基于Lyapunov定理的離散Logistic方程的穩定性分析

胡津容，張 雷

（重慶交通大學，重慶 400074）

參考文獻分析了單種群離散Logistic模型的穩定性，本文在此基礎上通過Lyapunov定理分析離散Logistic方程的穩定性并加以證明，并通過數值仿真使離散Logistic方程的穩定性更加清晰。

離散Logistic方程的形式為：

式（1）中：xn表示在n時刻生物種群的數量。

式（1）的差分形式為xn+1=f（xn），函數f連續且滿足關系為xn+1→axn（1－xn）。由于種群數量是非負的，因此，xn的取值范圍為[0，1]，為了使式（1）對分析系統的穩定性有理論上的意義，本文假設a的取值范圍為[0，4]。

為了分析式（1）的穩定性，介紹以下引理。

1 引理

1.1 平衡點

如果在系統xn+1=f（xn）中，存在某點x*，并滿足方程x*=f（x*），則稱x*是系統的平衡點。

1.2 全局漸近穩定性

如果x*=0是系統xn+1=f（xn）的平衡狀態，且當n→∞時，系統的每個解都收斂于x*=0，則此平衡狀態是全局漸近穩定的。

1.3 漸近穩定性

如果x*是系統xn+1=f（xn）的平衡態，且滿足|f′（x*）|＜1，則系統的解最終會趨于一條水平線，則此平衡狀態是漸近穩定的。

2 主要結果與證明

根據上述平衡點的定義，令x*=ax*（1－x*），從而可得到式（1）的平衡點為 x（1）=0，x（2）=1－.通過改變參數a的值，從而可分析式（1）在不同參數a下的穩定性。

當a∈（0，1]時，式（1）只有平衡點x（1）=0，且在區間[0，1]是全局漸近穩定的。

當 a∈（0，1]時，x（2）∈（－∞，0]，因此平衡點 x（2）在式（1）中是不存在的，式（1）只有x（1）這1個平衡點。平衡點x（1）=0在區間[0，1]上是全局漸近穩定的，根據引理以及Lyapunov第二方法取Lyapunov函數V（xn）=xn2，可知V（xn）在平衡點之外滿足V（xn）＞0，所以，V（xn）是正定的。

由于本文研究的對象是離散系統，因此，對Lyapunov函數V（xn）進行差分運算，令：

從而計算△V（xn）關于xn的導數，并將上式代入得到：

其中：

將式（1）和式（4）代入等式（3）中，得到

由式（5）可知，當a∈（0，1]時，△V（xn）在平衡點之外均小于0，所以△V（xn）是負定的。當xn→∞時，有V（xn）→∞，且xn→0+，V（xn）→∞，這意味著對于任意一個初始狀態 x（0），當n→∞時，式（1）的解 xn（n=1，2，…，m）會收斂到全局極小值點x（1），因此，滿足x1=…=xm=所以，x（1）=0 在區間[0，1]上全局漸近穩定的。當 a∈（1，3]時，方程有平衡點 x（1）=0，x（2）=1－，且在 x（1）=0 是不穩定的，在是漸近穩定的。當 a∈（1，3]時，x（1）=0，x（2）=1－均屬于區間[0，1]，所以，式（1）有2個平衡點。

x（1）=0 是不穩定的，在是漸近穩定的，因為，連續函數f滿足：

因此，|f′（xn）|=|a－2axn|在平衡點 x（2）處滿足則存在常數q＜1，δ＞0，使得當時，由函數保號性得知|f′（x2）|＜q成立。所以對任意的 x0∈Ux(2)，存在ζ∈（x0，x（2）），滿足|ζ－x（2）|＜|x0－x（2）|，由微分中值定理得|x1－x（2）|=|f（x0）－f（x（2））|=|f′（ζ）||x0－x（2）|＜q|x0－x（2）|，同樣可得|x2－x（2）|＜q|x1－x（2）| ＜q2|x0－x（2）|，因此，可得：

因為 q＜1，所以 n→∞時，有因此，序列 n}∞n=1

{x 收斂到 x（2），所以，x（2）在區間[0，1]上是漸近穩定的，又因為在平衡點 x（1）=0 處滿足|f＇（x（1））|=a＞1，存在常數k＞1和ξ＞0，當時，由函數保號性有|f＇（x1）|＞k成立。

所以，對任意的 x∈U(1)，存在 ?∈(x ,x(1))，滿足0x0由微分中值定理得依此類推：

由式（8）可知，序列在區間[0，1]上是發散的，所以 x（1）=0 在區間[0，1]上是不穩定的。

當 a∈（3，4]時，x（1）=0，x（2）=1－方程有平衡點，且 x（1）=0 和 x（2）=（1－）都是不穩定的。

當 a∈（3，4]時，x（1）=0，x（2）=1－均屬于區間[0，1]，所以，式（1）有 2 個平衡點，x（1）=0 和 x（2）=（1－）都是不穩定的。

綜上所述，|f′x（1）|=a＞3，| f'(x(2))|=|a -2a(1-)|=|2－a|＞1，由式（8）可知序列在 x（1）=0，x（2）=1－處在區間[0，1]上均是發散的。

3 數值仿真

根據上述對參數a的分析，給定初始條件x（0），依次在區間（0，1]、（1，3]和[3，4）對參數a取某一個值，可得到式（1）的穩定性情況，從而分析出種群數量的增長情況。給定初始條件x（0）=0.8，在區間（0，1]、（1，3]和[3，4）對參數a依次取0.5，1.5，3.5，通過數值仿真可得數值解xn的變化情況，如圖1所示。

圖1 xn在不同參數a下的變化情況

由圖1可知，當a=0.5時，數值解xn很快趨于0，在xn=0處達到全局漸近穩定；當a=1.5時，數值解xn在達到0.33時，最終會趨于一條水平線，達到漸近穩定，并在xn=0處是不穩定的；當a=3.5時，數值解xn在區間[0，1]上是發散的，沒有穩定點，由此證明了上述結果的正確性。

參考文獻：

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