波束形成算法研究與改進

劉 權，周淵平，徐 磊，黃思遠

(四川大學 電子信息學院，四川 成都 610065)

0 引言

智能天線系統是由陣列天線、模數轉換、自適應波束形成等幾部分構成的。自適應處理系統可以根據信號的空時域特性和高效的自適應準則，采用有效的算法，產生最優化的權值，進而實現信號的最佳接收狀態。波束形成算法是智能天線技術的核心內容之一[1]，算法收斂速度的快慢、計算復雜度、應用效果等因素都直接影響智能天線系統的性能。采用合適的波束形成算法成為研究重點。

1 算法分析

1.1 LMS算法

對于有M個陣元的均勻直線陣列的輸入信號為S(n)=[s0(n),s1(n),…,sM-1(n)]T，通過各個陣列元通道的加權后，合成的輸出信號表示為：

y(n)=WTS(n)

(1)

式中：

W=[w0,w1,…,wM-1]T

陣列輸出信號的均方為:

=E[(WTS(n)SH(n)W*)*]

=WHE[S*(n)ST(n)]W=WHRW

(2)

其中R=E[S*(n)ST(n)]

誤差信號定義為：

e(n)=d(n)-y(n)

(3)

式中d(n)為期望得到的信號。

期望信號與陣列輸出信號的差值的均方誤差ξ為：

(4)

式中：R=E[x*(n)x(n)],r=E[x*(n)d(n)]

均方誤差ξ對加權向量W的梯度表示為：

(5)

當梯度為零時，均方誤差信號的函數取得極小值[2]，由此可得到：

Wopt=R-1r

(6)

為了減少算法的復雜度，避免矩陣的求逆計算，一般采用最陡下降法的LMS算法逐次迭代加權值的向量。在最陡下降法中[3]，可以設置一個W的初始值W(0)，用均方誤差減小的方向來不斷地調整W，可以找到一個較優化的Wopt，采用的遞推公式為：

W(n+1)=W(n)-mNwx

=W(n)-2m[RW(n)-r]

(7)

其中，m為步長，是一個常數。在該梯度算法中需要R與r的精確數值，所以要求輸入信號和誤差信號必須要穩定，而且要求二階統計特性是已知的。但是在實際的應用場景中，滿足這樣的要求比較困難，于是采用估計值代替精確值。可以采用輸入信號和誤差信號的瞬時值來估計互相關矩陣與自相關矩陣，于是R=x*x,r=x*d，因此，式(7)可以改寫為式(8)：

W(n+1)=W(n)+2me(n)x*(n)

(8)

1.2 GSC算法

廣義旁瓣信號相消器由主支路和輔助支路兩部分組成，并且要求期望信號只能從主支路加權值通過，輔助支路中只含有噪聲分量和干擾信號，兩條支路不斷地自適應進行差值得到理想的輸出信號[4]，算法的具體描述如下：

輸出信號的功率為：

(9)

其中，W=WC-BHWa為GSC整體權值，WC為主支路權值，Wa為輔助支路的自適應權值，B為M×(M-1)維的阻塞矩陣，BHC=0，B的作用就是阻塞掉理想的期望信號，組成B的列向量是位于構造約束空間的正交互補空間中的向量[5]，R=E[S*(n)ST(n)]。

整體權值也可以表示為：

WC-BHWa=R-1CH(CR-1CH)-1c

(10)

其中，C是信號方向矢量，c是一個常數。

主支路權值為：

WC=CH(CCH)-1c

(11)

阻塞矩陣滿足的約束條件為：

BCH=0

(12)

輔助支路權值為：

Wa=(BRBH)-1BRWc

(13)

由此可知，廣義旁瓣信號相消器實現了能夠消除干擾和噪聲，輸出理想的信號[6]。

1.3 MMSE算法

該波束形成算法是求取一個最優的權值，能夠使陣列天線輸出與參考信號的差異最小，也就是[7-8]:

minE[|WTr(t)-d(t)|2]

(14)

式中，W為權值，r(t)是輸入信號,d(t)是參考信號。

擴展式(14)，得:

E[|WTr(t)-d(t)|2]=WHE[r*(t)r(t)T]W-WHE[d(t)r*(t)]-E[d*(t)r(t)T]W+E[d*(t)d(t)]=J(W,W*)

(15)

將式(15)的梯度向量設為0:

(16)

可得到最優解為：

Wopt=R-1P

(17)

其中：

R=E[r*(t)r(t)T]

(18)

P=E[r*(t)d(t)]

(19)

1.4 三種算法仿真實驗結果

仿真環境如下：陣元個數為12，信噪比SNR均為10 dB，快拍數1 000，信干噪比SINR=-2 dB，仿真信道滿足瑞利信道的模型構造，仿真包含1個理想信號，3個獨立的干擾。

三種算法的波束圖比較如圖1所示，可以看出，MMSE的分辨率效果最好，同時在干擾抑制效果上，MMSE最好，LMS和GSC次之。MMSE動態權值矢量能夠自適應地在期望方向形成峰值并在干擾方向形成零陷，具有抑制干擾的能力和高分辨率的特點。但是MMSE算法也有一些缺點，即天線數量較多時，計算量太大，對硬件的要求高，無法跟蹤信道參數，會受到干擾信號的時延影響。

圖1 LMS、GSC、MMSE三種算法的空間譜

2 MMSE算法的改進

傳統的MMSE算法是通過公式(17)來確定最優權值的，這樣增加了算法的復雜度和計算量。特別是在大規模天線的情況下，這樣對硬件的要求太高，因此，MMSE算法的改進在于實現單根天線單權值的調整，采用自適應的算法完成天線的最優權值搜索。

傳統MMSE的約束方程為：

J=E[|WHX(n)-d(n)|2]

(20)

將傳統方程中WHX(n)進行轉化：

(21)

其中：

(22)

Xk(n)表示第k個接收天線的接收信號。

將式(22)代入式(21)中得到：

|d(n)|2

(23)

將式(23)求導，得：

(24)

因此可以得到：

(25)

其中:

λ2=E[|xk(n)|2]

(26)

仿真環境如下：陣元個數為16，信噪比SNR為10.2 dB，快拍數為1 000，信干噪比SINR=-1.5 dB,天線間距為1/2波長，仿真信道滿足瑞利信道的模型構造，仿真包含一個理想信號(角度0°)和理想信號的多徑(角度50°)，以及兩個獨立的干擾(角度為-20°和10°)。

仿真結果如圖2～圖4。圖2中，單權值MMSE算法的波束圖與傳統MMSE的波束圖相比，前者對多種干擾的抑制作用更加明顯，對理想信號的多徑都具有較好效果。

圖3中，兩者的初始信噪比SNR=18.5 dB；經過智能天線的算法處理后，普通MMSE算法的信干噪比SINR1=25.3 dB；單權值調整MMSE算法的信干噪比SINR2=25.6 dB，經過逐個天線調整的最優權值對干擾的抑制作用稍高于普通的MMSE算法。

圖4中，隨著單根天線的權值迭代次數的增加，誤碼率也會降低，經過一段時間的迭代，權值會達到一個較優的狀態，使誤碼率保持在低值。

圖2 傳統MMSE和單權值調整MMSE的波束圖

圖3 改進MMSE算法與傳統MMSE的收斂圖

圖4 改進MMSE算法誤差趨勢圖

3 結論

本文分析了LMS、GSC、MMSE三種算法的原理，實際上陣元個數、天線間距、初始信噪比、快拍數等因素都會影響波束形成算法的效果，在相同條件的情況下，比較了三種算法的性能。傳統MMSE算法能夠使主瓣對準理想信號的方向，對干擾方向進行零陷，從而提高陣列輸出的信噪比，具有較好的抑制干擾的作用。GSC 算法與阻塞矩陣的個數有較大的關系，阻塞矩陣與天線的個數有關，矩陣求逆運算復雜度較高。LMS算法在穩定且信號統計未知的情況下，通過遞歸迭代的算法求出理想權值，但是沒有利用之前循環的陣列的樣本信息，導致估計的梯度協方差偏大，更新的權向量不能很好地抑制干擾。盡管傳統MMSE算法在抑制干擾上有較好效果，但是矩陣的求逆導致復雜度較高，在實際應用中對硬件要求高。單根天線逐步調整的MMSE算法避免了這種情況，同時提高了信噪比，抑制干擾的能力有一定提升，但是單權值MMSE和傳統MMSE都沒有解決干擾信號時延造成波峰混疊的問題，在今后的研究中，將進一步提高該算法的性能。

參考文獻

[1] 王永良，丁前軍，李榮鋒，等.自適應陣列處理[M]. 北京：清華大學出版社，2009.

[2] 張驊，郭衛展. LMS自適應波束形成[C]. 北京：第十屆全國雷達學術年會，2009.

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[4] GROSS F. Smart antennas for wireless communications: with MATLAB[M]. 北京：電子工業出版社，2009.

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