懸臂輸流單層碳納米管的顫振失穩分析

李 明，方 康，鄭華升

(武漢科技大學冶金工業過程系統科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢，430065)

碳納米管(CNT)具有完美空心圓柱形幾何結構，已成為納米尺度下流體儲藏與輸運的重要載體，廣泛應用于生物醫藥領域(如抗腫瘤藥物的靶向輸送)以及納機電系統(NEMS)中[1-3]，與之相應的輸流碳納米管動力學特性也吸引了國內外研究者的大量關注。在這些研究中，非局部連續介質彈性理論作為一種分析手段亦已獲得較為廣泛的認可。Wang等[4]應用非局部歐拉-伯努利(Euler-Bernoulli)梁模型研究了輸流雙層碳納米管的固有頻率和屈曲失穩特性，發現了小尺度參數對其振動頻率的影響。Lee等[5]利用非局部彈性理論研究了固支載流單層碳納米管(SWCNT)的振動問題。此類研究結果綜合表明，隨著小尺度的增加，碳納米管的振動頻率會降低，在管內流體高速及高階時更為明顯。

然而，已有的相關研究多半針對兩端具有支撐的輸流碳納米管動力學特性，對懸臂狀況下輸流碳納米管的振動失穩特性研究較少。不同于其它邊界情況，懸臂輸流管道系統是一個非保守系統[6]，這意味著管道、流體之間耦合系統的能量將隨時間而發生變化，管內流速較小時，流體對管道所做的功為負，但隨著管道內流體流速的增加，流體作用在管道上的功可能為正，由此管道將從流體中吸收能量，在流速達到臨界流速時會通過一個Hopf分岔發生顫振，造成系統的動態失穩，大量針對非微尺度、納米尺度管道系統的研究已對這一特性做過多方面的探討[7-8]。此外，管道自身的黏彈性特性在輸流管振動中也是一個需要考慮的重要因素[9]。本文以非局部彈性理論為基礎，采用歐拉-伯努利梁模型，考慮碳納米管的小尺度效應以及碳納米管的黏彈性特性，著重研究懸臂輸流單層碳納米管的顫振失穩問題。

1 振動控制方程與邊界條件

圖1所示為懸臂輸流單層碳納米管，其長度為L，外徑為D，橫截面積為A，彎曲剛度為EI，E為材料彈性模量，材料的黏彈性特性采用Kelvin-Voigt模型；每單位長度上納米管的質量和內部流體的質量分別為mc和mf；流體流速不變且為U。振動中假定管道只發生橫向面內振動，且不考慮重力以及管道外部拉、壓力的影響。W(X,T)為納米管振動的橫向位移，其中，X為沿納米管的軸向坐標，T為時間。

圖1 懸臂輸流單層碳納米管

Fig.1Cantileverfluid-conveyingsingle-walledcarbonnanotube

輸流SWCNT系統的總動能為

(1)

系統的應變能為

(2)

式中：εXX及σXX分別為X方向的應變及應力。

在小變形情況下，Euler-Bernoulli梁應變-位移關系為：

(3)

根據材料黏彈性本構關系[10]及非局部彈性理論，SWCNT應力-應變關系可表示為：

(4)

式中：e0a是納米材料中引起結構小尺度效應的參數，E*為材料的黏彈性阻尼系數。

考慮到彎矩M與應力σXX的關系式：M=?σXXZdA，應用哈密頓原理：

(5)

可以得到輸流納米管的運動方程為：

(6)

對于懸臂輸流納米管，考慮邊界小尺度因素，其邊界條件為：

X=L：

(7)

2 振動控制方程求解

微分變換法(DTM)是一種基于泰勒級數展開的半解析計算方法[11]，相較于Galerkin法、微分求積法(DQM)、有限元法(FEM)等，可以更精確而簡單地對高階偏微分方程進行求解，且隨著方程階數的增加，其求解過程并不會變得繁瑣，DTM法部分基本運算法則如表1所示。

表1 微分變換法部分基本運算法則

本文將DTM法推廣到納米級別輸流管系統的振動穩定性分析中，利用該法對上述高階偏微分方程在懸臂邊界條件下進行求解。為便于后續的數值計算與分析，本文引入下列無量綱化的變量和參數：

(8)

以及無量綱懸臂邊界條件

x= 1：

(9)

(10)

基于DTM運算法則，可得到方程(10)的微分變換形式

[1-μu2](k+4)!Φ(k+4)+u2(k+2)!Φ(k

(11)

其相應的懸臂邊界條件的微分變換形式

Φ(0)=Φ(1)=0

(12)

[αk(k-1)(k-2)-

(13)

令Φ(2)=C1,Φ(3)=C2，進而與式(12)一起代入式(11)，迭代求得Φ(k)，k=4,5,…,N,然后將Φ(k)，k=1,2,…,N代入式(13)，可得到以下方程：

(14)

其中aij是關于Ω0和其它系統參數的多項式，上式有平凡解的條件是其系數矩陣行列式為零，考慮Ω0=iΩ，即可獲得系統的無量綱復頻率Ω，其中Ω的實部Re(Ω)是系統的無量綱固有頻率，其虛部Im(Ω) 與阻尼有關。已有研究表明[10]，系統的穩定性取決于Ω的虛部，如果Im(Ω)>0，系統穩定；如果Im(Ω) <0，系統不穩定。在Im(Ω)=0 時，對于懸臂納米管系統將存在兩類失穩類型：1) 若實部Re(Ω)=0，則系統將因發散而出現靜態的屈曲失穩；2) 若實部Re(Ω)≠0，則系統將出現顫振表現為動態失穩。

3 系統顫振失穩分析

對于懸臂輸流納米管的顫振失穩分析，本文采用的參數為[12]：輸流流體的密度ρf=1000kg/m3,碳納米管密度ρc=2300 kg/m3，外層半徑R0=3nm，壁厚td=0.1nm，彈性模量E=3.4 TPa，振動中為不計剪切變形與轉動慣量[13]，長徑比L/(2R0)=40，無量綱小尺度參數μ、無量綱黏彈性阻尼參數α以及無量綱質量參數β的取值在具體算例中給予說明。DTM的計算精度取決于截斷項數N的取值，N的取值越大計算結果越接近精確解，本文取N=40，經驗證此時已能保證前四階模態的解足夠精確。

圖2、圖3顯示的是不同質量參數β下懸臂輸流SWCNT前四階無量綱復頻率Ω的Argand圖，此時小尺度參數μ=0，黏彈性阻尼參數α=0，圖中各處所示數據為該處對應的無量綱流速值。由圖2、圖3可以看到，在不同質量參數下，管內流動流體在各階模態中均會引起阻尼作用，且系統的各階頻率均隨流速增加而降低。比較前四階復頻率Ω的變化規律可以發現，系統的第一階模態始終不會出現顫振失穩。而當質量參數β較小時(β=0.2)，隨著流速的增加，系統的第二階模態在u=5.6時率先發生顫振失穩，其失穩時對應的流速稱為系統的顫振失穩臨界流速，記為ucr，即此時ucr=5.6,之后若繼續增加流速，系統的第四階模態亦會出現失穩(未示于圖中)。然而，在質量參數較大(β=0.5)的系統中，可以發現系統的顫振失穩并不是在第二階模態率先發生，此時，懸臂輸流SWCNT系統的第三階模態在流速ucr=9.3率先失穩，第二階模態則是經歷較為復雜的過程后最終失穩。以上結論與文獻[10]相同，進而也驗證了本文采用的DTM求解方法的正確性。另外，由圖2、圖3的分析可以得到，質量參數β較大時，系統的顫振失穩臨界流速更高，系統更趨于穩定。

圖2系統前四階無量綱復頻率實部與虛部隨流速變化規律(β=0.2,μ=0,α=0)

Fig.2Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.2,μ=0,α=0)

圖3系統前四階無量綱復頻率實部與虛部隨流速變化規律(β=0.5,μ=0,α=0)

Fig.3Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.5,μ=0,α=0)

圖4和圖5分別為不同質量參數條件下，懸臂輸流納米管考慮小尺度效應時，前四階無量綱復頻率Ω的Argand圖，此時，小尺度參數μ=0.05，黏彈性阻尼參數α=0。將圖4、圖5與圖2、圖3進行比較可以看出，考慮小尺度情況下，前四階模態隨管內流體流速的變化規律保持不變。只是，在考慮小尺度效應時，系統的顫振臨界流速減小(β=0.2時，二階模態率先失穩，ucr=5.4；β=0.5時，三階模態率先失穩，ucr=8.6)，說明小尺度效應降低了系統的穩定性，使懸臂輸流系統更為柔軟。從各圖比較還可以得到，質量參數β越大，系統各階模態無量綱復頻率Ω的實部、虛部隨流速的變化規律受小尺度效應的影響越明顯。

圖4系統前四階無量綱復頻率實部與虛部隨流速變化規律(β=0.2,μ=0.05,α=0)

Fig.4Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.2,μ=0.05,α=0)

圖5系統前四階無量綱復頻率實部與虛部隨流速變化規律(β=0.5,μ=0.05,α=0)

Fig.5Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.5,μ=0.05,α=0)

圖6和圖7分別為不同質量參數條件下，管道黏彈性性質對懸臂輸流碳納米管系統顫振失穩的影響情況，此時黏彈性阻尼參數α均為1×10-3，小尺度參數μ均為0.05。將圖6、圖7與圖4、圖5進行比較可以發現，管道的黏彈性性質對懸臂輸流管道各階模態的影響程度不同，黏彈性阻尼參數對第一階模態影響不大，但對其后幾階模態影響效果顯著。首先，當黏彈性阻尼參數α不為0時，在管內流體流速極低時(u→0)后幾階模態已表現出較為明顯的阻尼效果；其次，就黏彈性性質對系統顫振失穩的影響而言，比較上述各圖可以看出，在較小的質量參數條件下，系統顫振失穩臨界流速隨黏彈性阻尼參數增加而升高，而在較大的質量參數條件下，系統顫振失穩臨界流速則隨黏彈性阻尼參數增加而降低。這就意味著管道系統儲存的彈性能、管道黏彈性特性的振動耗散能以及管道由流體中的吸入能三者共同決定了懸臂輸流系統的顫振失穩臨界流速。

圖6系統前四階無量綱復頻率實部與虛部隨流速變化規律(β=0.2,μ=0.05,α=1×10-3)

Fig.6Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.2,μ=0.05,α=1×10-3)

圖7系統前四階無量綱復頻率實部與虛部隨流速變化規律(β=0.5,μ=0.05,α=1×10-3)

Fig.7Thedimensionlesscomplexfrequencyofthefourlowestmodesofthecantileveredsystemasafunctionofthedimensionlessflowvelocity(β=0.5,μ=0.05,α=1×10-3)

4 結語

本文基于非局部Euler-Bernoulli梁模型，采用DTM法對懸臂輸流單層碳納米管的高階偏微分方程進行求解，分析了此類非保守系統的顫振失穩問題,分別討論了系統質量參數、管道黏彈性參數以及小尺度參數對系統前四階無量綱復頻率以及系統無量綱顫振失穩臨界流速的影響。結果表明輸流納米管小尺度效應將會降低系統的穩定性，使懸臂輸流系統更為柔軟；而管道黏彈性阻尼參數對系統顫振失穩臨界流速的影響與系統質量參數相關：質量參數較小時，系統顫振失穩臨界流速隨黏彈性阻尼參數增加而升高，質量參數較大時，系統顫振失穩臨界流速則隨黏彈性阻尼參數增加而降低。本文所得結論可為工程納米流體機械的設計分析提供一定的理論參考。

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