橫觀各向同性黏彈性瀝青路面的動力響應

魯巍巍，鄭健龍

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橫觀各向同性黏彈性瀝青路面的動力響應

魯巍巍1, 2，鄭健龍1

(1. 長沙理工大學 交通運輸工程學院，湖南 長沙，410114； 2. 長沙理工大公路工程試驗檢測中心，湖南 長沙，410114)

為了更好地表征路面在荷載作用下的力學行為，研究考慮基層和土基材料的橫觀各向同性特性的黏彈性瀝青路面在落錘式彎沉儀(fal1ing weight deflectometer，FWD)荷載作用下的動力響應。從各向同性黏彈性和橫觀各向同性彈性軸對稱空間動力問題的基本控制方程出發，借助相應的積分變換，分別建立積分變換域內的各向同性黏彈性體的雙節點層單元剛度矩陣和橫觀各向同性彈性體的雙節點與單節點層單元剛度矩陣，進而得到考慮橫觀各向同性的黏彈性多層瀝青路面結構的解析剛度矩陣解。通過求解橫觀各向同性問題退化的各向同性問題，并與已有解答進行對比，驗證本文計算方法的準確性。然后，分析基層和土基的橫觀各向同性特性對路表彎沉的影響。研究結果表明：隨著基層和土基模量比減小，路表彎沉增大，且基層模量比變化的影響更顯著。

瀝青路面；黏彈性；橫觀各向同性；動力響應；解析剛度矩陣法

橫觀各向同性體是物體內任意一點存在1個平面，在平行于該平面的所有各個方向都具有相同的彈性性質，且垂直于該平面的方向具有不同彈性的各向異性體。近年來，許多學者發現土體和粒料類基層材料具有明顯的各向異性。路基土通常在天然沉積和壓實填筑過程中或在復雜的應力狀態下土顆粒的排列呈各向異性[1?2]。粒料類基層材料是由具有一定級配的不同形狀集料組成，其內部結構通常呈明顯的各向異性，這種各向異性特性主要是集料的分布、形狀、方位和空隙結構及壓實施工和交通荷載性質等因素造成 的[3]。GRAHAM等[4]的研究表明，對于黏性土，其水平方向與垂直方向的彈性模量比為0.9~4.0，而對于砂和碎石類粒料，其模量比降到0.2。LO等[5]通過碎石類材料試驗發現隨著主應力比增加，材料的各向異性特性更加明顯。TUTUMLUER等[6]通過對不同類型粒料的研究分析，發現基層碎石類材料的水平向與豎直向的彈性模量比為3%~21%，其剪切模量與豎直向的彈性模量比為18%~35%。橫觀各向同性是一種特殊的各向異性表征，在分析路面結構的響應時，考慮路基和基層結構層材料的橫觀各向同性能獲得更準確的路面力學響應[7?10]。另一方面，瀝青混合料是一種典型的黏彈性材料，其材料性能與時間、溫度和荷載作用頻率等因素密切相關?；趶椥岳碚摰臑r青路面設計和分析會低估路面的響應，導致路面容易出現早期破損，而且彈性理論無法表征瀝青混合料的永久變形及蠕變等重要特性而使路面容易出現車轍等病害，因此，考慮面層瀝青混合料材料的黏彈性特性非常必要[11]。借助動力加載和現場測試獲得瀝青路面的真實力學響應，是正確評估路面性能特征并有效指導路面結構設計的重要途徑[12]。隨著科技的進步，有別于傳統使用的貝克曼梁，落錘式彎沉儀(fal1ing weight deflectometer，FWD)近些年來在道路工程檢測領域被廣泛應用，它能較好地模擬實地行車荷載對路面的動力作用，快速、準確地檢測和評價路面各結構層或路基的強度。盡管近年來關于瀝青路面結構動力分析的研究成果較多[11?13]，但大多是基于各向同性層狀彈性或黏彈性體系的路面結構。為此，本文作者將瀝青面層視為黏彈性，并考慮基層和土基材料的橫觀各向同性特性，結合剛度矩陣法計算精度高而且穩定性強等特點，采用解析法求解瀝青路面在FWD動荷載下的力學響應方程，并分析基層和土基材料各向異性特性對動力響應的影響[14?15]。

1 層單元剛度矩陣推導

1.1 各向同性黏彈性軸對稱動力問題層單元剛度 矩陣

在柱面坐標系中，用位移表示的黏彈性軸對稱空間動力問題的控制方程為[16]

首先應用Stieltjes卷積的Laplace變換式對式(2)進行關于時間的Laplace變換。然后，對式(1)中兩式分別進行關于徑向坐標的一階和零階Hankel變換，得到[17]：

采用如下假設：

即在初始時刻物體的位移、速度和加速度均等于0。通過Laplace變換消去控制方程中關于時間的偏導數。

其中：

黏彈性軸對稱空間問題的物理方程為[17]

式中：為正向應力；為剪應力。

將每個結構層視為1個層單元，作為研究對象。在軸對稱問題中，雙節點層單元示意圖如圖1所示，其中，上標1和2分別表示單元上、下表面邊界。

根據Cauchy應力原理，節點外力向量可以通過節點應力張量點乘單位面外法線矢量得到。結合有限元分析(FEM)中剛度矩陣的概念即剛度矩陣建立單元節點外力和節點位移的關系，可得

1.2 橫觀各向同性彈性體軸對稱動力問題層單元剛度矩陣

彈性空間軸對稱動力問題運動平衡微分方程為

幾何方程為

橫觀各向同性彈性體的應力與應變關系可以用如下形式來表示：

聯立式(13)，(14)和(15)可以得到位移表示的橫觀各向同性彈性空間軸對稱動力問題的控制方程：

對式(16)先進行關于時間的Laplace變換，然后，對其中兩式分別進行關于徑向坐標的一階和零階Hankel變換，可得

其中：

可以得到其通解為

2 考慮橫觀各向同性的黏彈性瀝青的多層路面結構求解

FWD荷載為沖擊荷載，荷載作用時間一般只有0.03~0.04 s。FWD荷載對路面的沖擊作用可以用如下半正弦函數來描述：

式中：為荷載圓半徑(m)；0為荷載峰值(MPa)；為加載總時間(ms)。

假設路表受FWD沖擊荷載，則其上表面的邊界條件為

將軸對稱各向同性黏彈性空間靜力問題(表示瀝青面層)的雙節點層單元剛度矩陣、橫觀各向同性彈性空間靜力問題的有限層(表示基層)和半無限體(表示土基)的單層剛度矩陣用于各計算層，并假定路面各結構層間完全連續，按照FEM中的對號入座原則集成整個多層路面體系的總體剛度矩陣為

式中：(i)為第層剛度矩陣。

建立了總體剛度矩陣后，可以通過以下關系式求解總體節點位移：

當路面表面僅受豎直向下的荷載時，根據邊界條件可知：

最后借助相應的積分逆變換就可以得到物理域內的解。

3 驗證與計算分析

3.1 驗證

為了驗證本文解析剛度矩陣解的準確性，將橫觀各向同性問題退化為各向同性問題。將退化各向同性問題的解與任瑞波等[12]的傳遞矩陣解的計算結果進行對比。

計算結構為3層瀝青路面結構。瀝青面層材料黏彈性性質采用Burgers模型來描述，其本構方程為

瀝青面層的厚度為18 cm，其黏彈性材料力學參數彈性模量0=1=2 300 MPa，黏度1=2=2.06×105Pa?s，密度1=2.1 t/m3，泊松比1=0.25?；鶎优c土基均為各向同性彈性體，基層厚度為35 cm，彈性模量2=910 MPa，泊松比2=0.25，密度2=2.0 t/m3。土基彈性模量3=100 MPa，泊松比3=0.25，密度3=1.9 t/m3。FWD荷載參數為：荷載圓半徑=0.15 cm，荷載峰值0=0.721 MPa，加載總時間=32 ms。這里的路面結構和材料參數與文獻[11]中的一致。

本文采用與文獻[12]中相同的Hankel積分和Laplace積分數值反演的方法。采用本文退化的解析剛度矩陣解與文獻[11]中傳遞矩陣解計算的FWD荷載作用下落錘中心處(=0)彎沉時程見圖3。由圖3可知：本文計算路表彎沉與文獻[11]中的結果很吻合。

1—本文結果；2—文獻[11]中結果。

3.2 計算分析

文獻[11]分析了FWD動荷載作用下瀝青路面層狀體黏彈解與彈性解的差異，本文著重分析材料橫觀各向同性特性的影響。橫觀各向同性材料主要參數包括豎向彈性模量v?水平向彈性模量h?豎直向應力引起的水平向應變的泊松比vh?水平向應力引起的正交水平向應變的泊松比h?豎直面上的剪切模量v(通常假定豎向和水平向剪切模量相等[14])。在路面力學分析計算中，通常假定vh=h，v=v/[2(1+vh)][14]，并引入參數模量比(=hv)來表征材料的橫觀各向同性特性。本文主要探討基層和土基的橫觀各向同性特性對黏彈性瀝青路面的動力彎沉的影響。路面結構和材料參數與驗證部分的參數相同，但考慮基層和土基應為橫觀各向同性，它們的豎向模量分別與驗證部分的各自彈性模量取相同值，并依據文獻[2]，基層模量比2取為0.25，0.50，0.75和1.00，土基模量比3取為0.50，1.00，2.00和4.00。

當基層和土基模量比不同時，在FWD荷載作用下，落錘中心處(=0)的路表彎沉時程曲線分別見圖4和圖5。從圖4和圖5可見：隨著基層和土基的模量比減小即水平向模量減小，路表彎沉變大，且基層模量比的變化影響非常顯著。忽略路基路面材料的橫觀各向同性特性會使路表彎沉計算會產生偏差，從而基于路表彎沉的路面材料模量反算也會產生一定的誤差。

n2：1—1.00；2—0.75；3—0.50；4—0.25。

n3：1—0.50；2—1.00；3—2.00；4—4.00。

4 結論

1) 從各向同性黏彈性和橫觀各向同性彈性軸對稱空間動力問題的基本控制方程入手，分別建立了積分變換域內的各向同性黏彈性體的雙節點層單元剛度矩陣和橫觀各向同性彈性體的雙節點與單節點層單元剛度矩陣，進而得到考慮考慮橫觀各向同性的黏彈性多層瀝青路面結構動力問題在積分變換域內的解析剛度矩陣解，最后應用相應的積分變換數值反演方法，得到物理域內的解。

2) 為了驗證本文動力解析解的準確性，將考慮橫觀各向同性的瀝青路面黏彈性靜力問題解析解退化到各向同性問題的解，并與已有的解析解進行計算對比，結果顯示解析解具有很高的準確性。

3) 隨著基層和土基的模量比減小即水平向模量減小，路表彎沉變大，且基層模量比變化的影響更 顯著。

[1] WANG L, HOYOS L R, WANG J, et al. Anisotropic properties of asphalt concrete: characterization and implications for pavement design and analysis[J]. Journal of Materials in Civil Engineering, 2015, 17(5): 535?543.

[2] YOU L, YAN K, HU Y, et al. Spectral element solution for transversely isotropic elastic multi-layered structures subjected to axisymmetric loading[J]. Computers & Geotechnics, 2016, 72: 67?73.

[3] WANG H, AL-QADI I L. Importance of nonlinear anisotropic modeling of granular base for predicting maximum viscoelastic pavement responses under moving vehicular loading[J]. Journal of Engineering Mechanics, 2013, 139(1): 29?38.

[4] GRAHAM J, HOULSBY G T. Anisotropic elasticity of a natural clay[J]. Geotechnique, 1983, 33(2): 165?180.

[5] LO S C R, LEE I K. Response of granular soil along constant stress increment ratio path.[J]. Journal of Geotechnical Engineering, 1990, 116(3): 355?376.

[6] TUTUMLUER E. Anisotropic behavior of unbound aggregate bases-state of the art summary[C]//Proceedings of the 6th Annual Symposium of the International Center for Aggregate Research ICAR. St. Louis, Missouri, 1998.

[7] OH J H, LYTTON R L, KIM N S. Modeling of pavement response using nonlinear cross-anisotropic approach[J]. KSCE Journal of Civil Engineering, 2005, 9(4): 329?332.

[8] MASAD S, LITTLE D, MASAD E. Analysis of flexible pavement response and performance using isotropic and anisotropic material properties[J]. Journal of Transportation Engineering, 2006, 132(4): 342?349.

[9] YOU L, YAN K, HU Y, et al. Spectral element method for dynamic response of transversely isotropic asphalt pavement under impact load[J]. Road Materials & Pavement Design, 2018, 19(1): 223?238.

[10] YAN K, XU H, YOU L. Analytical layer-element approach for wave propagation of transversely isotropic pavement[J]. International Journal of Pavement Engineering, 2016, 17(3): 275?282.

[11] 呂彭民, 董忠紅. 車輛?瀝青路面系統力學分析[M]. 北京: 人民交通出版社, 2010: 85?93. Lü Pengmin, DONG Zhonghong. Mechanical analysis of vehicle-asphalt pavement system[M]. Beijing: China Communications Press, 2010: 85?93.

[12] 任瑞波, 譚憶秋, 張肖寧. FWD動荷載作用下瀝青路面層狀粘彈體路表彎沉的求解[J]. 中國公路學報, 2001, 14(2): 9?12. REN Ruibo, TAN Yiqiu, ZHANG Xiaoning. Solution for solving asphalt pavement multilayered viscoelastic body surface deflection in the FWD dynamic case[J]. China Journal of Highway and Transport, 2001, 14(2): 9?12.

[13] LEE H S. Viscowave: a new solution for viscoelastic wave propagation of layered structures subjected to an impact load[J]. International Journal of Pavement Engineering, 2014, 15(6): 542?557.

[14] LIU N, YAN K, SHI C, et al. Influence of interface conditions on the response of transversely isotropic multi-layered medium by impact load.[J]. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials, 2018, 77: 485?493.

[15] 郭大智, 任瑞波．層狀黏彈性體系力學[M]. 哈爾濱: 哈爾濱工業大學出版社, 2001: 31?38. GUO Dazhi, REN Ruibo. Layered viscoelasticity system mechanics[M]. Harbin: Harbin Institute of Technology Press, 2001: 31?38.

[16] ZHANG X, LIU L, WIWATANAPATAPHEE B, et al. The eigenvalue for a class of singular p-Laplacian fractional differential equations involving the riemann–stieltjes integral boundary condition[J]. Applied Mathematics and Computation, 2014, 235(4): 412?422.

[17] GUPTASARMA D, SINGH B. New digital linear filters for Hankel J0 and J1 transforms[J]. Geophysical Prospecting, 1997, 45(5): 745?762.

(編輯 陳燦華)

Dynamic response of cross-anisotropic viscoelastic asphalt pavement

LU Weiwei1, 2, ZHENG Jianlong1

(1. School of Traffic and Transportation Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114, China; 2. Test Centre for Highway Engineering, Changsha University of Science & Technology,Changsha 410114, China)

In order to better characterize the mechanical behavior of the pavement under fal1ing weight deflectometer (FWD for short) load, the dynamic responses of viscoelastic asphalt pavement were analyzed considering the cross-anisotropy of unbound aggregates bases (UAB for short) and subgrades. Based on the governing equations for isotropic viscoelastic and cross-anisotropic elastic axisymmetric spatial dynamic problems, the stiffness matrixesin the integral transform domain of 2-nodedlayer elementfor the isotropic viscoelastic body and 2-noded and 1-noded layer elements for the cross-anisotropic elastic body were developed respectively, and then the analytical stiffness matrix solution of viscoelastic multi-layered asphalt pavement structure considering cross-anisotropy was proposed. The validity of the developed method was verified by comparing the results of cross-anisotropic problem reducing to isotropic problem with the existing solutions. Subsequently, the influences of cross-anisotropy of UAB and subgrade on the surface defections were investigated. The results show that surface defections increase with the decrease of modulus ratios of UAB and subgrades, and the ratios of modulus of UAB have more significant impacts.

asphalt pavement; viscoelasticity; cross-anisotropic; dynamic response; analytical stiffness matrix solution

U416.217

A

1672?7207(2018)04?0964?07

10.11817/j.issn.1672?7207.2018.04.026

2017?07?10；

2017?09?12

交通運輸部建設科技項目(2015318825120)(Project (2015318825120) Supported by the Ministry of Transport Construction Projects of Science and Technology)

魯巍巍，高級工程師，從事道路工程路基路面工程研究；E-mail：13619845@qq.com