平行投影與三角形相似

李春紅

小學學習正比例時，通過測量的方式獲得“在同一時刻，同一地點，物長與影長成正比”.我們把這一事實整理為圖1.圖1中的物長A1C1和物長A2C2所在的直線垂直于地平線l，線段C1B1和C2B2分別為物長A1C1和物長A2C2的影長，A1B1和A2B2為物長頂端與影長末端的連線段.

1.探究圖1中的Rt△A1B1C1與Rt△A2B2C2是否相似

如圖1，當物長A1C1和物長A2C2所在的直線垂直于地平線l，用一組平行光線照射物長A1C1和物長A2C2時，物長與影長成正比.這時由物長、影長和物長頂端與影子末端的連線段組成兩個直角三角形，它們分別是Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2.由A1B1∥A2B2和公共直角相等可知Rt△A1B1C1的三個角與Rt△A2B2C2的三個角對應相等.設Rt△A1B1C1的頂點A1、B1、C1在Rt△A1B1C1中所對的邊分別為a1、b1、c1，Rt△A2B2C2的頂點A2、B2、C2在Rt△A2B2C2中所對的邊分別為a2、b2、c2，由物長與影長成正比可得 = =k>0，知b2= k b1，a2= k a1.

由勾股定理得c1= ，c2= = =

= =k .

∴ = =k

∴ = = .

2.當物長所在的直線不垂直于地平線l時所得的三角形的與原三角形是否相似.

我們把圖1繞點B2旋轉到使A2B2與地平線重合再向右平移得到圖2.在圖2中，把Rt△A1B1C1平移到使點B1和點B2重合時得到圖3，在圖3中用一組平行于A2C2的光線照射物長B1C1和物長B2C2，此時，Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對應角是否相等？物長與影長是否成正比？由平移和旋轉是全等變換可知Rt△A1B1C1和Rt△A2B2C2的對應角相等，物長與影長成正比.同樣，在圖2中，如果把Rt△A1B1C1平移到使點A1和點A2重合時得到圖4，在圖4中用一組平行于B2C2的光線照射物長A1C1和物長A2C2時，由平移和旋轉是全等變換可知這兩個三角形的對應角相等，物長與影長成正比.

如圖5中，當物長A1B1和物長A2B2所在的直線不垂直于地平線l，用一平行光線照射物長A1B1和物長A2B2，由物長、影長和物長頂端與影子末端的連線段組成兩個銳角三角形，它們分別是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得這兩個銳角三角形的角對應相等.過點B2作B2D2⊥A2C2，垂足為D2，交A1C1于點D1，這條垂線把圖5中的△A1B1C1和△A2B2C2都分成圖兩部份，一部份由Rt△B1C1D1和Rt△B2C2 D2所組成，一部份由Rt△B1A1D1和Rt△B2A2D2所組成，可以看出圖5被這條垂線分割開的每一部份都是圖3和圖4中的基本圖形，從而得到 = = = = =m，C2D2=mC1D1，D2A2=mD1A1.

= = = =m= = ，即： = = ，這兩個三角形的三邊對應成比例. 所以Rt△A1B1C1∽Rt△A2B2C2.

如圖6和圖7，當物長A1B1和物長A2B2所在的直線不垂直于地平線l，用一組平行于A2C2光線照射物長A1B1和物長A2B2，由物長、影長和物長頂端與影子末端的連線段組成兩個鈍角三角形，它們分別是△A1B1C1和△A2B2C2.由A1C1∥A2C2和公共角相等可得這兩個鈍角三角形的角對應相等.過點B2作B2D2⊥A2C2，在直線A2C2上的垂足為D2，交直線C1A1于點D1，這條垂線把圖6和圖7分成兩部份，一部份是Rt△B1C1D1和Rt△B2C2D2所組成，一部份是Rt△B1A1D1和Rt△B2A2 D2所組成，每一部份都是圖3和圖4中的基本圖形，從而得到圖7中的對應邊的比為 = = = = =n，D2C2=nD1C1，D2A2=n D1A1， = = = =n= = ，即： = = ，這兩個三角形的三邊對應成比例。所以Rt△A1B1C1∽Rt△A2B2C2.

總結：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線，所截得的三角形的三個角與原三角形的三個角對應相等，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例（即所截得的三角形與原三角形相似）.

3.利用平移和旋轉運動可以由圖8得到圖9

4.整合：可以由平行進行以下兩個方面的推導

第一方面：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線，所截得的對應線段成比例.此類比例式中的線段與平行線上的線段無關。

第二方面：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長線，所截得的三角形與原三角形相似。