籃下側(cè)旋打板投籃的動力學(xué)分析

楊大有

(鄭州市第一中學(xué) 河南 鄭州 450052)

1 問題的提出

籃球?qū)官愔校@下區(qū)域投籃，球空中行程短，命中率高于中長距離投籃，歷來是攻防最激烈的地方，也是籃球運動最具魅力之處．由于在籃下防守的嚴密，進攻隊員很難找到恰當(dāng)?shù)拿闇庶c直接完成投籃動作, 更多的情況則是借助打板完成投籃，但比賽中又很難在籃下找到合適的打板點．欣賞過NBA騎士隊巨星凱里·歐文的比賽后，種種困惑就迎刃而解，他經(jīng)常能在嚴密的貼身防守下，不可思議地完成籃球側(cè)旋打板進筐，突破了人們對投籃打板點選擇的常規(guī)性認識，改變了人們對籃下進球的慣性思維，使“意想不到”成為籃球運動出奇制勝的“法寶”．凱里·歐文精湛的技藝引得無數(shù)球迷爭相模仿，若要在籃球比賽中完成凱里·歐文式的動作應(yīng)該把握好哪些要素？這些因素又是如何影響籃球命中率的呢？我們是否能像凱里·歐文一樣完成側(cè)旋打板進筐的精彩動作呢？

2 側(cè)旋轉(zhuǎn)球的引入

通過反復(fù)觀看凱里·歐文的多場籃球比賽視頻，發(fā)現(xiàn)籃球出手后的側(cè)旋轉(zhuǎn)角速度、平動速度、打板的方向和角度、打板點的位置等因素直接影響到能否進球．凱里·歐文的籃下側(cè)旋轉(zhuǎn)打板上籃，籃球出手時運動的方向與籃板面的豎直夾角很小，基本上是豎直向上，籃球的側(cè)旋轉(zhuǎn)程度越高，其反彈后改變?nèi)肟鸾嵌仍酱螅诳此撇豢赡艽虬暹M筐的“死”角位置也能進球，達到了投籃“出其不意”的命中效果．籃球左旋在高、中、低三個不同位置打板示意圖，如圖1所示．

圖1 籃球左旋在高中低三個不同位置打板

3 動力學(xué)分析

3.1 打板時的受力分析

(1)籃板作用在籃球上的摩擦力f．假設(shè)籃球出手時沿著豎直方向(Z軸)向左旋轉(zhuǎn)(從上方向下看為順時針方向旋轉(zhuǎn)，圖2)，籃球具有初始角速度ω1，平動初速度v1，由于籃球打板向左旋轉(zhuǎn)，籃板給藍球一個與側(cè)旋方向相反的摩擦力(圖2)，方向沿著X軸正向，籃球質(zhì)心在摩擦力的驅(qū)動下獲得了與側(cè)旋方向相反的瞬間加速度，籃球彈離籃板后獲得了一個向左的速度v10x(與X軸同向)，此速度應(yīng)小于或等于ωr(ω為籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)角速度，r為籃球半徑)，同時在摩擦力矩的阻礙下，籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)的角速度(ω10)減小．表示為

v10x<ω1r

(1)

圖2 打板后受力分析

(2)N為籃球打板時籃板作用在籃球上的彈力，垂直于籃板，方向沿Y軸正向．

(3)G是籃球受到的重力mg．

3.2 進筐過程中的受力分析

籃球左旋打板后在摩擦力f作用下，反彈方向向左偏移，v10是籃球打板后的速度，偏移角度θ即入籃角度，是速度v10在XY平面上的分速度v10xy與Y軸的夾角；v10與Z軸的夾角為反彈角α′(本文暫不計算)，如圖3所示．

圖3 打板后籃球的入籃角度

(2)Magnus(馬格努斯)力．根據(jù)伯努利定律，如果側(cè)旋運動的籃球在繞著豎直方向以順時針方向旋轉(zhuǎn)時，如圖4所示，兩側(cè)的壓力差使籃球球體受到Magnus (馬格努斯)力的作用，力的方向指向空氣流速度較大的一側(cè)，并始終與運動方向垂直．

圖4 馬格努斯效應(yīng)

(3)籃球受到的重力mg．

3.3 對Magnus力的作用分析

為了檢驗Magnus力，在籃球場進行了多次側(cè)旋轉(zhuǎn)上籃測試，籃板最高處距離地面3.9 m，假設(shè)投球者身高1.75 m，出手打板的高度1.9 m，籃球空中行進的距離在2 m以內(nèi)．投球者站在籃下(籃板右側(cè)的正下方)，使籃球順時針向左側(cè)旋轉(zhuǎn)，同時向上投出打板，經(jīng)反復(fù)多次測試發(fā)現(xiàn)，籃球打板前的運動軌跡幾乎是直線運動(近似于豎直向上)，肉眼較難觀察出運動軌跡的彎曲．打板后可以明顯看到籃球向左偏向，運動軌跡是曲線(圖1)．打板過程中籃球沿Y軸方向行進的距離短(約0.3 m)、分速度較小，且Magnus力的方向沿X軸反方向，與籃球打板后改變的方向相反．籃球彈離籃板后，沿著與Y軸夾角θ方向運動(圖3)，這時該力與v10方向垂直，指向籃板．可以得知，該力在短距離內(nèi)改變籃球運動軌跡的作用不大，可以忽略．

4 籃球的運動規(guī)律

以籃球的打板點為坐標原點，建立直角坐標系(圖5和圖6) ，其中OZ軸豎直向上，OX軸方向指向籃筐，OY軸垂直于籃板指向讀者方向．側(cè)旋球打板反彈后的飛行軌跡是一條曲線．

籃球打板后的速度為v10，此速度在XY平面上分速度為v10xy，沿X，Y，Z方向的分速度分別為v10x，v10y，v10z(圖5)．

圖5 速度合成矢量圖

假設(shè)球初始繞OZ軸旋轉(zhuǎn)，忽略空氣阻力矩，籃球打板后的運動微分方程可簡化為

豎直方向

(2)

水平方向

(3)

對式(2)作變形，有

積分

再積分得

其中c1，c2為積分常數(shù)，設(shè)t=0時，z=0,v=v10z，c1相當(dāng)于籃球在Z軸方向的分速度v10z，c2=0．

(4)

對式(3)積分

(5)

將t=0,v=v10xy代入式(5)中，得

(6)

考慮到kv10xy與m相比較小，可忽略空氣阻力不計，得v=v10xy．

Magnus力忽略不計，θ為入籃角度(圖3)．籃球打板后在水平方向內(nèi)的位移

(7)

(8)

式(7)、(8)平方后相加得

x2+y2=v10xy2t2

(9)

為了便于研究，把籃板分成6份(圖6).

圖6 籃板尺寸、打板點位置及坐標

正對籃板右側(cè)的兩份中找出6個非常規(guī)打板點(圖6上1，2，3，4，5，6點)，籃球從這6個打板點的某一點打板反彈后落入籃筐，入筐時質(zhì)心與籃筐的圓心重合(即空心入籃)，籃筐的坐標點在籃筐圓心．假設(shè)，籃球的質(zhì)心在球心，當(dāng)籃球打在籃板上時，籃球質(zhì)心的Y坐標為0.121 3 m，根據(jù)觀察凱里·歐文籃下側(cè)旋打板投籃的視頻，用秒表多次計時估算出低、中、高6個打板點從打板到進筐時間t的平均值分別為0.30 s，0.35 s，0.40 s．本文暫不分析籃球打板后與籃圈發(fā)生碰撞的進筐情況．

圖6中1，2，3，4，5，6點為選定點，x，y，z的值是已知的，這6點為坐標原點時，籃球運動的x，y，z數(shù)值已知．籃球的半徑按照男子成年籃球7號球的國家標準為0.121 3 m，計算中取3位小數(shù)為0.121，數(shù)值Y=0.150+0.225-0.121=0.254 m．將上述數(shù)據(jù)代入式(9)，計算出籃球順時針側(cè)旋轉(zhuǎn)(從球的上方向下看)時水平方向的分速度v10xy的值．

將計算出的v10xy值，與已知的t，x或y值代入到式(7)或式(8)中計算出θ．將z，t，g(9.8)的值代入(4)中求出v10z．由v10xy，v10z求出v10．

前面式(1)中，r取值為0.121 m，算出ω1的最小值如表1所示.

表1 計算數(shù)據(jù)

水平距離接近籃筐的1，3，5的3個點的角速度值相對較小，5點的值最小，不少于8.17 r/s，即籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)468.30°/s，相當(dāng)于籃球最少旋轉(zhuǎn)1.3 r/s；水平距離相對遠離籃筐的2，4，6這3個點的角速度值相對較大，2點的值最大，不小于22.04 r/s，即籃球側(cè)旋轉(zhuǎn)1 263.33°/s，相當(dāng)于籃球最少旋轉(zhuǎn)3.5 r/s．

為了印證數(shù)據(jù)的合理性，筆者在籃球上面用紅色的紙條做個標記，用透明膠帶粘牢，模擬籃下旋轉(zhuǎn)投籃動作，盡自己最大力量將籃球順時針側(cè)旋，并向正上方拋出(高度2 m左右)，同時用手機記錄下視頻．在電腦上用視頻軟件慢速播放，可以看清紅色標記轉(zhuǎn)動的圈數(shù)，記下所需時間，計算后的數(shù)值約為5.6 r/s，作為有一定基礎(chǔ)的籃球愛好者來說這個轉(zhuǎn)速基本上接近極限．實際測試的側(cè)旋轉(zhuǎn)角速度數(shù)值與上面推算的角速度取值范圍基本一致，計算出的籃球打板反彈后的速度v10值與凱里·歐文籃球視頻中的演示情況也基本相符，作為一名普通籃球愛好者在實戰(zhàn)中完全能做到，可行性較強．

5 結(jié)論

本文通過構(gòu)建理想化模型，采用逆推的方法，對

籃下側(cè)旋打板投籃進行了定量分析，研究后得知，籃下打板投籃時，籃球以一定的角速度側(cè)向旋轉(zhuǎn)，籃球受到籃板施加的摩擦力(方向與球觸籃板的側(cè)旋方向相反)作用下，反彈方向發(fā)生偏移，使籃球按照理想方向進入籃筐，增大了籃下打板區(qū)域的選擇和投籃的命中率．一般情況下，在籃筐的右側(cè)(面對籃板)投籃，球應(yīng)按豎直方向左旋(從上向下看順時針方向)；在籃筐的左側(cè)投籃，球應(yīng)按豎直方向右旋；投籃時打板點離籃筐水平距離越遠，要求籃球旋轉(zhuǎn)的角速度越大．而在現(xiàn)實中籃下側(cè)旋打板投籃，籃球與籃筐碰撞后進筐等非理想化情況是占多數(shù)，打板點位置也幾乎無禁區(qū)，因此，表1中籃球的角速度、速度等數(shù)據(jù)的選擇也不是唯一的，允許有一定的取值范圍，作為一名普通籃球愛好者通過平時的訓(xùn)練是完全可以掌握的，進而為探索打板投籃訓(xùn)練、提高投籃命中率提供了一定的理論指導(dǎo)．通過本文的探究，令廣大球迷羨慕的凱里·歐文式打板投籃不再是高不可及的神奇“法寶”．

參 考 文 獻

1 鐘錫華, 周岳明.力學(xué) . 北京: 北京大學(xué)出版社, 2012. 23～24,121～158

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3 葛隆祺，葉衛(wèi)軍． 足球旋轉(zhuǎn)球的運動規(guī)律．物理通報，1999，18(2):7～8

4 王成軍，鄭 旗. 籃球的旋轉(zhuǎn)對提高投籃命中率的力學(xué)分析體育研究與教育，2012(4)：100～104

5 曹則賢．足球也科學(xué): 力道與旋轉(zhuǎn)．物理，2010，39( 7): 480～481

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