數學名題在高考命題中的應用

梁志紅

【摘 要】本文分析數學名題在高考命題中的應用情況，指出這種應用有直接采用數學名題、采用數學名題的變形、以數學名題為基本素材這三種主要形式，以例講解，為高三學生提供良好有效的復習策略。

【關鍵詞】數學名題 數學典籍 高考命題

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）01B-0154-02

隨著新課標改革的進行，高考命題中開始越來越多地出現一些數學名題的身影，對其稍加整合或變形，很容易就成為了高考中數學的命題新形式。因為數學名題一般都極具知識點代表性和考查重心特點，這些題目的解法具有較為獨到的構思和較為新穎的解題技巧，使學生得到較好的考查，這些名題在高考命題中受到一定程度上的歡迎。我們知道，每一年高考數學命題都是高中師生關注的焦點，教師摸清楚命題者在設計高考數學題時的思路與方向，便于為高三學子提供良好的有效的復習方向，提高數學復習的效率。而研究數學名題的原題、變形、改編等是非常有效的途徑，因此，本文研究數學名題在高考命題中的應用。下面從具體的幾個方面加以闡述。

一、直接采用數學名題

在高考命題中直接采用數學名題來進行命題的例子并不少見，因為數學名題中蘊藏的考點很多，所以有些高考命題中會直接選取這些數學名題來作高考命題的參考。比較常見的直接采用數學名題內容來命制高考試題的有歐拉定理、中國剩余定理、丟潘圖的墓志銘、不說話的學術報告，等等。將數學名題直接用在高考命題中的例子有：

〖例 1〗（2014 年湖北高考數學 理科）8.《算數書》竹簡于上世紀八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現存最早的有系統的數學典籍，其中記載有求“囷蓋”的術：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一。該術相當于給出了由圓錐的底面周長 L 與高 h，計算其體積 V 的近似公式 ，它實際上是將圓錐體積公式中的圓周率 π 近似取為 3，那么近似公式 ，相當于將圓錐體積公式中的 π 近似取為（ ）

無需過多解釋，單從這道高考題的題干來看，就知道其借用的是“囷蓋算術”這一經典的數學名題，其中也無多大的變形，它幾乎是直接運用數學名題，但是，其中考查的數學要點不容忽視。這一題主要考查圓錐體的體積公式，考查學生的閱讀理解能力。它雖是一道基礎的數學題目，但題干較長，使得學生在面對此類題目的時候會出現一定的初始暈題效應。《算術書》作為我國古代著名的數學典籍，其中蘊藏了許多數學奧秘，像這里提出來的“囷蓋算術”就是圓錐體積公式的早期形成與運用。它雖以文字的形式出現，但其中的數學道理都是經過后代無數的驗證的。在此題目中，可以直接運用 這個公式作為中間站點，建立方程來進行求解。設圓錐底面圓的半徑為 r，高為 h，則 L=2πr，然后就比較容易通過方程求出這里 π 近似取值的大小。除此之外，平時還要注意如“秦九韶算法”等古代名題，這些也是高考命題中的熱點。就“秦九韶算法”而言，求多項式的時候，可以將它直接轉移應用。像這些數學名題，較好地考查學生的思維能力、理解能力、解題能力。這在提倡素質教育的今天，它成為高考數學命題中的一個重點，我們要給予更多關注。

二、采用數學名題的變形式

在高考數學名題當中，與數學名題的直接運用相比，采用數學名題的變形來進行高考命題更為常見。在近些年來，幾乎各地的高考數學卷子上都有此類題目出現。經過對數學名題進行適當變形，把數學名題中所蘊藏的道理經過整合后更好地運用到高考命題當中，拓寬考查點，更好地考查學生運用數學知識的能力和掌握解題技巧的能力，這在高考命題中受到廣泛歡迎。

〖例 2〗（2012 年全國高考理科數學試題——新課標）2.（5分）將 2 名教師和 4 名學生分成 2 個小組，分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動。每個小組由 1 名教師和 2 名學生組成，不同的安排方案共有（ ）

A.12 種 B.10 種 C.9 種 D.8 種

2012 年高考全國卷考的這道有關計數原理的題目，其中所運用的數學名題就是四色定理，它在這個數學名題的基礎上，經過適當變形而來，在解題的技巧上仍然存在一定的相通之處。學生在解答這道高考數學題的時候，可以分為三步進行。第一步，為甲地選擇一名老師，有 C21=2 種選法；第二步，為甲地選擇兩名老師，則有 C42=6 種；第三步，為乙地選 1 名教師和 2 名學生，有 1 種選法。綜合求解，則共有 12 種（2×6×1=12）不同安排的方案，這道選擇題的答案 A 就自然而言地顯現出來。而在四色定理中，其作為世界近代三大數學難題之一，主要內容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同顏色”。這其中就考察了計數原理的問題，但其可能更為復雜，可能還會運用到幾何雙面屬性的問題，在其分析中，對學生思想層面的要求較高。但在這道高考題中，它就進行了變形，重點考查學生分析題目的條理性和步驟性。除此之外，還有許多高考試題都是由一些數學名題變形而來。有的還出現在數學大題的考查當中，但它一般并不會進行全部變形，使其中某一小問的解題思路與這些名題類似。運用這些數學名題的思維來解答這些高考數學題，是解答數學問題的捷徑，有效提高解題效率。

三、以數學名題為基本素材

高考命題中以數學名題為基本素材是近些年來數學名題在高考命題中應用的一個重要的趨勢，特別是以世界數學名題為基本素材的高考題，從題目的表面來看，其似乎與這些數學名題無多大關系，但是仔細來看，其命題思路與相應的數學名題有極大的相通之處，但并不是說學生掌握此類數學名題之后就可以很輕松地解出答案。學生可以借助這些名題的思想方法當作輔助工具，在復雜多樣的題型新穎的高考題中找到熟悉感。但其中也會有陷阱，因此備受高考數學命題者的偏愛，使得其在如今的高考命題中占據了越來越大的比重。

〖例 3〗（2015 年高考數學浙江卷）18.（15 分）已知函數 f（x）=x2+ax+b（a，b∈R），記 M（a，b） 是 |f（x）| 在區間 [-1，1]上的最大值。

（1）證明：當 |a| ≥2 時，M（a，b）≥2；

（2）當 a，b 滿足 M（a，b）≤2 時，求 |a|+|b| 的最大值。

看這道題目，似乎沒有什么特別之處，但第（2）問在求解 |a|+|b| 的最大值時，當 a=b=0 時，|a|+|b|=0，又 |a|+|b|≥0，所以 0 為最小值，符合題意；對任意 x∈[-1，1]，有 -2≤x2+ax+b≤2，得到 -3≤a+b≤1，且 -3≤b-a≤1，易知 |a|+|b|=max{|a-b|，|a+b|}=3，在 b=-1，a=2 時符合題意，所以 |a|+|b| 的最大值為 3。這里的解答就間接運用了數學名題中的“彭羅斯階梯”，它指的是一個始終向上或向下但卻走不到頭的階梯。這表面看似與求最大值不相關，但是命題思路上存在較大的相關性，需要學生考慮數值的各個方面，運用其中的回歸原點的中心思想，考慮題目的全面性。這里只是以此類數學名題為基本素材，進行變形、拓展，抓取其中的一個要點，作為高考命題的中心，再結合高中數學學習重點進行整合，成為高考命題中的一個亮點。

總的來說，數學名題在高考命題中的應用主要有直接采用數學名題、采用數學名題的變形、以數學名題為基本素材這三種主要形式，其中直接采用數學名題做高考題并不十分多見，但是后兩種卻在高考命題中有著較為廣泛的應用，因其具有更為廣大的思考的空間，考查的內容更為貼合高中生數學學習的實際。新課改后，高考命題的形式更注重對學生各方面能力的考查，而不僅考查學生的基礎理論知識。數學名題蘊藏豐富的知識，這些名題的變換在很大程度上貼合新課改的要求，因此研究數學名題在高考命題中的應用具有進一步探析的意義。

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