再說微積分學中的這個重要函數

陸宗斌

在《微積分學中一個重要函數》一文中，我們對第一個重要極限

中的函數 進行了一系列的討論，指出了一些顯著的特點，但也掛一漏萬，對于導數的計算也沒有展開討論，本文就進行這方面的討論。

由于 的定義域為 ，所以由求導公式、法則可以得：

……①

顯然，除了 點外， 處處可導， 連續。

作為 的一個可去間斷點，我們可以補充定義后使其成為連續函數：

這樣就有了 在 點處作為連續函數的導數問題，下面就從多個角度進行討論：

1 幾何圖象觀察（上文中有圖象）

通過對 圖象的觀察，可以猜測： 在 點處不但是連續的，而且是光滑的，加上對稱性， 在 點處應該有水平切線，即 。

2 直接定義計算

因為 不是初等函數了，所以由導數的定義計算：

……②

可以看到，②式這一極限計算僅用代數式的恒等變型是相當困難的，應采取其他辦法。

（1）等價代換法 由第一個重要極限可知：當 時， ，于是

②式

似乎簡單之極，但這是錯誤的做法！一則等價代換不適用于有加減運算的函數極限；二則，假設這個方法及計算是正確的，那么就有

即， 是比 高階的無窮小，也就是 了，顯然假設錯誤。

（2）羅必塔法則 兩次使用羅必塔法則

②式

3 利用連續性計算

利用 時的導函數 ，取 時①式的極限：

注：上式中第三個等號是通過羅必塔法則計算而得到的。

通過上面的計算，我們可以得到：

顯然， 在 點處是連續的。

那么， 二階導數呢？更高階的導數呢？另外等價代換時為什么出錯？羅必塔法則使用正確合理嗎？……，使用冪級數就能很好地說明及解決這些問題。

4 利用冪級數進行討論

正弦函數有冪級數展開式：

等式兩邊同除 后，左邊就是 ，這時 不能為 ，而右邊冪級數中 ，原因是 為 的可去間斷點，冪級數恰好去除了這個間斷點，所以，的求導就成為逐項（冪函數的）求導

（若增加余弦函數的冪級數展開式，我們可以將①式進行展開，其結果與上式一樣。）

所以 ，計算十分簡單。

同時， 的高階導數計算也容易多了

……

另外，等價代換問題也可以解釋了，正弦函數及其展開式兩邊同減

在由②式相關的下面極限中

當 時，為無窮小量；當 時，等于 ；當 時，為無窮大量。

是一個與 同階的無窮小量。說明 與 是有差距的，但誤差不大，等價無窮小相減后會成為（比自身）更高階的無窮小，也就是誤差更小，但仍有差距。如果代換后成為直接抵消就是沒有了差距，所以前面的計算是巧合，等價無窮小代換是有條件的。

可以看到， 與 是最簡單也是最熟悉的函數，僅作一個相除而得到的函數 ，諸多性質發生了變化，引出的許多問題及解決方法貫穿整個微積分學，用級數解釋無窮小等價代換、解決求導問題（包括高價導數）、解決可積而積不出問題、…，都十分簡單、方便。

（作者單位：蘇州健雄職業技術學院）