芻論“ 參考系 ”

徐正海

(當(dāng)涂第一中學(xué) 安徽 馬鞍山 243100)

物理學(xué)家海森堡曾說“自然科學(xué)并不是自然本身，它是人類和自然關(guān)系的一部分”．換言之，自然科學(xué)的使命就是，人類要想方設(shè)法用其語言或工具，來解讀那位永遠也不開口說話的上帝神．在中學(xué)物理的力學(xué)體系中，關(guān)于那個“牽一發(fā)動全身”的參考系，以及與之相關(guān)的能量、動量等話題，倘若要較起真來，也確是饒有趣味．

“參考系”是運動描述的平臺，它既可實實在在(如地面)，也可是人為造設(shè)(如坐標(biāo)系)．在牛頓時代，牛頓運動三大定律的創(chuàng)立是在地面實驗室里完成的，因而“地面”成了中學(xué)物理中唯我獨尊的(慣性)參考系；但是，也是在同一時代，由牛頓萬有引力定律處理的“雙星系統(tǒng)”，它所衍生出來的“質(zhì)心”(即指物質(zhì)系統(tǒng)上被認為質(zhì)量集中于此的一個假想點)，反而成為一個更加優(yōu)越的慣性系．

眾所周知，在一個封閉不受外界影響的系統(tǒng)內(nèi)，它的質(zhì)心位置是固定的．這樣一來，用質(zhì)心來描述運動的優(yōu)勢就毋容置疑了．可事實上，由于人們長年累月生活在地面，習(xí)慣性思考往往會讓人一頭霧水．請賞析兩例．

【例1】一個小孩站在船頭，按如圖1(a)、(b)所示的兩種情況，用同樣大小的力拉繩，經(jīng)過相同的時間t(船未相碰)，小孩所做的功分別為W1，W2，在時刻t小孩拉繩的瞬時功率分別為P1，P2，則它們的大

小關(guān)系正確的是( )

A．W1

B．W1

C．W1=W2,P1

D．W1=W2,P1=P2

(a)

(b)

解析：流行解讀，小孩所做的功，在圖1(a)中是指對自身(包括所站的船)做的功，在圖1(b)中除對自身(包括所站的船)做功之外，還對另外一只小船做功．由于兩種情況下人對自身(包括所站的船)所做的功相等，而在圖1(b)中人對另外的一只小船多做了一部分功，因此W1

得

P1

筆者認為，此題非同小可，嚴究起來，圖1(a)中，人和船(m1)與地球(M)構(gòu)建了一個相互作用系統(tǒng)，其質(zhì)心無限接近地心，故從地心看，應(yīng)有動量守恒m1v1-Mv=0，式中v1，v為t時刻“人和船”及地球的速度，依照人力做功轉(zhuǎn)化“體能”為機械能守恒思想有

又因為有m1?M,則

圖1(b)中，“人和船”與另一船(m2)也構(gòu)成一個兩體系統(tǒng)，忽略水面阻力，這樣地球成為旁觀者，于是選擇地面為參考系，同理

m1v1-m2v2=0

則人力做功為

由于m1，m2相當(dāng)，故W1

眼尖的讀者肯定會發(fā)現(xiàn)，本例中，圖1(a)，質(zhì)心雖無限接近地心，但它不是地球身上的一個點，這是其一；其二，圖1(b)中，在繩的方向，船與地球沒有相互作用，這樣地面成為一個參考臺面，其實兩參考系還存在著差別．同時，筆者還有意回避了地球的自轉(zhuǎn)問題；否則，“眉毛”與“胡子”根本無法一把抓得起來．

不過，在“燃料消耗”的物理“鏈接”一文[1]中，筆者曾討論了赤道處向東或向西發(fā)射近地圓軌道衛(wèi)星，需要考慮地球的自轉(zhuǎn)，盡管地心參考系得出的燃料消耗多于地面參考系，但兩者相差非常小，可以忽略．

放眼望去，一切非地面運動的宇宙航行，萬有引力是航天器運動的主宰(雖然發(fā)動機也有短時的“助推”與“剎車”)．這種情形下，地面參考系應(yīng)該銷聲匿跡，簡單講，人造地球衛(wèi)星的圓周運動的觀察，是在地心(地心相當(dāng)于質(zhì)心)處，而不是在地面上；行星運動的參考系也應(yīng)該是太陽．又因為太陽質(zhì)量幾乎占太陽系總質(zhì)量的98%，故在整個太陽系中，太陽參考系的規(guī)格、級別都為最高．

可話又說回來，地面人覺得地球自轉(zhuǎn)角速度太小，有時可以忽略，這就又使得“地面”與“地心”參考系又劃起了等號．比如求解宇宙速度．

【例2】求地球航天器m的第三宇宙速度？

解析：第三宇宙速度指的是航天器從地球起飛脫離太陽系的最低飛行初速度v3．

方法一：用太陽參考系

由動量守恒定律

(1)

由能量守恒定律

(2)

以及

(3)

由式(1)知

考慮到m?M1,則

v1=u

m(u+v3)+M1u=mv+M1(u+Δu)

(4)

(5)

再將式(4)改為

M1uΔu=mu2+muv3-muv

和式(3)改為

一起代入式(5)得

(6)

則

方法二:用地球參考系

航天器脫離地球引力后速度為v′，由能量守恒有

(7)

考慮到地球公轉(zhuǎn)，忽略其自轉(zhuǎn)，航天器相對太陽速度v=v′+u，再考慮航天器脫離太陽引力有

(8)

合并式(7)、(8)得

愛鉆牛角尖的同學(xué)課余時間經(jīng)常會與筆者爭論，說涉及運動和能量、動量的諸多問題，從來就沒有寫過一清二楚的式子，過多的近似讓人的思維糾結(jié)．想想也是，參考系從“地面”升格到“地心”再提升到“太陽”確實不是一件容易事，相應(yīng)地它更說明這些糾結(jié)來自太陽體系內(nèi)的關(guān)聯(lián)性．譬如，關(guān)于太陽、地球和月球系統(tǒng)引力的問題，通過計算發(fā)現(xiàn)，太陽對月球的引力卻是地球?qū)υ虑蛞Υ笮〉膬杀叮虑蚶@地球運行，太陽的引力怎么會更大些呢？原來，在物質(zhì)系統(tǒng)中，質(zhì)心才是慣性參考系，由于太陽質(zhì)量遠遠大于地球質(zhì)量和月球質(zhì)量，故三體系統(tǒng)的質(zhì)心在太陽附近，于是乎在以太陽為慣性參考系時，地球成了一個非慣性系，巧合的是太陽對月球萬有引力與月球在地球參考系中的慣性力相匹配．當(dāng)然，月球繞太陽運行也是一個不爭的事實．倘若再突破太陽系來觀察，解決問題的復(fù)雜性還肯定會進一步加碼．

“坐標(biāo)系”作為參考系，它往往要“貼”上一個物體的“初狀態(tài)”，并借“上帝之手”來固定．這樣在定量表達相互作用物體系統(tǒng)的能量、動量上會顯現(xiàn)不同的相對性．十分驚訝的是，地球與物體相互作用時，貼在地球作用前的坐標(biāo)系里，來描述作用前后地球動能的增量無限小； 而貼在相互作用前對地球運動的坐標(biāo)系里，來描述地球作用前后的動能增量又是不可忽略的量[2]．

從“參考系”說開去，即便是麥克斯韋電磁方程組，還是愛因斯坦狹義相對論，坐標(biāo)系就是物理學(xué)一個不可或缺的量化平臺．幸有宇宙精靈“光速”不變，人類第一次將時空有效的聯(lián)系到一起．由此看來，如果好好把握參考系，我們還能從中進一步體察到宇宙世界方方面面的美．

參 考 文 獻

1 徐正海. “燃料消耗”的物理“鏈接”.物理通報，2017(3):85

2 范小輝.不同參考系里的能量差為什么不一樣.中學(xué)物理原創(chuàng)題集，2009.37～39