基于bootstrap小樣本數據的判別分析

劉媚，白巖

(寧夏師范學院 數學與計算機科學學院，寧夏 固原 756000)

1 問題的提出

企業信用風險評估，一直是金融經濟學理論領域關注和探討的問題，尤其隨著近年來國家對小微企業的扶持力度增加，金融機構對中小企業的融資政策也會放寬.但是由于小企業本身數據較少，質量不高，精度不夠，這些都影響銀行和投資人的評判，也增加了投資的風險.1968年美國紐約大學商學院Altman教授提出了應用于商業的Zeta模型[1]，后來，Edmister教授提出了針對小企業的財務風險判別分析模型[2].如何對小企業的信用風險，進行恰當的評估成為降低小企業信用風險的有效方法，文章結合實際企業的財政數據，利用不同的抽樣方法，針對小樣本數據進行判別分析，比較這些研究方法在金融領域應用的有效性和實用性.

2 判別分析

判別分析是利用已知類別的樣本培訓模型，為未知樣本判類的一種統計方法.它產生于19世紀30年代.它的特點是根據已掌握的、歷史上每個類別的若干樣本的數據信息，總結出客觀事物分類的規律性，建立判別公式和判別準則.然后，當遇到新的樣本點時，只要根據總結出來的判別公式和判別準則，就能判別該樣本點所屬的類別.

判別分析就是將P維Euclid空間Rp劃分成k個互不相交的區域R1,R2,……Rk，且Ri∩Rj=φ,i≠j,i,j=1,2…k.當x∈Ri,i=1,2…,k,就判定x屬于Xi,i=1,2,…,k.

判別分析應滿足的基本條件：

(1)預測變量盡可能服從正態分布；

(2)所選擇的預測變量之間的相關性較弱且保持一致；

(3)預測變量應該是連續、不間斷變量，而判別類別或組別是間斷變量；

(4)預測變量的平均值和方差沒有相關性.

應用Feshir方法進行實際分析時要注意：樣本空間的數量盡可能大；對已知因變量的分類或分組要盡可能客觀、準確、可靠.這樣建立的判別函數才能起到準確的判別效果.

2.1 Feshir判別

Fisher判別的基本思路就是投影，針對P維空間中的某點x=(x1，x2，x3...，xp)尋找一個能使它降為一維數值的線性函數

y(x)：y(x)=∑cjxj

然后應用這個線性函數，把P維空間中的已知類別總體，以及求知類別歸屬的樣本都變換為一維數據，再根據其間的親疏程度，把未知歸屬的樣本點判定其歸屬.這個線性函數應該滿足，能夠在把P維空間中的所有點轉化為一維數值之后，既能最大限度地縮小同類中各個樣本點之間的差異，又能最大限度地擴大不同類別中各個樣本點之間的差異，這樣才可能獲得較高的判別效率.在一般利用一元方差分析的思想，即依據組間均方差與組內均方差之比最大的原則，來進行判別.

2.2 判別結果檢驗

由于概率分布的選取會造成計算結果的差異，影響判斷和決策的制定，而小樣本數據恰好會影響總體的估計，所以可以通過抽樣方法改善小樣本數據的先天不足.常用最簡單的抽樣方法是直接抽樣、重復抽樣，另外還有bootsrap方法，該方法可以將小樣本問題轉化為大樣本問題來估計未知參數的近似分布，下面就利用不同的抽樣方法對實際觀測數據進行判別分析.

3 基于bootstrap的判別分析

以寧夏銀川市某商業銀行為例，截止到2013年9月末，信貸資產總額207億元，5級分類口徑不良貸款余額為3.87億元，不良貸款率1.47%.全行公司類信貸客戶89戶，分布在37個行業，列前3位的是采礦業，貸款余額39億元；制造業，貸款余額32億元；批發業，貸款余額29億元；以上3個行業貸款占全行貸款余額的60%.對該行信貸數據進行隨機抽樣得到44個觀測值利用不同的抽樣方法進行分析.

3.1 bootstrap方法

bootstrap(自助法或自助抽樣法)方法，是根據給定的原始樣本，復制觀測信息對總體的分布特性進行統計推斷，不需要額外的信息.Efron(1979)認為該方法也屬于非參數統計方法.bootstrap方法從觀察數據出發，不需任何分布假定，是頻率論中一種決定誤差的方法(Efron，1979；Hastie et al.，2001).這種方法中，使用下面的方式創造多個數據集：假設我們的原始數據集包含N個數據點X=x1,x2,…xN.我們可以通過隨機的從X中取N個數據來創建數據集XB，選取是可以重復的，所以有些X中的點可能在XB中出現多次，而有些可能不出現.這樣的過程可以重復L次，得到L個大小為N的通過對原數據集X采樣得到的數據集.參數估計的統計精確度就可以通過考察不同的自助數據集之間的預測變異性來進行評估.因而，bootstrap方法能夠解決許多傳統統計分析方法不能解決的問題.是一種從給定訓練集中有放回的均勻抽樣，即每當選中一個樣本，它等可能地被再次選中并被再次添加到訓練集中.其核心思想和基本步驟如下：

(1)采用重抽樣技術從原始樣本中抽取一定數量(自己給定)的樣本，此過程允許重復抽樣.

(2)根據抽出的樣本計算給定的統計量T.

(3)重復上述N次(一般大于1000)，得到N個統計量T.

(4)計算上述N個統計量T的樣本方差，得到統計量的方差.

應該說bootstrap是現代統計學較為流行的一種統計方法，在小樣本時效果很好.

利用bootstrap方法對44個觀測值抽樣后重新進行判別，樣本為1000，分類函數為：

判別分析結果見表1：

表1 bootstrap分類結果

3.2 重復抽樣的方法對數據進行判別分析

用現有的數據分別取概率(0.7，0.3)產生訓練集和預測集得到的判別結果見表2.

表2 重復抽樣分類結果

3.3 根據實數據直接進行判別分析

利用現有17個數據作為訓練集，27個測試集進行判別，結果如表3.

表3 直接法分類結果

利用三種不同方法進行判別分析后，得到的判別結果和判錯率由表1、2、3給出，對于3種判別方法的檢驗見表4，可以看出這3種方法的判別函數均有效.由于bootstrap方法判錯率最低.所以對于少數民族地區小企業這樣的小樣本數據，進行信用風險估計時，可以利用該方法進行判別分析.

表4 3種不同方法判別分析函數檢驗的Wilks的Lambda

參考文獻：

[1]ALTMAN E I.Financial ratios，discriminant analysis and the prediction of corporate bankruptcy[J].Journal of Finance,1968,10：5892609.

[2]EDM ISTER R.An empirical test of financial ratio analysis for small business failure prediction[J].Journal of Finance Quantitative Analysis，1972，5：147721493.

[3]Efron.Bootstrap Methods：Another Look at the Jackknife[M].The Annals of Statistics,1979，7：1-26.