃筐中心在一個平面內，無橫向偏角，相當于籃球只在球心、籃筐中心與出手速度三者所確定的平面內運動。不考慮籃球的旋轉，將籃球的運動看作二維的斜拋運動。于是，將坐標原點定在籃球出手時的球心，水平方向設為x軸方向，豎直方向設為y軸方向，建立如圖2.1所示的平面直角坐標系。

只考慮重力的作用，設籃球從剛出手時的球心O為坐標原點，x軸為水平方向，y軸為豎直方向，籃球在t=0時以出手速度v0和出手角度θ投出。根據牛頓第二定律可得水平方向與豎直方向上的動力學方程分別為：

于是，對于一定的投籃高度h，使式（2.4）等號成立的初速度即為最小出手速度vmin。顯然，vmin是h的減函數，即出手高度越大，最小出手速度越小，這與日常生活經驗相符。

（2.5）式所確定的出手角度有兩個。根據國際籃聯的規定，籃筐高度的統一標準是H=3.05m，三分線距離籃筐中心的水平距離L=6.75m，重力加速度g取9.8m/s2，出手高度h=2.2m（下文同）。使用MATLAB進行仿真，仿真結果如圖2.2所示。

綜上所述，將籃球視為質點，籃球中心經過籃筐中心時，出手角度θ與出手速度v0的關系為。

2.2 籃球入筐的條件

由于有籃筐的阻擋，在即將進入籃筐時，籃球不能被視為質點。根據三維投影的原理，當我們看桌面上的圓盤時，眼睛越接近圓盤所在的平面，看到的圓盤越“扁”，只有在圓盤正上方俯視時，圓盤才是圓的，面積也是最大的。在投籃時，斜飛過來的籃球，籃球的運動軌跡為拋物線，但當籃球靠近籃筐時，可以認為籃球是以勻速直線運動進入籃筐的，因為是在很小的范圍內，并且入筐時拋物線是凸的，所以這樣的簡化是合理的。通過類比三維投影的原理可知，對于斜飛來的籃球，籃筐并不是圓形的，我們稱它的實際效果面為入射截面，它是籃筐的圓形在垂直于籃球入射速度方向上的投影，是一個橢圓形。[1]記籃筐的直徑為D，根據圖2.3側視圖的投影可知，該橢圓的長半軸為a=D/2，短半軸為b=Dsinβ/2。

3 籃球出手的最大橫向偏角

當籃球命中球心時，將籃筐投影到與入射方向垂直且過籃筐前沿的平面，則籃筐為如圖的橢圓。容易知道當籃球的大圓圓心偏離橢圓中心最遠時，大圓圓心一定在橢圓的長軸AB上，此時為左右偏移能取得最大的狀態，最大偏移時籃球與該投影橢圓相切。因此只需要考慮當籃球球心命中橢圓長軸AB上的情況，建立橢圓與籃球大圓的方程，算出橢圓中心與大圓圓心的最大偏離距離，用最大偏移距離除以出手點到籃筐中心的距離OO即為橫向偏角的正切值。由于最大橫向偏角很小，可以該角度近似等于該角度的正切，由此便可求出最大橫向偏角。建立的坐標系如圖3.1所示。

4 籃球出手時容許偏差分析

盡管本文通過精確的理論計算得出了理想的投籃出手角度和出手速度，但是當我們按照理想的出手速度和出手角度進行投籃時，難免會和理想的情況有一定的角度和速度偏差，不同的情況下偏差影響程度和允許的偏差又會有差別，本文通過微分近似確定了出手速度和角度所容許的偏差。[4]

4.1 出手速度與角度的容差

首先尋找出手角度偏差和落點偏差的關系。對籃球運動軌跡方程：

5 結語

本文的研究結果具有理論與實際應用意義，可將結果推廣至籃球運動員投籃訓練中，比如以何種出手速度、出手角度可增大投籃命中率，何種角度出手可以減小速度節省體力，何種入射角可以有最大的出手誤差范圍等。將理論推廣至實際訓練中，使用某些科學手段，將籃球出手角度和出手力度控制在一定范圍進行訓練，久而久之形成動力定型，有利于提高命中率。運動員在準備投籃時根據當時所處位置和情況靈活運用本文的科學原理，快速做出反應，在提高命中率的前提下節省體力，從而以更為輕松的姿態贏得比賽的勝利。

參考文獻：

[1]段然.籃球投籃運動軌跡與命中率的物理模型[J].科技創新導報，2009（20）：242-243.

[2]梁雙鳳，李保榮，梁林.橢圓內切圓與曲率圓的方程及圖像研究[J].玉溪師范學院學報，2010，26（8）：8-13.

[3]劉強.關于等價無窮小量[J].高等數學研究，2011，14（1）：22-23.

[4]高秀明，蘇永福.用變分方法研究籃球投籃最佳出手角[J].數學的實踐與認識，2008，38（6）：143-150.

作者簡介：李明龍（2000-），男，漢族，山東省泰安市東平縣人，東平縣高級中學高三理科班學生。