非Chetaev型非完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量

鄭世旺

(商丘師范學院 電子電氣工程學院，河南 商丘 476000)

0 引 言

動力學系統對稱性的研究是為了尋找其中的守恒量，動力學系統中存在的守恒量能揭示其中的守恒規律，進入21世紀以來,對稱性與守恒量的研究得到了蓬勃發展[1-11].2000年梅鳳翔教授提出一種新的對稱性理論[2]，時稱形式不變性，后被稱之為Mei對稱性，Mei對稱性提出后，一種新的守恒量被發現，被人們稱之為Mei守恒量，現在，Mei對稱性及其守恒量的研究已涉及到多種動力學系統[2].共形不變性的研究起源于俄羅斯學者Galiullin等人[12]，并于2008年以后在我國得到發展，現已擴展到多個領域[13-18].在分析力學中有多種動力學方程，這些動力學方程雖然形式各異，動力學函數也不盡相同，但本質上是等價的、相通的.Tzénoff方程作為動力學方程的一種，雖然其動力學函數構造起來較為困難，但動力學方程的結構形式卻較為簡捷，目前，Tzénoff方程對稱性與守恒量的研究也取得了不少成績[19-24]，但其共形不變性的研究才剛起步[25-26].關于非完整動力學系統的研究基本上是以Chetaev型為前提，而實際上，非Chetaev型非完整系統則更為普遍.本文研究了非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程的Mei對稱性共形不變性及其守恒量.定義了系統共形不變性的概念并給出判據方程，探究該系統Mei對稱性共形不變性在滿足什么條件下才產生守恒量，并給出守恒量的函數式和導出這種守恒量的條件方程，最后展示一個研究例證.

1 非Chetaev型非完整約束系統的Tzénoff方程

設由n個廣義坐標qs(s=1，…，n)來確定動力學系統的位形，它的運動受有g個雙面理想非Chetaev型非完整約束

(1)

約束加在虛位移上的限制為

(2)

(3)

(4)

(5)

(5)式中

(6)

可由方程(4)求出廣義加速度

(7)

由(7)式可得到

(8)

2 非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性

把時間和坐標做無限小變換

(9)

其中ξ0，ξs為無限小變換生成元，ε是一無限小參數.于是有

(10)

(11)

(12)

其中

非完整約束(1)在(9)式變換下的不變性表示為約束限制方程

(13)

因為用變換后的動力學函數替代原動力學函數，動力學方程的形式仍保持不變的一種對稱性稱為Mei對稱性[2]，故可利用(10)-(12)式與方程(5)、(1)之間的關系得到

(14)

或

(15)

且約束限制方程(13)成立，則這種不變性稱之為非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程的Mei對稱性.方程(15)即為系統Mei對稱性的判定方程.

(16)

(17)

證明 設非Chetaev型非完整約束Tzénoff方程(5)是Mei對稱性的，則方程(15)成立，(17)式變為

(18)

反之，若Tzénoff方程(5)成立共形不變性，(16)式和(17)式二者相減得

(19)

3 非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程Mei對稱性共形不變性所導出的守恒量

非Chetaev型非完整約束Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性在滿足一定條件下可導出相應的守恒量.

定理針對非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程Mei對稱性共形不變性的生成元ξ0，ξs，若能找到函數G滿足如下結構方程

(20)

則Tzénoff方程Mei對稱的共形不變性將直接產生一種守恒量

(21)

(20)式中

證明 對(21)式求導并利用非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程Mei對稱性及其共形不變性的判定方程(15)和(16)式，有

證畢.

4 應用例子

設非Chetaev型非完整約束系統的Tzénoff函數、約束方程和約束加在虛位移上的限制分別為

(22)

(23)

δq1-δq2=0

(24)

試研究該系統Mei對稱性共形不變性和其能導出的守恒量.

解 由非Chetaev型非完整約束系統的Tzénoff方程(4)給出

(25)

利用(23)式求得

(26)

(25)式變為

(27)

有

(28)

和

(29)

由(27)式可得到

(30)

做計算

取生成元

(31)

有

(32)

(33)

故

(34)

由(33)和(34)式知，系統具有Mei對稱性且同時具有Mei對稱性共形不變性，其共形因子

(35)

結構方程(20)給出.

(36)

(21)式給出守恒量

5 結 語

本文研究了非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程的Mei對稱性共形不變性及其守恒量，在給出該系統Mei對稱性定義和判據方程的基礎上，進一步給出了系統Mei對稱性共形不變性的定義和判據方程，并分析了二者之間的關系，發現只要恰當地選擇無限小變換的生成元，可使系統既具有Mei對稱性也同時具有Mei對稱性的共形不變性.最后，導出了非Chetaev型非完整約束系統Tzénoff方程Mei對稱性共形不變性存在守恒量的結構方程及其守恒量的具體形式.

參考文獻：

[1]Mei Fengxiang.Form invariance of Lagrange system[J].Journal of Beijing Institute of Technology，2000，9(2)：120-124.

[2]梅鳳翔.約束力學系統的對稱性與守恒量[M].北京：北京理工大學出版社，2004.

[3]Fu Jingli，Wang Xianjun，Xie Fengping.Conserved Quantities and Conformal Mechanico-Electrical Systems[J].Chinese Physics Letters，2008，25(7)：2413-2416.

[4]Zhao Li，Fu Jingli.A new type of conserved quantity of Mei symmetry for the motion of mechanico electrical coupling dynamical systems[J].Chinese Physics B，2011，20(4)：040201(1-4).

[5]劉暢，趙永紅，陳向煒.動力學系統Noether對稱性的幾何表示[J].物理學報，2010，59(1)：11-14.

[6]方建會.Lagrange系統Mei對稱性直接導致的一種守恒量[J].物理學報，2009，58(6)：3617-3619.

[7]Li Yanmin.Lie Symmetries，Perturbation to Symmetries and Adiabatic Invariants of a Generalized Birkhoff System[J].Chinese Physics Letters，2010，27(1)：010202(1-4).

[8]Shao Kai Luo，Zhuang Jun Li，Wang Peng，Lin Li.A Lie symmetrical basic integral variable relation and a new conservation law for generalized Hamiltonian systems[J].Acta Mechanica，2013，224(1)：71-84.

[9]李凱輝，劉漢澤，辛祥鵬.一類高階非線性波方程的李群分析、最優系統、精確解和守恒律[J].物理學報，2016，65(14)：140201(1-7).

[10]張麗香，劉漢澤，辛祥鵬.廣義(3+1)維Zakharov-Kuznetsov方程的對稱約化、精確解和守恒律[J].物理學報，2017，66(8)：080201(1-7).

[11]張曄，張毅，陳向煒.事件空間中Birkhoff系統的Mei對稱性與守恒量[J].云南大學學報(自然科學版)，2017，39(2)：219-224.

[12]Галиуллин А С，Гафаров Г Г，Малайшка Р П，et al.Аналитическая Динамика Систем Гельмгольца，Виркгофа，Намбу：Монография[M].Москва：Редакция Журнала“Успехи Физических Наук”，1997.

[13]蔡建樂，梅鳳翔.Lagrange系統Lie點變換下的共形不變性與守恒量[J].物理學報，2008，57(9)：5369-5373.

[14]劉暢，劉世興，梅鳳翔，郭永新.廣義Hamilton系統的共形不變性與Hojman守恒量[J].物理學報，2008，57(11)：6709-6713.

[15]王廷志，韓月林.相對運動非完整動力學系統的共形不變性與守恒量[J].江南大學學報(自然科學版)，2013，12(2)：234-238.

[16]王小明，李元成，夏麗莉.機電系統Mei對稱性的共形不變性與守恒量[J].貴州大學學報(自然科學版)，2009，26(6)：32-38.

[17]陳向煒，趙永紅，劉暢.變質量完整動力學系統的共形不變性與守恒量[J].物理學報，2009，58(8)：5150-5154.

[18]李彥敏.變質量非完整力學系統的共形不變性[J].云南大學學報(自然科學版)，2010，32(1)：52-57.

[19]Zheng Shiwang，Jia Liqun，Yu Hongsheng.Mei Symmetry of Tzénoff Equations of Holonomic System[J].Chinese Physics，2006，15(7)：1399-1402.

[20]Zheng Shiwang，Xie Jiafang，Li Yanmin.Mei symmetry and conserved quantity of Tzénoff equations for nonholonomic systems of non-Chetaev，s type[J].Communications in Theoretical Physics，2008，49(4)：851-854.

[21]鄭世旺，解加芳，陳向煒，等.完整系統Tzénoff方程的Mei對稱性直接導致的另一種守恒量[J].物理學報，2010，59(8)：5209-5212.

[22]Zheng Shiwang，Wang Jianbo，Chen Xiangwei，Xie Jiafang.Mei symmetry and new conserved quantities of Tzénoff equations for the variable mass higher-order nonholonomic system[J].Chinese Physics Letters，2012，29(2)：020201(1-4).

[23]鄭世旺，陳梅.非完整系統Tzénoff方程的Mei對稱性所對應的一種新守恒量[J].云南大學學報，2011，33(4)：412-416.

[24]鄭世旺，王建波，陳向煒，李彥敏等.變質量非完整系統Tzénoff方程的Lie對稱性與其導出的守恒量[J].物理學報，2012，61(11)：111101(1-5).

[25]鄭世旺，趙永紅.完整系統Tzénoff方程Lie對稱性的共形不變性與守恒量[J].商丘師范學院學報，2015，31(6)：39-43.

[26]鄭世旺.變質量完整系統Tzénoff方程Mei對稱性的共形不變性與守恒量[J].商丘師范學院學報，2016，32(12)：32-36.

[27]梅鳳翔，劉端，羅勇.高等分析力學[M].北京：北京理工大學出版社，1991.