函數一致連續性證明方法探究及推廣

李一帆

函數的一致連續性是數學分析中的重點內容，對函數一致連續性的證明是數學分析中的難點，但對于某一例題來說，結合其特點與一致連續性的多種定理，問題會有多種解決方法，但是如何為問題選擇一種最有效最簡單的解決方法是本文討論的重點內容.

1以 為例討論一致連續性的證明方法

分析 在 上處處連續，導函數存在且在定義域兩端的極限存在，本文對 ， 上一致連續性的證明這幾個重要特點出發，結合相應定理給出五種證明方法.

1.1依定義證明

定義1 設 為定義在區間 上的函數，若對任給的 存在 = ，使得對任何 ，只要 ，就有 ，則稱函數 在區間 上一致連續.

證法一 任給 由于 ，故可選取 ，則對任何 ，只要 ，就有

，

這就證得 在 上一致連續.

1.2依定理證明

1.2.1依與導函數有關的定理證明

定理1 設函數 在區間 上有有界導函數，則 在區間 上一致連續.

證法二 因為 在 上存在導函數，且 ，在 上有 ，有界，所以由定理1可知： 在 一致連續.

引理設區間 的右端點為 ，區間 的左端點也為 ，（ ， 可分別為有限或無限區間），若 分別在 和 上一致連續，則 在 上也一致連續.

定理2 若 且 收斂，則 在 上一致連續.

證法三 令 ，則 ， （ ）， ，而 ，所以， 在 上收斂，則由定理2知： 在 上一致連續.

定理3 若函數 在 上可導，且 （常數或 ），則 在 上一致連續的充分必要條件是 為常數.

證法四因為 在 上連續，在 內可導，且 ，

又 ，其中 為常數，所以由定理3可知： 在 上一致連續.

1.2.2依與極限有關的定理證明

定理4 設函數 在 上連續，且 存在且有限，則 在 上一致連續.

證法五 在 上連續，而 0，所以 存在且為有限數，則由定理4可知： 在 上一致連續.

1.3 方法分析

（1）定義證明法最容易想到且是最簡單有效的方法.

（2）法二、法三和法四都利用了 在 上存在導函數及其導函數的性質來解決問題，但不同的是法二中要討論導函數的有界性，法三要討論導函數積分的斂散性，法四要討論導函數在 時的極限值，這三種方法相比起來，法四更易操作，其次是法二，再次是法三.

（3）法五利用 在 上的一致連續性及當 時的極限值是否有限來判斷它本身的一致連續性，在實際證明中也較易實現的一種方法.

綜上，對 在 上的一致連續性證明的方法選擇順序應為：一、五、四、二、三 .

2 函數一致連續性證明方法的推廣

2.1 依定義證明較為簡單的問題

由于 在 上一致連續意味著：不論兩點 與 在 中處于什么位置，只要它們的距離小于 ，就可使 .因此證明一些形式較為簡單的，并且容易得出 與 的函數的一致連續性，可依據定義進行證明.例如 ， 、 ， 等函數都能依據定義得出函數在其定義域上一致連續.

2.2 依與導函數有關的定理證明較為簡單的問題

某些函數在定義域上存在導函數，此時我們可以考慮依據函數的這一性質來得出所給函數在其定義域上的一致連續性.

2.2.1依定理1證明較為簡單的問題

由于函數的一致連續是要求當函數的自變量的改變很小時，其函數值的改變量也很小，從而要求函數的到數值不能太大，所以只需要求函數的導函數有界即可得出函數在其定義域上一致連續.例如證明 ， 、 ， 等函數的一致連續性在依據定理1證明時簡單易行.

2.2.2依定理2證明較為簡單的問題

對于定義在 上的函數，如果它存在導函數且導函數在其定義域上可積，則可先判斷此無窮限積分的斂散性，再依據定理2得出所給函數是否在其定義域上一致連續就變得十分容易了.例如證明 ， 、 ， 時利用定理2來得出結論十分容易.

2.2.3依定理3證明較為簡單的問題

對于定義在 上的函數，如果它在定義域上連續，在定義域內可導，并且當 時，其導函數的極限存在且有限，這時可根據定理3得出所給函數在其定義域上一致連續.例如 ， 、 ， 都可依據定理3很容易得出其在定義域上一致連續.

2.3 依與極限有關的定理4證明較為簡單的問題

極限存在是函數的一個重要性質，我們可以考慮依據函數的這一性質來證明函數在其定義域上的一致連續性.

對于定義在 上的函數，我們可以通過先判斷函數在 處的極限是否存在是否有限，然后再根據定理4來證明函數在其定義域上是否一致連續.例如在證明 ， 、 ， 的一致連續性時，定理4堪稱首選.

（作者單位：河南工業和信息化職業學院）