互耦效應對不同陣列流型相關性的影響

楊穎，李偉東，薛翠薇，朱秋明,，廖志忠，陳小敏

（1.南京航空航天大學，江蘇 南京 210016；2.中興通訊股份有限公司，廣東 深圳 518057;3.中國空空導彈研究院，河南 洛陽 471009）

1 引言

大規模多輸入多輸出（massive multiple-input multiple-output，massive MIMO）技術能夠成倍地提高MIMO系統的通信容量和頻譜資源利用率，已成為未來5G關鍵技術之一[1-3]。同時，智能終端設備體積越來越小，天線數目的增加將直接導致天線間距進一步減小。天線間距的減小，不僅會增加各天線之間的相關性，同時互耦效應變得顯著，從而進一步影響天線空間相關性及系統性能[4-5]。

針對不同陣列流型的天線相關性，參考文獻[6]推導了到達角服從拉普拉斯分布時，圓陣、線陣的天線相關性閉式解，并指出當線陣間距與圓陣半徑相等時，圓陣相關性更小。參考文獻[7]研究了入射角服從均勻分布時，不同角度擴展、角度均值對線陣及圓陣的天線空間相關性的影響。參考文獻[8]推導了當入射角服從任意分布時，圓陣列的空間相關性通用表達式。參考文獻[9]則針對任意角度譜，提出一種基于角度域脈沖采樣的空域相關性近似算法。針對考慮互耦效應情況，參考文獻[10]研究了天線耦合的影響機理，并推導了互阻抗、耦合矩陣的計算表達式。李忻等人[11]研究了互耦效應對平行線陣的影響，結果表明：互耦效應在特定情況下可能會降低陣列天線相關性。參考文獻[12]進一步研究分析了拉普拉斯、均勻分布時互耦對圓型陣列空間相關性的影響情況，而參考文獻[13]則分析了互耦對四元方陣空間相關性及信道容量的影響，并得出方陣具有良好的互補性、性能更優的結論。在此基礎上，周杰等人[14]進一步針對三維空間域下的線陣、圓陣和面陣，推導了均勻分布和高斯分布時三者的空間相關性閉式解，并指出圓陣比線陣具有更好的抗互耦能力[14]。參考文獻[15]則針對小角度擴展場景，分析了互耦對線陣、圓陣和面陣3種不同陣列流型空域相關性的影響。

基于上述研究，本文將針對更為通用的 Von Mises到達角分布，詳細推導任意數目線陣、圓陣和面陣3種陣列流型的天線空間相關性通用閉合表達式，并分析耦合因素對天線相關性的影響情況，最終推導獲得互耦效應下的空間相關系數表達式。

2 多天線系統模型

實際散射環境下，到達接收端的電波信號具有非全向性以及非均勻性的特點，從而導致不同位置的天線陣元接收信號具有不同程度的空間相關性。圖1以線性天線陣列接收系統為例給出了電波信號入射模型，其中，0φ是散射體的到達角均值，Δφ是散射體的角度擴展。

圖1 多天線系統模型

N天線接收信號矢量可表示為：

其中，表示各天線增益，為天線陣列流型矢量。第k根天線平均接收功率可表示為：

根據定義，第k根與第i根天線之間的空間互相關系數可表示為：

其中，P()φ表示到達波的功率角度譜。

目前較為常見的分布有均勻分布、高斯分布、拉普拉斯分布、余弦分布等，但Von Mises分布具有更強的靈活性[16]，能夠更好地描述接收信號到達角的空間分布，且可近似模擬余弦、截尾高斯等分布，故被廣泛應用于無線信道建模。其概率密度函數為：

其中，κ因子表示角度譜的集中程度，I0(k)為第一類零階修正貝塞爾函數。當κ=0時，該分布即全向均勻分布；當κ值較小時，與cosnα分布接近；當κ值較大時，與高斯分布非常接近。

圖2仿真給出了κ=14.590 3、22.797 3、51.293 8情況下的 Von Mises理論分布，它們分別對應WINNER模型不同場景基站端的角度譜分布[17]。其中，κ=14.590 3對應市區微蜂窩場景；κ=22.797 3對應市區室內熱點區場景；κ=51.293 8對應市區宏蜂窩場景。

圖2 不同κ值Von Mises分布

3 不同陣列流型相關性推導

3.1 3種陣列流型

本文主要針對均勻線型陣列（uniform linear array，ULA）、均勻圓型天線陣列（uniform circular array，UCA）和均勻面型陣列（uniform rectangular array，URA）3種流型陣列。圖3分別給出了3種陣列流型的模型，ULA的導引矢量可表示為：

其中，N為接收端天線陣元數量，Δd為天線陣元間距，λ為入射信號波長，[]T?為轉置矩陣。UCA的導引矢量可表示為：

其中，為第n個天線單元的單位方位角。對于N×M陣元的URA天線陣列，其導引矢量為：

其中，運算符vec(·)可以將N×M的矩陣變換為的列矢量。

圖3 不同天線陣列流型示意

為使下文推導得到的相關系數具有通用性，適用于任意天線陣列的空間相關性計算。首先將上述3種陣列任意兩個陣元之間的矢量均表示為。對于線型陣列，；對于圓型陣列，對于面型陣列，

3.2 空間相關系數通用表達式

根據相關系數定義，假設天線接收信號的功率歸一化，任意兩個天線陣元k、i的空間相關系數可表示為：

若到達角服從Von Mises分布，令變量代換x=φ+γ，則積分區間變為記式（8）可進一步推導為：

利用三角函數的傅里葉級數展開式[18]：

式（9）可簡化為：

同理：

其中，表示第一類n階Bessel（貝塞爾）函數，表示第一類n階修正貝塞爾函數。

因此，式（8）最終可化簡為：

式（15）可用于評估不同陣列的空間相關系數。另外，實際傳播環境下，到達接收端的電波信號角度擴展通常都比較小，比如3GPP標準公布的郊區宏蜂窩、市區宏蜂窩、市區微蜂窩3種場景下基站端信號角度擴展約小于5°[12]，WINNER 模型提供的角度擴展參數一般也比較小[17]。據此可以對上述結果進行簡化，首先將式（8）改寫為：

令假定ν值很小，則式（16）可進一步化簡為：

3.3 數值仿真分析

3GPP信道標準將移動通信場景主要分為郊區宏蜂窩、市區宏蜂窩和市區微蜂窩3種[12]，其中郊區宏蜂窩的角度擴展為 5o，市區宏蜂窩的角度擴展為 8o和 1 5o，市區微蜂窩的角度擴展為19o。根據Von Mises分布及角度擴展定義，可得：

利用式（18）可獲得不同場景下對應的κ值。當角度擴展較小時，二者關系近似可表示為：

所以，上述4種不同角度擴展對應的κ值分別為131、51、14、9。圖4分別仿真了不同場景下各陣列流型的空間相關系數模值隨歸一化天線間距的變化情況。結果表明：3種陣列相關系數的近似表達式和解析式曲線基本吻合，驗證了前文推導的閉式解和近似解的正確性；3種不同陣列流型布局相比，線型陣列相關性最大，大于圓型陣列，面型陣列相關性最小；在郊區宏蜂窩場景下的角度擴展小，近似表達式和解析式的誤差較小，在市區微蜂窩場景下的角度擴展大，近似表達式和解析式的誤差較大。

4 互耦效應影響分析

4.1 互耦效應對接收信號影響

當天線距離很近時，每個陣元上接收的電壓信號感應出的電流信號，會激勵出一個新磁場，并影響相鄰陣元上的信號，導致天線陣列中的天線方向圖發生畸變，即互耦效應。圖5給出了接收端互耦等效網絡模型，為天線阻抗（自阻抗），為負載阻抗，為天線陣列端口電壓，為負載電壓，Z為互阻抗矩陣。

圖4 不同陣列流型天線相關性模值

圖5 接收端互耦等效網絡模型

由于互耦效應使陣列天線信號之間發生串擾，考慮互耦因素的接收信號矢量，用C表示，可改寫為：

其中，C為互耦矩陣。對于任意陣列流型，假設各天線特性相同、負載阻抗相等，互耦矩陣可由式（21）計算獲得[10]：

其中，ZL表示負載阻抗矩陣，Z為互阻抗矩陣。Z中任意兩天線k、i的互阻抗可進一步由式（22）計算：

其中，為天線長度，積分函數Ci(x)、Si(x)可表示為：

針對圖 3中 3種陣列流型布局（N=16，假設各陣元均為歸一化的全向半波偶極子天線，天線長度。圖 6給出了考慮互耦因素情況下，天線1接收信號矢量的模值，表示不考慮互耦的接收信號矢量模值。可以看出，不考慮互耦時的信號矢量模值恒為1；考慮互耦時，線型陣列增益失真最嚴重，其次為圓型陣列，且值均小于1，面型陣列增益失真最小，且部分增益值大于1。

4.2 互耦效應對相關性影響

互耦效應使負載電阻所接收到的電壓改變，進而影響陣列天線的接收功率及空間相關性。互耦效應下任意天線陣列的天線單元接收功率為：

根據式（20）可得：

其中，Ckn表示互耦矩陣C的第行，因此式（24）可進一步推導為：

其中，ρn,m（上標 L/C/R省略）表示無互耦效應下任意兩個天線的相關性。進一步，根據式（3）及式（26）最終可推導獲得考慮互耦效應時，任意天線陣列的天線相關性（省略上標L/C/R）為：

其中，為：

圖6 互耦效應對陣列信號矢量模值影響

假設到達角譜服從Von Mises分布，角度擴展為 1 80o，角度均值為 3 0o，圖7仿真比較了在不同場景下考慮耦合與不考慮耦合時天線陣列相關性隨歸一化距離的變化情況。從圖7中可以看出：考慮互耦時的相關性圍繞無互耦時的相關性曲線上下波動，互耦效應在一定程度上降低了不同陣列天線的空間相關性；當天線間距增大到足夠大時，互耦效應對陣列天線相關性幾乎沒有影響；當κ值很大時，互耦效應對相關性影響較小。

圖7 耦合效應對空間相關性的影響

圖8進一步仿真比較了耦合與無耦合情況下，3種天線陣列相關性隨歸一化距離的變化情況。從圖8中可以看出：對于3種不同陣列流型，互耦效應均在一定程度上減小了其相關性；針對本文的天線布置，互耦效應對線型陣列相關性影響最大，其次為圓型陣列，對面型陣列影響最小。

圖8 互耦效應對不同陣列相關性影響分析

5 結束語

本文假設入射信號角度譜服從 Von Mises分布，推導給出了任意數目線型、圓形和面型3種流型陣列的天線空間相關系數通用閉合表達式和近似表達式。在此基礎上，通過研究分析互耦效應對陣列接收信號矢量的影響，推導獲得了綜合互耦因素的不同陣列天線空間相關系數的閉式解，并將其應用于3GPP信道標準傳播場景。通過本文的研究可得出結論：對于天線面積受限的場合，面型布局的多天線系統可獲得更佳的性能。該發現對天線陣列流型及陣元位置優化設計具有重要意義。后續筆者將進一步研究三維場景下不同陣列流型的天線空域相關性及互耦效應對其的影響。

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