一種新的空間分離矢量天線陣列和叉積測向算法

李 陽

(中國西南電子技術研究所，四川 成都 610036)

電磁矢量天線具有能夠完整地感知入射電磁信號的極化信息，提高波達角DOA參數估計精度，和接收寬帶信號等優點[1].在信號檢測和偵收等場景下，沒有必要使用測量所有電磁分量的矢量天線[2].傳統電磁矢量天線共點的天線單元之間，互耦效應無法忽略時，采用空間分離的極化敏感陣列是一個更好的選擇[3].雖然有許多互耦參數估計算法，但是最簡單有效的方法還是簡化天線結構，增加陣元之間的間距，從而減小互耦效應帶來的影響.空間分離的偶極子天線和/或環形天線構成的極化敏感陣列，具有結構簡單和隔離度高的特點，此外還增大了天線的孔徑，提高了入射信號參數估計的精度.文獻[4]提出了一種直線型的空間分離矢量天線陣列(Spatially Spread Electro-Magnetic Vector Sensor, SSEMVS)，并給出了利用矢量叉積估計信號DOA參數的確定性算法.但是直線性的空間分離矢量天線陣列的幾何構型為直線，不能有效地利用空間，對DOA參數的估計可能存在模糊，同時確定性DOA參數估計算法的精度可以進一步提高.文獻[5]研究了一般的SSEMVS，分析了基于矢量叉積的測向算法及其唯一可辨識性.文獻[6]將空間分離的偶極子天線引入極化多輸入多輸出(MIMO)雷達系統中，降低互耦并利用極化信息.文獻[7]結合叉積算法和相位干涉法獲取兩維波達角估計.

傳統的叉積算法，將電場分量和磁場分量的共軛進行矢量叉積運算，歸一化后得到入射電磁信號的單位方向矢量，和一個單位復數矢量對應元素相乘的哈達瑪乘積.根據乘積的解析結構，設計了高效和高精度的參數估計算法，即枚舉非線性規劃算法.文獻[4]推導了已知信號波形時DOA和極化參數估計的克拉美勞界(Cramér-Rao Bound, CRB)，而枚舉非線性規劃算法可以有效地逼近CRB.

本文對叉積算法進行分析，考察電場分量和磁場分量的多種叉積運算組合，發現其它叉積組合的結果，同樣具有入射電磁信號單位矢量和一個單位復數矢量的哈達瑪乘積結構.這些叉積組合結果和傳統坡印廷矢量表達式不同，且是測量噪聲統計獨立的新叉積結構，據此提出一種新的SSEMVS和叉積測向算法.分析表明，一般的SSEMVS的辨識性分析結果和DOA估計算法經過修改，同樣適用新的矢量天線陣列結構，實現入射信號的波達方向DOA估計.

1 數據模型

在忽略本征阻抗和射頻通道之間的一致性之后，電磁矢量天線的輸出陣列流形矢量為aEMVS=[eThT]T，與入射信號的波達角和極化參數之間的關系為[1]：

(1)

其中θ∈[0,π],φ∈[0,2π) 分別為俯仰角和方位角，γ∈[0,π/2],η∈(-π,π] 分別為極化輔助角和極化差異角，ex,ey,ez表示偶極子天線單元測得的電場分量，hx,hy,hz表示環形天線單元測得的磁場分量.

一般的SSEMVS，通過將電磁矢量天線的6個天線單元在三維空間中平移分開布置構成，如圖1所示.在這樣的布置結構中，每個偶極子天線(環形天線)的取向分別平行于(垂直于)x，y和z坐標軸.平移分開的天線單元，在接收入射信號時，在各個天線單元上產生與相對位置有關的相位差.在天線坐標系中，當各環形天線的位置矢量用pHx,pHy,pHz，偶極子天線的位置矢量用pEx,pEy,pEz表示時，由天線單元位置差異引起的相位矢量為：

(2)

其中ps為入射電磁信號的坡印廷矢量.

圖1 一般的空間分離矢量天線

結合式(1)和式(2)可以得到，一般SSEMVS的陣列流形矢量：

a(θ,φ,γ,η)=aEMVS(θ,φ,γ,η)·d(θ,φ),

(3)

其中·為對應元素相乘的哈達瑪乘積.在加性高斯噪聲假設下，當多個信號入射時，可以得到SSEMVS陣列的接收數據模型：

(4)

其中Y為接收數據矩陣，ak,k=1,…,K為第k個信號入射方向的陣列流形矢量，sk,k=1,…,K為第k個信號的時域波形采樣快拍，N為測量噪聲.

2 新的叉積算法和新的SSEMVS

2.1 不同組合的叉積運算

電磁矢量天線的輸出陣列流形矢量式(1)可以重新表示為：

(5)

其中h,v為定義信號坐標系水平和垂直方向的單位實矢量，Eh,Ev為入射信號在水平和垂直方向分量的復解析表示：

(6)

Eh=cos(γ),Ev=sin(γ)ejη.

信號坡印廷矢量ps是與波矢k同向的單位實矢量.h，v和ps構成右手坐標系，根據矢量叉積的性質有：

(7)

根據式(5)和式(7)可以推導傳統計算坡印廷矢量的叉積算法：

(8)

類似地，通過電場和磁場復解析表示的實部和虛部分別進行叉積運算，發現同樣可得到信號的坡印廷矢量信息，即如下四種組合：

(9)

其中Re(·)和Im(·)分別表示取實部和取虛部運算.在實際中，圓復高斯噪聲假設下，實部和虛部測量噪聲獨立，陣列流形矢量估計受到不同噪聲影響，式(9)中的估計相互獨立，那么通過將它們進行融合可得到統計更優的估計，如文獻[8]中e1和e2的融合方法.值得注意的是，通過對e1和e2的歸一化可以得到ps的準確估計，而e3和e4歸一化后則可能得到方向相反的-ps.在復數框架下的叉積估計式以及H不取共軛的叉積估計都是ei,i=1,2,3,4的某種確定性組合，可以驗證：

E×H*=e1+e2,

(10)

E×H=e1-e2+(e3+e4)j.

(11)

2.2 新的空間分離矢量天線陣列

新的叉積結構式(11)，具有入射信號坡印廷矢量和未知復數矢量哈達瑪積時，可以應用文獻[5]中的DOA估計算法.本文稱這種陣列為新的SSEMVS陣列.為了推導與新的叉積結構相適應的SSEMVS陣列，首先給出引理1.

引理1 當向量a,b,c,d∈3×1，滿足b和d的叉積為零時，即：

(12)

則如下等式成立：

a·b×c·d=e·a×c.□

(13)

證明：根據哈達瑪乘積和矢量叉積的定義將式(13)的左邊展開可得：

(14)

將式(12)代入式(14)，并根據矢量叉積的定義可得：

e·a×c,

(15)

同時有：

b×d=e-e=0.□

(16)

根據上述新的叉積定義，得到如下新的SSEMVS陣列結構.

定理1 (新的SSEMVS)當三個與坐標軸x,y,z平行的偶極子天線的位置矢量pEx,pEy,pEz，以及三個取向與坐標軸x,y,z平行的環形天線的位置矢量pHx,pHy,pHz滿足如下反對稱關系時：

(17)

陣列流形的矢量叉積式(11)，可以表示為信號坡印廷矢量與一個單位復數矢量的哈達瑪乘積再乘上一個復系數：

(18)

其中：

(19)

ps是入射信號坡印廷矢量，λ為陣列信號的工作頻率對應的波長.gx,gy,gz稱為新的SSEMVS陣列的g參數.□

(20)

利用引理1可知在de平行于dh時，記為de‖dh時有：

(21)

而de‖dh等價為：

de×dh=0,

(22)

即：

(23)

若對任意方向入射ps均成立，那么有：

(24)

即等價于式(17).□

基于g參數的模糊性分析和枚舉非線性規劃算法估計信號的波達角參數[5]同樣適用于該新的SSEMVS陣列.

3 仿真結果

(25)

(26)

圖2 陣列的陣元位置分布，星號表示偶極子天線，圓圈表示環形天線

A. 實驗1：兩個信號入射波達角CRB的比較

這個實驗考察新SSEMVS天線單元之間的距離對DOA估計算法性能的影響.考慮兩個入射信號，DOA和極化參數(θ,φ,γ,η)分別為(35°,42°,45°,10°)和(43°,35°,45°,170°)，基帶頻率分別為f1=0.1，f2=0.1265.信噪比為30dB.實驗結果如圖3所示.從圖中可以看出，與前面的SSEMVS陣列類似，兩個信號源參數估計的CRB均隨天線單元之間的間距的增大而減小.

圖3 新SSEMVS陣列中坡印廷矢量估計的CRB隨天線單元之間距離的變化

B.實驗2：兩個信號入射波達角MSE的比較

這個實驗考察在新SSEMVS天線單元之間的距離對DOA估計性能的影響.兩個入射信號配置與實驗1相同.實驗結果如圖4所示.從圖中可以看出，與前面的SSEMVS陣列類似，在天線單元之間間距在十個波長以內時枚舉非線性規劃算法均能正確地估計信號波達角，且有效的達到CRB；不過，隨著天線單元間距繼續增大，在決定信號坡印廷矢量的符號時出現錯誤，導致均方差急劇增大.

圖4 新SSEMVS陣列中信號坡印廷矢量估計的均方誤差隨天線單元之間距離的變化

C. 實驗3：不同間距叉積向量擬合誤差曲面

更了進一步驗證圖4中“拐點”出現的原因，這里給出叉積向量擬合誤差隨信號到達角θ和φ的變化，結果如圖5和圖6所示，其中z軸對應擬合誤差的負對數，值越大對應誤差越小.實驗配置與實驗2相同.從圖中可以看出當天線單元之間間距較小時，擬合誤差“譜”的峰值相對較少，但也不止一個，這意味著初值選擇不當時，優化很容易收斂到錯誤的局部極值，不過根據幅度信息來確定初值，仍然能夠有效的求解得到正確的估計；當天線單元之間間距增大時，擬合誤差“譜”的峰值急劇增多，使得優化陷入錯誤的局部最優的可能也隨之增大，當幅度信息提供的初值精度不夠時，則出現了圖4中的“拐點”.

圖5 第一個信號叉積向量擬合誤差曲面

圖6 第二個信號叉積向量擬合誤差曲面

4 結論

本文分析了電場分量和磁場分量實部和虛部不同組合下的叉積結構，分析表明傳統的叉積運算只是這些叉積結果的一種組合.在此基礎上，給出了電場分量和不取共軛的磁場分量之間的叉積所定義的叉積測向，給出了適合枚舉非線性規劃算法的新空間分離矢量天線陣列結構.與傳統SSEMVS相比，完善了叉積估計算法的理論架構，提供了更加靈活的陣列布局.仿真驗證了新的SSEMVS和新的叉積測向算法的正確性和有效性.

參考文獻：

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