三次數學危機

申世林

摘 要：數學史是一部漫長的歷史，每一次危機都會帶來不同程度的變革。迄今為止，數學史中發生了三次數學危機，都在不同程度上推動了數學的發展。第一次數學危機對現在幾何的發展產生了重大的影響；第二、三次危機則直接關聯著我國數學分析的發展。綜上所述，三次數學危機對數學發現的影響是其他歷史事件所不能比擬的。從世界范圍來說，三次數學危機產生的新內容都極大地推動了數學的發展。

關鍵詞：數學危機 數學發展 中國近現代數學

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1003-9082（2018）05-0-01

一、引言

不同的歷史發展階段，人們的認識是不同的，數學也不例外。由于人類的思維在不同階段有一定的相對性和局限性，因此，如果一種數學現象不能用當時的數學理論解釋，而且影響到了數學基礎，我們便認為這就是數學危機。數學中有許多矛盾，比如加法與減法、微分與積分、實數與虛數等等。我們可以把數學史的發展認為是一個矛盾斗爭的開始、斗爭的激化以及解決的過程。

二、三次數學危機

1.第一次數學危機

第一次數學危機是希臘的畢達哥拉斯的悖論。當時人們一直認為一切事物都可以用整數或者整數比來表示。但是這一信條卻遭到了質疑，在勾股定理的應用中，一些直角三角形的斜邊不能被表示為整數或者整數比。這一悖論觸犯了畢達哥拉斯的根本信條，導致了畢達哥拉斯關于數的信條的崩裂，甚至關于以數為基礎模型的破產，所以被稱為“第一次數學危機”。

這次數學危機表明，在幾何中的某些真理和算術是不相關的，幾何量并不是完全可以由整數或者整數比表示出來的。這次數學危機使整數權威的地位被動搖，與此同時，幾何的地位逐漸升高。數學家們通過對第一次數學危機的研究，給我們帶來了無理數，并且提出了一個含有有理數和無理數的數類，稱之為實數，并建立了一套完整的實數理論?？偟膩碚f，第一次數學危機為數學的發展作出了不朽的貢獻。

2.第二次數學危機

17世紀末，牛頓和德國數學家萊布尼茲首先創造了微積分，形成了微積分學。由于當時沒有具體嚴密的理論，只有方法，所以很多漏洞頻頻出現。英國哲學家貝克萊將矛盾直接指向了無窮小問題。牛頓等人不能自圓其說，在當時引起了激烈的影響，被稱為是“第二次數學危機”。

第二次數學危機的出現讓數學家們感受到了咄咄逼人的氣勢，數學家們不得不設法解決這個無窮小的問題。法國數學家柯西起了舉足輕重的作用，他建立了極限理論，并且提出了“無窮小量是以零為極限但永遠不為零的變量”，為微積分在極限理論上奠定了堅實的基礎。對于悖論問題的產生以及解決，使得數學理論體系得到不斷的發展，可以說危機在一定程度上是推動數學發展的主要動力。

3.第三次數學危機

與前兩次數學危機有所不同的是，第三次數學危機的出現是由于突然的沖擊出現的。英國數學家羅素的“羅素悖論”涉及某理發師的具體困境，當時的理發師稱自己給所有不給自己刮臉的人刮臉，并且只限自己本村。于是人們就非常疑惑，“理發師是否可以給自己刮臉呢？”如果按照理發師自己宣稱的原則就應該可以為自己刮臉。如果他不能為自己刮臉，那么他就連自己宣稱的規則也不能夠符合。此悖論的出現動搖了整座數學大廈，而且是絕無僅有的。羅素認為人們如果想要消除惡性循環的原理，就必須遵循一個原理，即涉及一個整體的對象時，那么他本身就不應該是該集體的成員。于是，羅素提出了撼動整個數學圈的分支類型論，并得到了很多數學家的一致贊同，最終共同形成了一個完整的集合論公理體系。此理論的出現不僅消除了羅素悖論，同時消除了集合論的其他悖論。從此之后，第三次數學危機便銷聲匿跡了。

三、三次數學危機折射的數學思想

三次數學危機不僅是數學史上的關鍵點，而且在危機中所產生的哲學思想對我們也有很大的啟發作用。數學思想一向堅持清晰易懂的原則，清晰易懂的數學問題也更能吸引人們的興趣，復雜的問題則可能會使得人們望而卻步。通往真理的道路注定是一條曲折的道路，但是其背后隱藏的真理卻是指引我們前進的明燈。三次數學危機不僅撼動了整個數學的發展過程，它所產生的數學思想也是非常重要的。數學危機所帶來的思想使得數學具有多樣性，給數學的發展帶來了不少的豐功偉績。

四、從我國發展看數學危機

我國的數學危機伴隨著中國人民共和國的誕生出現了生機勃勃的景象，這是我國社會主義建設的必然要求，同時也是我們黨和國家高度重視的科學技術成果。我國在1950年開始籌建數學研究所，匆匆兩年的時間，在1952年就正式成立。我們不得不承認，數學對我們現代生活的影響是與日俱增的。在現今的生活中，數學滲透在我們工作生活的方方面面。所以說，數學的普及無論是對于數學家來說，還是對于臥鋪普通民眾來說都是需要引起重視的課題。

五、總結

三次數學危機對數學的影響是巨大的，第一次數學危機使得古希臘的數學基礎產生了根本性的變化，第二次數學危機柯西指出了無窮小量和無窮大量都是變量，而且還定義了導數和積分，第三次數學危機建立了實數理論，并且在實數理論的基礎上建立了極限理論。依賴于數學危機，公理化方法和數理邏輯等很多新穎的學科都被建立起來。不管是我國還是世界的發展都離不開三次數學危機所產生的新內容。

參考文獻

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