函數(shù)單調(diào)性的判定方法 及其在高考題中的應(yīng)用探究

陳楨

【摘 要】本文分析函數(shù)的單調(diào)性在高考中的考查情況，概述函數(shù)單調(diào)性的判定方法，以例講解有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的解題方法。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù) 判定方法

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2018）01B-0156-03

函數(shù)單調(diào)性這部分內(nèi)容是中學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)之一，它的相關(guān)知識(shí)在初中、高中乃至大學(xué)都能運(yùn)用到。函數(shù)的單調(diào)性作為函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，同樣也成了高考的熱點(diǎn)，在高考的選擇題、填空題、解答題中都出現(xiàn)過(guò)，有容易、中等、較難不同的難度層次，所占比分也跟著它的難度不同，有高低之分。本文將對(duì)函數(shù)單調(diào)性在高考中的考查進(jìn)行分析，從而探討函數(shù)單調(diào)性的判定方法及其應(yīng)用。目的在于使學(xué)生對(duì)高中函數(shù)單調(diào)性這部分內(nèi)容有更深刻的理解和更全面的把握，為將來(lái)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)。

一、函數(shù)單調(diào)性在高考中考查的分析

（一）高考題中有關(guān)函數(shù)單調(diào)性的考查形式。函數(shù)單調(diào)性作為高考的熱點(diǎn)，常出現(xiàn)在高考的選擇題、填空題、解答題中。

（二）考點(diǎn)分析。分析歷年來(lái)的高考試題發(fā)現(xiàn)，函數(shù)單調(diào)性的各考點(diǎn)出現(xiàn)在解答題中的頻率比出現(xiàn)在選擇題、填空題中的頻率高，下面對(duì)函數(shù)單調(diào)性各考點(diǎn)進(jìn)行分析。

1.函數(shù)的單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用。函數(shù)的單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用，即證明不等式或解不等式。從 2009 年到 2011 年這三年考題中可看出，證明不等式或解不等式都成了必考內(nèi)容。用什么樣的方法來(lái)做題，我們可根據(jù)題設(shè)所給的條件來(lái)選擇。在高考的時(shí)候，講究的是做題效率，每個(gè)同學(xué)都在和時(shí)間作戰(zhàn)，所以會(huì)選擇簡(jiǎn)單的方法。

2.利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值或參數(shù)值的取值范圍。對(duì)于這個(gè)考點(diǎn)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，在 2010 年許多省份都考了此考點(diǎn)。這樣的題型我們可根據(jù)題設(shè)所給出的條件來(lái)選擇做題方法，簡(jiǎn)單地利用求導(dǎo)就可解決問(wèn)題。難度高的題一般會(huì)利用求導(dǎo)、函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決，但這樣的考點(diǎn)一般都是出現(xiàn)在后面的大題中，分值跟其難度有關(guān)。

3.求函數(shù)的極值、最值、零點(diǎn)。求函數(shù)的零點(diǎn)這個(gè)考點(diǎn)很少出現(xiàn)，出現(xiàn)較多的是求函數(shù)的極值、最值，而且都是在后面的大題里出現(xiàn)。遇見(jiàn)這樣的題型，根據(jù)我們的做題經(jīng)驗(yàn)，先利用求導(dǎo)的辦法，然后利用函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題。

4.討論函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這樣的題型直接就是把函數(shù)的單調(diào)性作為一個(gè)考點(diǎn)，而不是把函數(shù)的單調(diào)性作為橋梁去解決其他考點(diǎn)，做題方法就是把求導(dǎo)作為橋梁來(lái)解決問(wèn)題。當(dāng)然，判斷一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)，也可以利用其定義來(lái)判定，所以選擇哪種方法就得看題設(shè)所給出的條件。

二、淺析函數(shù)單調(diào)性的判定及函數(shù)單調(diào)性在考題中的應(yīng)用

（一）函數(shù)單調(diào)性的判定。函數(shù)的單調(diào)性，揭示的是絕對(duì)上升或下降的趨勢(shì)，這是函數(shù)單調(diào)性的特征。從本質(zhì)上看，函數(shù)單調(diào)性揭示的是一種變化趨勢(shì)。

所謂函數(shù)的單調(diào)性是指一般地，設(shè)函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?I，如果對(duì)于定義域 I 內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D 上的任意兩個(gè)自變量的值 x1，x2，當(dāng) x1f（x2）），那么就說(shuō)函數(shù) f（x）在區(qū)間 D 上是增函數(shù)（或減函數(shù)）。我們?cè)谂袛嗪瘮?shù)單調(diào)性時(shí)，可以從兩個(gè)方面進(jìn)行分析：

1.簡(jiǎn)單函數(shù)的判定。對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)的判定有三種方法。

第一種方法是定義法。根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，我們可以得出用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：首先設(shè)元，任取 x1，x2D 且 x1

例如，用定義法證明函數(shù) f（x）=x3+x+1 在（-∞，+∞）是增函數(shù)。根據(jù)步驟，我們首先設(shè)元，設(shè)任意的 x1，x2（-∞，+∞），且 x10，所以（x1-x2）<0，即 f（x1）

第二種方法是導(dǎo)數(shù)法。所謂導(dǎo)數(shù)法即設(shè)函數(shù) y=f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，如果在（a，b）內(nèi)有<0（或>0），那么函數(shù) y=f（x）在[a，b]上單調(diào)減少（或單調(diào)增加）。因?yàn)橹袑W(xué)所學(xué)的函數(shù)基本上都是連續(xù)函數(shù)，所以高中階段并未討論函數(shù)連續(xù)，繼而我們?cè)诟咧杏脤?dǎo)數(shù)法時(shí)，可以不用討論函數(shù)是否連續(xù)。例如，試證當(dāng) x>0 時(shí)，f（x）=1n（1+x）-x 是減函數(shù)。根據(jù)題目，我們可判斷 f（x）在[0，+∞）是連續(xù)的，在（0，+∞）是可導(dǎo)的，所以 。之后判斷 的符號(hào)，因?yàn)?x>0，所以 <1，所以 <0。根據(jù)導(dǎo)數(shù)法的定義，我們即判定函數(shù) f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)。與定義法相比，導(dǎo)數(shù)法比較簡(jiǎn)便，但它們各有優(yōu)勢(shì)，我們可根據(jù)題目來(lái)選擇用哪種方法。

第三種方法是圖象法。所謂圖象法就是觀察圖象，從左向右，圖象上升即為增函數(shù)，圖象下降即為減函數(shù)。

2.復(fù)合函數(shù)的判定。復(fù)合函數(shù)在中學(xué)課本中并未提出，但在題目中會(huì)遇到，所以這部分內(nèi)容是由教師補(bǔ)充給學(xué)生講的。

對(duì)復(fù)合函數(shù)來(lái)說(shuō)，復(fù)合函數(shù) y=f（g（x）），設(shè) u=g（x），則 y=f（u）。若 u=g（x）和 y=f（u）單調(diào)性相同，則 f（g（x））為增函數(shù)；若 u=g（x）和 y=f（u）單調(diào)性相反，則 y=f（g（x））為減函數(shù)；若 f（x），g（x）都為增（或減）函數(shù)，則 f（x）+g（x）為增（或減）函數(shù)；若 f（x）為增函數(shù)，g（x）為減函數(shù)，則 f（x）-g（x）為增函數(shù)，若 f（x）為減函數(shù)，g（x）為增函數(shù)，則 f（x）-g（x）為減函數(shù)。

（二）函數(shù)單調(diào)性在高考題中的應(yīng)用實(shí)例。關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的考查，在高考題中有利用函數(shù)的單調(diào)性作為橋梁來(lái)解題的，也有直接把函數(shù)單調(diào)性作為一個(gè)考點(diǎn)的。有的是一題考查一個(gè)考點(diǎn)，如選擇題或填空題；有的則是一個(gè)題包含著幾個(gè)考點(diǎn)，如后面的大題。下面筆者用高考題來(lái)對(duì)考點(diǎn)進(jìn)行分析。

例 1（2011 年，遼寧卷，11 題）函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?R，f（-1）=2，對(duì)任意 x∈R，>2，則 f（x）>2x+4 的解集為（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞） C.（-∞，1） D.（-∞，+∞）

我們首先可觀察題設(shè)所給的條件，對(duì)于此類題，我們可以構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)，即令 g（x）=f（x）-2x-4。根據(jù)題設(shè)給出的信息，我們可對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，即 -2>0，所以函數(shù) g（x）在 R 上是增函數(shù)；又因?yàn)?f（-1）=2，所以 g（-1）= f（-1）+2-4=0，故 g（x）>g（-1）。由函數(shù) g（x）的單調(diào)性可得 x > -1，所以選 B。

此題的考點(diǎn)是解不等式。分析題意，不能直接解此不等式，所以可以考慮構(gòu)造函數(shù)。再看題設(shè)所給條件，便知可先用求導(dǎo)來(lái)判定函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性使自變量間的大小關(guān)系與函數(shù)值之間的大小關(guān)系，得出不等式的解集。此題看似考不等式，其實(shí)它是考查函數(shù)單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用。它既考查了求導(dǎo)，又考查了函數(shù)單調(diào)性的判定。做這樣的題許多學(xué)生不知靈活運(yùn)用題目中所給信息，導(dǎo)致做題受阻。

例 2（2010 年，遼寧卷，21 題）已知函數(shù) f（x）=（a+1）·1nx+ax2+1。

（1）討論函數(shù) f（x）的單調(diào)性；

（2）設(shè) a<-1，如果對(duì)任意 x1，x2∈（0，+∞），│f（x1）-f（x2）│ 4│x1-x2│，求 a 的取值范圍。

題（1）是討論函數(shù)的單調(diào)性。關(guān)于討論函數(shù)的單調(diào)性，首先確定其定義域。此題我們一眼就可看出它的定義域，即 x∈（0，+∞），接下來(lái)對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，即 。因?yàn)?a 的取值范圍影響了 的正負(fù)，所以要對(duì) a 的取值范圍進(jìn)行討論。當(dāng) a0 時(shí)，有 >0，所以 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增。當(dāng) a-1 時(shí)，<0，故 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減。當(dāng) -10；當(dāng) 時(shí)，有<0；所以 f（x）在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減。題（2）給出了條件 a﹤-1，不妨假設(shè) x1x2，根據(jù)（1）知 f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，從而任意的 x1，x2∈（0，+∞），│f（x1）-f（x2）│4│x1-x2│，等價(jià)于任意 x1，x2∈（0，+∞），+4f（x2） f（x1）+4x1；我們不妨令 g（x）= f（x）+4x，所以 g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，得 +2ax+40，從而 。故 a 的取值范圍為（-∞，2]。

此大題包含了兩個(gè)小題，這兩個(gè)題看似沒(méi)有什么關(guān)聯(lián)，題（1）是討論函數(shù)的單調(diào)性，題（2）是求參數(shù) a 的取值范圍，其實(shí)不然。根據(jù)題（1）得出的結(jié)論：當(dāng) a-1時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，題（2）就要利用這個(gè)條件得出等價(jià)變換，從而將題（2）的條件簡(jiǎn)單化，最后得出結(jié)果。所以兩個(gè)小題是一題緊扣一題。對(duì)于此類題型，考生容易忽視兩點(diǎn)：第一，函數(shù)的定義域。忽視此點(diǎn)會(huì)造成單調(diào)區(qū)間不是定義域子集的錯(cuò)誤。第二，題與題之間的聯(lián)系。此題如果學(xué)生忽視題（1）得出的結(jié)論，就會(huì)造成無(wú)從下手或是浪費(fèi)大量的時(shí)間去討論去絕對(duì)值后正負(fù)的問(wèn)題，浪費(fèi)大量的時(shí)間。

根據(jù)上面的兩個(gè)例題，我們可以看出，并不全是一個(gè)題考查一個(gè)考點(diǎn)，考點(diǎn)與考點(diǎn)間是相互聯(lián)系的，掌握這樣的規(guī)律后，就會(huì)降低解題的難度，同時(shí)節(jié)約做題的時(shí)間。

三、函數(shù)單調(diào)性在中學(xué)教學(xué)中的特點(diǎn)

在教學(xué)中，函數(shù)的單調(diào)性是研究當(dāng)自變量 x 變化時(shí)，它的函數(shù)值 f（x）的變化情況。進(jìn)入高一后，課本就明確給出了函數(shù)單調(diào)性的定義，這是研究具體函數(shù)單調(diào)性的依據(jù)。從圖形上觀察，從左到右，圖象上升，則函數(shù)是單調(diào)遞增的；圖象下降，則函數(shù)是單調(diào)遞減的。如果從這個(gè)角度來(lái)描述函數(shù)單調(diào)性的特征，學(xué)生并不難理解，難理解的是把具體函數(shù)單調(diào)性的特征抽象出來(lái)，如何用含數(shù)學(xué)符號(hào)的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述，即在函數(shù)的定義域內(nèi)任意的 x1，x2，且 x1x2），有 f（x1）< f（x2）（或 f（x1）> f（x2）），則說(shuō)明函數(shù)是單調(diào)增加的，即圖象是上升的；若 f（x1）> f（x2）或（f（x1）< f（x2）），則函數(shù)是單調(diào)遞減的，即圖象是下降的。學(xué)生可根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，通過(guò)練習(xí)來(lái)理解。

通過(guò)以上對(duì) 2009—2011 年高考題的分析及對(duì)函數(shù)單調(diào)性的判定和應(yīng)用的分析，要想正確理解函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用，可以從這幾點(diǎn)入手。首先，要熟悉函數(shù)單調(diào)性判定的幾種方法，其中定義法和導(dǎo)數(shù)法是常用的方法；其次，一般關(guān)于函數(shù)單調(diào)性的考慮，都會(huì)聯(lián)系到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，所以對(duì)導(dǎo)數(shù)也應(yīng)該了解；再次，在解決有關(guān)不等式方面時(shí)，最常用的方法是構(gòu)造函數(shù)，然后對(duì)新函數(shù)求導(dǎo)，再根據(jù)其單調(diào)性來(lái)解決問(wèn)題；最后，對(duì)函數(shù)的定義域不能忽視，以免造成單調(diào)區(qū)間不是定義域的子集的錯(cuò)誤。

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（責(zé)編 盧建龍）