例談排列組合中的典型問題與方法

■廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波 劉宇峰

排列組合是高考的熱點(diǎn),也是學(xué)好概率的基礎(chǔ)。以排列組合為考點(diǎn)的考題融知識性、方法性、應(yīng)用性、趣味性于一體,且題型新穎、方法靈活,因此不少同學(xué)感到困難。基于此,下面從題型與方法入手,通過典型例題總結(jié)出求解排列組合問題的常見解題方法和策略,以幫助同學(xué)們提高學(xué)習(xí)效率,達(dá)到舉一反三的效果。

一、兩個計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用

分類加法計(jì)數(shù)原理是每類做法中的每一種方法都能完成這件事情,類與類之間是獨(dú)立的。分步乘法計(jì)數(shù)原理是每步中的某一種方法只是完成這件事的一部分,而未完成這件事,步與步之間是相關(guān)聯(lián)的。

例1 (1)現(xiàn)有4種不同顏色的染料,給如圖1的4個不同區(qū)域染色,每個區(qū)域只染1種顏色,相鄰區(qū)域染不同的顏色,不同顏色可重復(fù)使用,則共有 種不同的染色方法。(用數(shù)字作答)

(2)某微信群中有甲、乙、丙、丁、戊5個人玩搶紅包游戲,現(xiàn)有4個紅包,每人最多搶1個,且紅包被全部搶完,4個紅包中有2個2元,1個3元,1個4元(紅包中金額相同視為相同紅包),則甲、乙都搶到紅包的情況有 種。

圖1

解析:(1)第一類:只用2種色(即中間三角形染一種顏色,另外三個弓形染同一種顏色),有A24種方法;第二類:用3種色(中間一種顏色,另三個弓形有兩個染同一種顏色,余下一個染第3種顏色),有種方法;第三類:用4種色,有種方法。

故共有=108(種)方法。

(2)當(dāng)甲、乙都搶到2元時,有=6(種)方法;當(dāng)甲、乙搶到2元和3元時,有=12(種)方法;當(dāng)甲、乙搶到2元和4元時,有=12(種)方法;當(dāng)甲、乙搶到3元和4元時,有=6(種)方法。故甲、乙都搶到紅包的情況有6+12+12+6=36(種)。

點(diǎn)評:合理分類與準(zhǔn)確分步是運(yùn)用計(jì)數(shù)原理正確解答排列組合問題的第一步。在解決含有約束條件的排列組合問題時,應(yīng)該按照元素性質(zhì)有計(jì)劃地分類,按事情發(fā)生的過程分步。

【變式訓(xùn)練1】(1)將4本完全相同的小說,1本詩集全部分給4名同學(xué),每名同學(xué)至少1本書,則不同分法有( )。

A.24種 B.28種

C.32種 D.16種

(2)某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游,其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名,分乘甲、乙兩輛汽車,每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置),其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車,則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一年級的乘坐方式共有( )。

A.24種 B.18種

C.48種 D.36種

解析:(1)由題意得,每名同學(xué)至少1本書,可分為兩類方法:第一類是每名同學(xué)先各分得1本小說,再把1本詩集分給其中一名同學(xué),共有C14=4(種)分法;第二類是把詩集單獨(dú)分給一名同學(xué),2本相同的小說分給另一名同學(xué),共有A24=12(種)分法,此時共有4+12=16(種)分法,故選D。

(2)分類討論,有兩種情形:①孿生姐妹乘坐甲車 ,則=12;②孿生姐妹不乘坐甲車,則=12。因此,共有12+12=24(種)坐法。故選A。

二、特殊位置（元素）優(yōu)先法

特殊位置或元素優(yōu)先法是解決排列組合問題最常用也是最基本的方法,若以元素分析為主,需先安排特殊元素,再處理其他元素。若以位置分析為主,需先滿足特殊位置的要求,再處理其他位置。若有多個約束條件,往往是考慮一個約束條件的同時還要兼顧其他條件。

例2 (1)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為( )。

A.24 B.48 C.60 D.72

(2)6位互聯(lián)網(wǎng)大咖參加在烏鎮(zhèn)舉辦的第二屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會時從左至右排成一排合影留念,若最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,則不同的排法共有____種。

解析:(1)由題意知,要組成沒有重復(fù)的五位奇數(shù),則個位數(shù)應(yīng)該為1、3、5中之一,其他4個位置隨便排共A44種可能,所以奇數(shù)的個數(shù)為3A44=72,故選D。

(2)由于甲和乙比較特殊,故可優(yōu)先排甲和乙,依題意可分成兩類:甲在最左端或乙在最左端。第一類甲在最左端,有A55=120(種)排法;第二類乙在最左端,有=96(種)排法,所以共有120+96=216(種)排法。

點(diǎn)評:對于有附加條件的排列組合問題,一般優(yōu)先考慮特殊的元素或位置。針對元素的特殊位置進(jìn)行分析,需要條理清晰,并考慮周全。

【變式訓(xùn)練2】用數(shù)字0,1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中比40000大的偶數(shù)共有( )。

A.144個 B.120個

C.96個 D.72個

解析:萬位不能為0,位置比較特殊,故可先排萬位,根據(jù)題意知萬位上只能排4或5。若萬位上排4,則有2×A34個偶數(shù);若萬位上排5,則有3×A34個偶數(shù)。所以共有2×A34+3×A34=120(個)偶數(shù),故選B。

三、正難則反間接法

有些排列組合問題,正面考慮比較復(fù)雜,而它的反面比較簡捷,可先求出它的反面,再從整體中淘汰。

例3 (1)甲乙兩人從4門課程中各選修2門,則甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有( )。

A.30種 B.36種

C.60種 D.72種

(2)安排甲、乙、丙、丁4位教師參加星期一至星期六的值日工作,每天安排1人,甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,并且丁至少要有2天連續(xù)安排,則不同的安排方法種數(shù)為( )。

A.72 B.96 C.120 D.156

解析:(1)因?yàn)榧滓覂扇藦?門課程中各選修2門,有種選法,其中甲乙所選的課程完全相同的選法有種,所以甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有=30(種),故選A。

(2)可用間接法,若甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,有=120(種)安排方法;若甲、乙、丙每人安排1天,丁安排3天,并且丁3天值日且沒有連續(xù)值日的安排種數(shù)為=24。則不同的安排方法種數(shù)為120-24=96,故選B。

點(diǎn)評:辯證思維就是正難則反,變靜為動,從而化難為易。如果不符合條件的元素較少而且較易選出來,宜采用間接法。

【變式訓(xùn)練3】(1)在報(bào)名的5名男生和4名女生中,選取5人參加志愿者服務(wù),要求男生、女生都有,則不同的選取方式的種數(shù)為____。(結(jié)果用數(shù)值表示)

(2)學(xué)校計(jì)劃利用周五下午第一、第二、第三節(jié)課舉辦語文、數(shù)學(xué)、英語、理綜4科的專題講座,每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,且數(shù)學(xué)、理綜不安排在同一節(jié),則不同的安排方法共有( )

A.36種 B.30種

C.24種 D.6種

解析:(1)從這報(bào)名的5名男生和4名女生中,選取5人參加志愿者服務(wù)共有C59=126(種)方法,這些方法中只有男生的選取方法種數(shù)為=1。因?yàn)榕挥?名,所以不可能選取的學(xué)生都是女生。故在報(bào)名的5名男生和4名女生中,選取5人參加志愿者服務(wù),要求男生、女生都有,不同的選取方式的種數(shù)為126-1=125。

(2)由于每科一節(jié)課,每節(jié)至少有一科,必有2科在同一節(jié),先從4個中任選2個看作整體,然后做3個元素的全排列,共=36(種)方法,再從中排除數(shù)學(xué)、理綜安排在同一節(jié)的情形,共A33=6(種)方法,故總方法數(shù)為36-6=30,故選B。

四、相鄰問題捆綁法

要求某幾個元素必須排在一起的問題,可以用捆綁法解答,即將需要相鄰的元素合并為一個元素,再與其他元素一起進(jìn)行排列,同時注意合并元素內(nèi)部也必須排列。

例4 (1)甲、乙、丙、丁、戊5位同學(xué)站成一排照相留念,則在甲、乙相鄰的條件下,甲、丙也相鄰的概率為( )。

(2)含有甲、乙、丙的6位同學(xué)站成一排,則甲、乙相鄰且甲、丙2人中間恰有2人的站法的種數(shù)為( )。

A.72 B.60 C.32 D.24

解析:(1)5位同學(xué)站成一排,甲、乙相鄰排法共有=48(種),而在甲、乙相鄰的條件下,甲、丙也相鄰的排法共有=12(種),所以在甲、乙相鄰的條件下,甲、丙也相

(2)由題知關(guān)于甲、乙、丙3人的相對位置共有以下四類站法:乙甲**丙,丙**甲乙,甲乙*丙,丙*乙甲,前兩類在排好這5人后可看作一個整體和剩余1人進(jìn)行排列,均有種方法,后兩類在排好這4人后可看作一個整體和剩余2人進(jìn)行排列,均有種方法,所以共有=60(種)方法,故選B。

點(diǎn)評:對于相同類別不可分開的,要先進(jìn)行捆綁。處理此類問題時一般遵循“先整體,后局部”的原則。

【變式訓(xùn)練4】(1)甲、乙、丙等5人在參加閱兵慶典后,在天安門廣場排成一排拍照留念,甲和乙必須相鄰的排法有( )種。

A.24 B.48 C.72 D.120

(2)從字母a,b,c,d,e,f中選出4個排成一列,其中一定要選出a和b,并且必須相鄰(a在b的前面),共有( )排列方法。

A.36種 B.72種

C.90種 D.144種

解析:(1)先排甲、乙,共有=2(種)方法,再把甲、乙作為一個整體看成一個元素,與其余3人進(jìn)行排列,共有=24(種)方法。

故共有2×24=48(種)排法,選B。

(2)分兩步進(jìn)行:第一步從c,d,e,f中任選2個,有種不同的方法;第二步再將選出的2個字母和a,b排成一列,a,b必須相鄰,有種不同的方法。共有=36(種)不同的方法,故選A。

五、不相鄰問題插空法

在排序問題中,經(jīng)常涉及某些元素不相鄰問題。解決這類問題,可先將其他元素排好,再將不相鄰元素插空到已排好的元素中。

例5 (1)某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言,要求甲、乙2人至少有1人參加,當(dāng)甲、乙同時參加時,他們兩人的發(fā)言順序不能相鄰,那么不同的發(fā)言順序的種數(shù)為 ( )。

A.360 B.520 C.600 D.720

(2)在高三某班進(jìn)行的演講比賽中,共有5位選手參加,其中3位女生,2位男生,如果2位男生不能連續(xù)出場,且女生甲不能排第一個,那么出場順序的排法種數(shù)為____。

解析:(1)甲、乙2人只有1人參加,有=480(種)情況,甲、乙2人都參加可用插空法,有=120(種)方法,共480+120=600(種)方法,選C。

(2)2位男生不能連續(xù)出場的排法種數(shù)為=72,其中2位男生不能連續(xù)出場且女生甲排第一個的排法種數(shù)為=12,則2位男生不能連續(xù)出場且女生甲不能排第一個的排法種數(shù)為72-12=60。

點(diǎn)評:從解題過程可以看出,不相鄰問題是指要求某些元素不能相鄰,由其他元素將其隔開,此類問題可以先將其他元素排好,再將特殊元素插入。

【變式訓(xùn)練5】(1)某濱海城市原計(jì)劃沿一條濱海大道修建7個海邊主題公園,現(xiàn)在由于資金的原因,打算減少2個海邊主題公園,若兩端的海邊主題公園不在調(diào)整計(jì)劃之列,相鄰的兩個海邊主題公園不能同時調(diào)整,則調(diào)整方案的種數(shù)是( )。

A.12 B.8 C.6 D.4

(2)高三某班課外演講小組有4位男生,3位女生,從中選拔出3位男生和2位女生,然后5人在班內(nèi)逐個進(jìn)行演講,則2位女生不連續(xù)演講的方式有( )。

A.864種 B.432種

C.288種 D.144種

解析:(1)從7個海邊主題公園中抽走2個與在5個空中插入2個是等價(jià)的,故本題可轉(zhuǎn)化為在原有5個海邊主題公園的基礎(chǔ)上插入2個海邊主題公園,要求不能插在兩端,也不能把兩個海邊主題公園同時插入一處,也就是在5個海邊主題公園的4個空中選2個插入,則方法有=6(種),選C。

(2)從該班課外演講小組中選出3位男生,2位女生,共有=12(種)方法,所選的5人先確定3位男生的順序,共有=6(種)方法,3位男生可形成4個空位,可選出2個空位確定這2位女生的順序,共有=12(種)方法,因此,共有12×6×12=864(種)方法,選A。

六、選排混合先選后排法

排列問題與組合問題混在一起時,應(yīng)先用組合公式將符合題意元素選出,再應(yīng)用排列公式進(jìn)行排列。

例6 (1)從6名女生中選4人參加4×100米接力賽,要求甲、乙2人至少有1人參賽,如果甲、乙2人同時參賽,她們的接力順序就不能相鄰,不同的排法種數(shù)為( )。

A.144 B.192 C.228 D.264

(2)某班要從A,B,C,D,E5人中選出3人擔(dān)任班委中三種不同的職務(wù),則上屆任職的A,B,C3人都不連任原職務(wù)的方法種數(shù)為( )。

A.30 B.32 C.36 D.48

解析:(1)若甲、乙只有1人參賽則有=192(種)排法。若甲、乙都參賽,則=72(種)排法。因此,共有192+72=264(種)排法,選D。

(2)共5人,從中選出3人擔(dān)任職務(wù),則A,B,C3人至少選中1人,應(yīng)分三種情況。第一種情況,A,B,C3人都入選,A有2種選擇,余下的B和C只有1種選擇,方法共=2(種)。第二種情況,A,B,C3人只有2人入選,假如選中A,B,先安排A,若A安排的是B原來的職務(wù),則剩余2人隨意安排;若A安排的是C原來的職務(wù),則B只有1種安排方法,因此共有+1)=18(種)方法。第三種情況,A,B,C3人只有1人入選,則D,E必選中,假如選中A,先安排A,有2種選擇,剩下的2人D,E隨意安排,共有=12(種)方法。所以共有2+18+12=32(種)方法,故選B。

點(diǎn)評:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素,再安排到一定位置上,可用先選后排的方法。解決這類問題需要同學(xué)們不但有扎實(shí)的基本功,還要有分析問題和解決問題的能力。

【變式訓(xùn)練6】某校從8名教師中選派4名教師去4個邊遠(yuǎn)地區(qū)支教,每地1人,其中甲和乙不能同去,甲與丙同去或者同不去,則不同的選派方案有____種。(用數(shù)字作答)

解析:分甲去和甲不去兩類。若甲去,則丙同去,乙不能去,故有=10(種)選法,再安排到四個邊遠(yuǎn)地區(qū)有=24(種)方法,所以甲去有10×24=240(種)方法;若甲不去,則丙不去,故有=15(種)方法,再安排到四個邊遠(yuǎn)山區(qū)有=24(種)方法,所以甲不去有15×24=360(種)方法。

因此,共有240+360=600(種)不同的方法。

七、先分組再排列問題

例7 (1)某高校安排5名大學(xué)生到4個單位實(shí)習(xí),每名大學(xué)生去一個單位,每個單位至少安排1名大學(xué)生,則不同的安排方法的種數(shù)為____。(用數(shù)字作答)

(2)某校高三理科實(shí)驗(yàn)班有5名同學(xué)報(bào)名參加甲,乙,丙三所高校的自主招生考試,每人限報(bào)一所高校,若這三所高校中每個學(xué)校都至少有1名同學(xué)報(bào)考,那么這5名同學(xué)不同的報(bào)考方法種數(shù)共有( )。

A.144種 B.150種

C.196種 D.256種

點(diǎn)評:求解這類問題要注意是平均分組還是平均分組分配,還是部分平均分組,特別要關(guān)注是否有重復(fù)。

【變式訓(xùn)練7】數(shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成,現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成4組分別研究4個不同課題,且每組只研究一個課題,并要求每組選出1名組長,則不同的分配方案有( )種。

解析:第一步將12名同學(xué)平均分成4組種方法,每組有3人,第二步將這4組分配到4個不同的課題組有A44種方法,第三步每個組選出1名組長有3×3×3×3=34(種)方法,所以共有)不同的分配方案,選B。

八、元素相同隔板法

元素相同的 “至少”類型問題,是一類較為常見的題型,具有一般規(guī)律,總結(jié)如下:將其轉(zhuǎn)化為“至少1個”的問題,即將n個相同元素分成m份(n≥m,m、n為正整數(shù)),每份至少1個元素,可以用m-1塊隔板,插入n個元素排成一排的n-1個空隙中。

例8 (1)將7個相同的球放入4個不同的盒子中,則每個盒子都有球的放法種數(shù)為( )。

A.22 B.25 C.20 D.48

(2)將序號分別為1、2、3、4、5的5張參觀券全部分給4人,每人至少1張,如果分給同一人的2張參觀券連號,那么不同的分法種數(shù)是____。

解析:(1)將7個相同的球放入4個不同的盒子,即把7個球分成4組。因?yàn)橐竺總€盒子都有球,所以每個盒子至少放1個球,不妨將7個球擺成一排,中間形成6個空,只需在這6個空中插入3個隔板將它們隔開,即分成4組,不同的插入方法共有C36=20(種),故選C。

(2)將5張券排成一排,插入3塊隔板,這樣確保分成4份并且有2張券連號,則一共有C34種分法,再考慮將這4份分給4個人,則一共有C34A44=96(種)方法。

點(diǎn)評:本例(1)是使用隔板法的基本題型,對于 “至少”的問題利用隔板來構(gòu)造模型較為方便。本例(2)中5張券分給4人,1人得連號,那么用3個隔板分成4份就可以實(shí)現(xiàn),同時再對4份全排列,本例的參觀券雖是不同的,但在分組的時候可看成相同的以便于分組,故可用隔板法。所以對于較復(fù)雜的排列問題可以通過設(shè)計(jì)另一種情境,構(gòu)造隔板模型解決問題。

【變式訓(xùn)練8】有10個三好學(xué)生名額,分配給高三年級7個班,每班至少1名,則不同的分配方案種數(shù)為____。(用數(shù)字作答)

解析:因?yàn)?0個名額沒有差別,把它們排成一排,相鄰名額之間形成9個空。在9個空中選6個位置插6個隔板,可把名額分成7份,對應(yīng)地分給7個班級,每一種插隔板方法對應(yīng)一種分配方法,所以共有C69=84(種)方法。