親身體驗有利于學生對數學概念的內化
——“平面直角坐標系（第一課時）”磨課記

徐樂樂

（廣東省深圳市龍華區同勝學校）

隨著深圳市龍華區數學研修活動的深入開展，磨課已成為我們最常用、最喜歡的教研方式。同學科的老師聚在一起，針對具體課例，在反復研討、上課中踐行新理念，探尋新方法，獲得新成長。上次，我們教研組打磨的課例是“平面直角坐標系”，這是北師大版數學八年級上冊第三章“位置與坐標”中第二節第一課時，研討的主題是教學流程的有效性與教學難點的突破，由我執教，得到與會者的一致肯定。現將本課磨課過程整理成文，與大家探討。

一、第一次教學簡錄

環節一：情景創設

1.回顧舊知

問題1.在現實生活中確定物體位置有哪些方式？

問題2.在直線上確定一個點的位置一般需要幾個數據？在平面內確定一個點的位置一般需要幾個數據？

2.故事引入

播放數學家笛卡爾發明平面直角坐標系的故事視頻。

（設計意圖：通過引人入勝的數學家的故事，滲透數學史教育，吸引學生學習平面直角坐標系的注意力，進而引入新課，揭示課題。）

環節二：自學交流

組織學生閱讀自學課本的內容，并分小組討論解決下列問題。

問題1：平面直角坐標系是如何構成的？

問題2：怎樣劃分平面直角坐標系的象限？

問題3：怎樣確定點的坐標？怎樣寫出點的坐標？

之后，由學生代表畫一個平面直角坐標系，并解釋畫法。

（設計意圖：培養學生閱讀教材的能力，組織學生互幫互助，這樣既節省課堂學習時間，又能調動學生學習的積極性。）

環節三：交流探究

圖1

圖2

問題1：如何確定圖1中點P的橫、縱坐標。

（設計意圖：由學生講解由點來確定坐標的方法，鞏固自學的成果，并引出下面的問題。）

問題 2：在同一平面直角坐標系內，點 Q（4，3）與點 P（3，4）表示的是同一個點嗎？為什么？

問題3：分別寫出圖2中多邊形ABCDEF各個頂點的坐標。

問題4：你們寫出的點A的坐標相同嗎？點B的呢？由此你得出什么結論？

（設計意圖：在學生獨立思考、交流想法的基礎上，教師適時給予點撥，進而歸納得出：在平面直角坐標系中，一個點只對應一個坐標，為突破本課教學難點做準備。）

問題5：做一做（課本60頁“做一做”）

（1）在如圖的平面直角坐標系中描出下列各點：

A（－5，0），B（1，4），C（3，3），D（1，0），E（3，－3），F（1，－4）．

（2）依次連接ABCDEFA，你得到什么圖形？

（3）思考：在這個問題中，根據A點的坐標你在直角坐標系中描出了幾個A點？B點呢？由此你能得出什么結論？

問題6：通過上面的活動，在平面直角坐標系中，點與實數對（坐標）之間有何關系？

（設計意圖：分別讓學生“根據點的位置寫出它的坐標”及“根據坐標描出相應的點”，從而使學生更好地理解平面直角坐標系的思想，感受坐標與點的一一對應關系。）

教學感悟：本課教學既有學生合作學習，又有老師的引導，還有學生的自學，課堂上教師給予學生充分的學習自主。可以說，本課教學能體現教師的指導作用、學生的主體作用。但本課概念多，內容也多，學生自學費時較多。與此同時，雖然課堂上觀看了故事視頻，但從課堂觀察來看，這并沒有真正調動學生學習的興趣。為什么要學習平面直角坐標系？這是學生課后仍存在的疑問。特別是，由于欠缺學生的體驗性理解，本課教學難點（平面直角坐標系內的點與有序實數對一一對應）并沒得到有效突破。

二、改進及第二次教學簡錄

1.創設情境，導入新課

（1）找座位

師：今天我們在一個新教室上課，座位擺放和原來教室不一樣，每人手上有一張紙條，紙條上有一個數對，第一個數字代表排數，第二個數字代表列數，大家能否根據自己手中的紙條找到自己的位置呢？

（設計意圖：讓學生自己找座位，體會確定位置的方法，幫助學生從自身的生活實際和經驗中“感知”數對與位置的對應關系。）

（2）回顧舊知

問題1：在現實生活中確定物體位置有哪些方式？

問題2：在直線上確定一個點的位置一般需要幾個數據？在平面內確定一個點的位置一般需要幾個數據？

2．實踐探究、交流新知

合作交流：小組討論預習的學案，每一位同學要清楚下列幾個問題：（A、A+層學生要指導B、C層學生）

問題1：平面直角坐標系是如何構成的？

問題2：怎樣劃分平面直角坐標系的象限？

問題3：怎樣確定點的坐標？怎樣寫出點的坐標？

（設計意圖：本課是一節基本概念課，概念多，但較為直觀，學生閱讀理解并不太難。設計預習學案讓學生課前預習，課堂上再組織小組內部互幫互助，明確合作的任務，可節約課堂時間，以更好地突破本課的教學難點。）

3.互動游戲，難點初探

教師先以教室的座位為背景建立平面直角坐標系，同學確認好自己座位對應的坐標后，開展如下游戲：

游戲一：你的朋友是誰？

規則：老師叫出一位同學的名字時，該同學要快速說出自己的坐標，并且說出你的一位朋友，你的朋友接著說出自己的坐標，再說出一位朋友……其他同學判斷他們所說的坐標是否正確。

游戲二：坐標接龍

老師說出第一個坐標，處于該位置的同學站起來，由他說出第二個坐標，符合這個坐標的同學站起來，并說出第三個坐標……不間斷地接下去，其他同學判斷是否正確。

（設計意圖：讓學生在游戲中體會點與坐標之間的一一對應關系。同時，通過游戲活動，可以激發學生主動參與課堂學習活動的興趣。）

4.練習提升，難點突破

例1．寫出圖中多邊形ABCDEF各個頂點的坐標。

思考：你和你的同伴所寫出的點A的坐標相同嗎？有幾個？點B的呢？由此你能得出什么結論？

（設計意圖：由點來確定坐標，感悟一個點對應唯一一對有序實數對。）

例2：做一做（課本60頁“做一做”）

（1）在如圖的平面直角坐標系中，描出下列各點：

（2）依次連接 ABCDEFA，你得到什么圖形？

（3）思考：在這個問題中，根據A點的坐標你在直角坐標系中描出的點A的位置與你的同伴相同嗎？點B呢？由此你能得出什么結論？

（設計意圖：由坐標來確定點，感悟由一對有序實數對只能找到唯一的點。）

教學感悟：本次教學，加入讓學生自己找座位的環節，讓學生初步感受有序實數對與點的位置之間的對應關系。在突破“點與坐標一一對應”這個難點時，由于加入游戲環節，學生課堂參與的積極性變高了，他們在游戲中體會了一位同學只能對應一個坐標，以及一個坐標只能對應一位同學，從而使教學難點得到更有效的突破。但是，為什么要建立平面直角坐標系呢？他們沒能感受到引入平面直角坐標系的必要性。而且，從游戲過渡到例題的學習時，由于游戲與例題教學銜接不自然，導致獲得“平面直角坐標系內點與坐標之間的一一對應關系”這一結論，仍不是學生在潛意識中自然“迸發”出來的。于是，如何讓學生努力投入對建立平面直角坐標系的必要性思考中，讓他們在參與活動的過程中產生內心的體驗和創造，在突破難點的過程中感悟數形結合的數學思想方法，我對本課做了進一步改進。

三、改進及第三次教學簡錄

1.創設情境，導入新課

（1）找座位

與第二次上課的環節一致。

（2）創設情景

師：我們學過數軸，知道在數軸上確定點的位置只需要一個數字就夠了。現以第三排的同學所在的直線建立一條數軸，張紅同學為原點，向右為正方向，那這一排同學所對應的數分別就是1，2，3，4，-1，-2，-3，-4，這樣，這一排同學的位置就確定了。請問：李×同學所對應的數是多少？

生：-2.

師：3這個數字對應的是那位同學？

生：江××。

師：李××呢？他對應的數是多少？

生：沒有，他并不在數軸上。

師：那要用數字來表示他的位置，該怎么辦？

生：再建立一條數軸。

師：那該如何建立另一條數軸呢？

生：以張×為原點，以她正前方為正方向，她正后方為負方向，就可以建立另一條數軸了。

師：你們的意思是說，第二條數軸應與第一條數軸的原點相同，而且要互相垂直，對嗎？

生：是的。

師：那現在能找到李××同學所對應的數了嗎？

生 1：應用一對數來表示，是（3，2）。

生 2：不對，應是（2，3）。

師：究竟應是（3，2）還是（2，3）呢？學習了今天的內容后我們便有正確答案了。

（設計意圖：抽象的形式化概念被自然地鑲嵌于一種概念與經驗相連的情境之中。要讓學生產生持續的興趣，就必須讓知識內容不斷切入更深的層次，讓學生體驗到學習內容的深度，激發其探究的渴望。本課從已有的知識〈數軸〉引入新課，從學生原有的知識及生活體驗出發，在探究運用數對來表示同學的位置的過程中，體會建立平面直角坐標系的必要性及建立的方法。）

2.實踐探究，交流新知

探究1：（與第二次課“環節2”類似）

探究2：

任務一：建立一個平面直角坐標系，并在坐標系中描出點。

A（3，1）、B（-2，2）、C（-1，-2）、D（3，-1）、E（5，2）、F（4，-3）、G

任務二：小組內部相互檢查上述坐標是否正確，并討論上題中所描出的點的橫坐標、縱坐標的正負與該點所在的象限的關系。

第一象限：（____、___），第二象限：（___、__）

第三象限：（____、___），第四象限：（___、__）

（設計意圖：有效的教學活動是學生學與教師教的統一。讓學生自主建立平面直角坐標系，描出相應的點，然后同伴互幫互助，教師有針對性地選擇學生代表展示，并給予具體的積極性的評價，一方面可以促進學生在解決問題的過程中鞏固本課基礎知識，初步感受點與有序數對的對應關系，另一方面可以促進學生的合作學習，同時，點M的設計，可以促進優秀學生的發展。）

3.互動游戲，突破難點

游戲一：你在哪里？

規則：老師說出某一象限或者x軸、y軸，處于相應位置的同學們請站起來。

（設計意圖：通過游戲的方式，讓學生體會坐標軸上的點不屬于任何象限，以及每一象限的點的坐標的特點等性質，提升學生課堂參與的積極性，感受對應的內涵，促進知識的內化。）

游戲二：你的同伴在哪里？

規則：老師指定一位同學，那么在坐標軸上與這位同學的橫坐標（或縱坐標）相同的同學站起來。

（設計意圖：在游戲中讓學生體會確定點的坐標的方法，并讓學生體會，處在坐標軸上的同學的朋友只有原點位置的同學和自己本身，自然得到，x軸上的點的縱坐標等于0，y軸上的點的橫坐標等于0。與此同時，通過游戲活動，讓抽象的知識直觀化、具體化，加深了學生對知識的理解，促進學生的課堂參與。）

游戲三：你的朋友是誰？

規則：當老師點名某位同學時，該同學要快速說出自己的坐標，并且說出你的一位朋友，你的朋友接著說出自己的坐標，再說出自己的一位朋友……其他同學判斷他們所說的坐標是否正確。

游戲四：坐標接龍

老師說出第一個坐標，處于該位置的同學站起來，并說出第二個坐標，符合第二個坐標的同學站起來，并說出第三個坐標……不間斷地接下去，其他同學判斷是否正確。

想一想：在平面直角坐標系內，一個點可以對應幾對有序實數對？一對有序實數對可以對應幾個點？為什么？

生：因為在游戲中一位同學只對應一個坐標，而給出一個坐標時只能找到一位同學，因此，一個點只能對應一對有序實數對，而一對有序實數對也只能對應一個點。

師：這也就是說，在平面直角坐標系內，點和有序實數對是一一對應的關系。

（設計意圖：借用課起始時建立的平面直角坐標系，將學生看作坐標平面內的點，讓他們在游戲的過程中反復體驗平面直角坐標系內點和有序實數對一一對應的關系，感悟數形結合思想方法。）

（4）介紹歷史，激發興趣

播放平面直角坐標系產生歷史的視頻。

四、教學感悟

將抽象知識直觀化、具體化，有利于促進學生對知識的理解。本課在引入環節里，通過學生“找座位”“確定同學位置”等活動，讓學生認識到數學與生活的密切聯系，體會建立平面直角坐標系的必要性。把抽象的平面直角坐標系“搬到”學生所處的教室里，促進抽象知識的直觀化，提高學生參加數學學習活動的積極性，培養學生的好奇心。在難點突破環節，大膽整合教材，再次利用教室里的“形”，將平面直角坐標系中的“點”直觀化為班級的每一位同學，讓他們在游戲中學會由點確定坐標及由坐標確定點，在游戲中感悟點與坐標的一一對應關系，既有效突破本節課的教學難點，又可讓學生在游戲中體會數形結合的思想，激發學生的學習興趣，活躍課堂氣氛，促進學生參與，提升課堂教學效果。

在概念課教學中，教師要揭示概念產生的背景，促進學生內化數學概念，以幫助學生之后對數學概念的外延進行學習。在揭示概念產生的背景的學習過程中，教師創設的情景要盡可能讓數學概念貼近其產生的歷史進程，即從知識產生的需要出發，讓學生大膽地猜想，體驗到數學概念的產生是自然的、合理的，而不是人為強加的、憑空掉下來的。這樣，有利于幫助學生形成數學學習自覺，發展數學思維，獲得數學發現的基本經驗。在幫助學生將概念內化的學習過程中，在教學上不僅要組織學生進行觀察、分析，更需要組織學生思維上的積極參與。本課教學中，筆者引導學生及時對各個游戲中的共同屬性進行數學抽象與概括，這樣有利于學生更加準確、迅速地掌握概念，也使學生的歸納能力和邏輯思維能力得到了有效的培養。在整節課中，筆者通過組織學生小組討論、合作探究，為學生相互學習和啟發、相互取長補短提供時間和空間，促進學生的共同進步、共同提高，讓學生在互幫互學的過程中提升對概念的理解。這樣，學生既掌握了知識與技能，也感悟了解決問題的基本策略，同時體驗到了數學的魅力。

參考文獻：

［1］孔凡哲，曾崢.數學學習心理學（第二版）［M］．北京：北京大學出版社，2012.

［2］曹才翰，章建躍.數學教育心理學［M］．北京：北京師范大學出版社，2007.