淺談排列組合問題的求解策略

■重慶市鐵路中學校 何成寶

排列組合問題聯(lián)系實際,注重能力與應用的考查,主要涉及化歸與轉化的思想和分類討論的思想。其題型多樣,思路靈活。下面通過實例介紹幾種常見的排列組合問題的求解策略,供同學們參考。

一、相鄰問題— —捆綁法

求解此類問題一般是將相鄰的幾個元素視為一個整體,把它視作一個“大”元素進行排列,故稱為捆綁法。

例1 6名同學排成一排,其中甲、乙兩人必須排在一起的不同排法有( )種。

A.720 B.360 C.240 D.120

解析:因甲、乙兩人要排在一起,故將甲、乙兩人捆在一起視作一人,與其余四人進行全排列有種排法;甲、乙兩人之間有種排法。由分步計數(shù)原理可知,共有=240(種)不同排法,故選C。

針對練習1:3個女生和5個男生排成一排,其中3個女生必須排在一起的不同排法有( )種。

A.2160 B.4320

C.1080 D.540

解析:因3個女生要排在一起,所以將3個女生視為一個人,與其余5個男生進行全排列,有種不同排法。對于其中的每一種排法,3個女生之間有種不同排法。所以由分步計數(shù)原理可知,共有=4320(種)不同排法,故選B。

二、不相鄰問題— —插空法

求解此類問題應先排好沒有限制條件的元素,再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙及兩端位置,故稱插空法。

例2 要排一張有6個歌唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目的演出節(jié)目單,任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰,有多少不同的排法?(只要求寫出式子,不必計算)

解析:先將6個歌唱節(jié)目排好,其不同的排法為種;在這6個歌唱節(jié)目的空隙及兩端共7個位置中再排4個舞蹈節(jié)目,有種排法。由分步計數(shù)原理可知,任何兩個舞蹈節(jié)目不得相鄰的排法為種。

針對練習2:由1,2,3,4,5,6組成沒有重復數(shù)字且1與2不相鄰的六位數(shù),可以組成____個。

解析:因為數(shù)字1與2不相鄰,故可用插空法。先排數(shù)字3,4,5,6,有種不同排法,每種排法留出五個空位,再將1,2插入,有種排法,所以由分步計數(shù)原理可知,共有=480(種)不同排法。

三、定位問題— —優(yōu)先法

當問題中有限制條件的元素或特殊位置時,應優(yōu)先將有限制條件的元素或位置排好,再考慮其他元素的排法。

例3 1名老師和4名同學排成一排照相留念,若老師不排在兩端,則共有多少種不同的排法?

解析一:優(yōu)先考慮特殊元素,先排老師,老師不排在兩端,只能從剩下的三個位置選一個,有種排法,然后4名同學站在另外4個位置,有種不同排法。由分步計數(shù)原理可知,共有=72(種)不同排法。

解析二:優(yōu)先考慮特殊位置,先排兩端,從4名同學中,選2人排兩端,有種不同排法,再排其余3個位置,有種不同排法。由分步計數(shù)原理可知,共有=72(種)不同排法。

針對練習3:計劃展出10幅不同的畫,其中1幅水彩畫、4幅油畫、5幅國畫,排成一行陳列。要求同一品種必須連在一起,并且水彩畫不放在兩端,那么不同的陳列方式有( )種。

解析:先把3種品種的畫看成整體,而水彩畫不能放在頭尾,故只能放在中間,則油畫與國畫有種放法,再考慮油畫之間與國畫之間又可以各自全排列,故總的排列的方法為種,故選D。

四、“至多”與“至少”問題— —直接法或間接法

含“至多”與“至少”的排列組合問題常有兩種解法:一種是直接法,即按題設條件分類,然后分類計算選法種數(shù);另一種是間接法,即先不考慮限制條件計算選法種數(shù),然后排除不符合條件的選法,即總體去雜。

例4 某小組共有10名學生,其中女生3名,現(xiàn)選舉2名代表,至少有1名女生當選的不同的選法有( )。

A.27種 B.48種C.21種 D.24種

解析一:(直接法)分類解決,顯然滿足題意的選法有2類。一類是1名女生,1名男生,選法有=21(種),另一類是2名女生,選法有=3(種),故至少有1名女生當選的不同選法有=24(種),故選D。

解析二:(間接法)先不考慮限制條件,10名學生選2名代表的選法有種,再去掉不合條件的,即2名代表全是男生的有種,故符合條件的選法共有=24(種)。

針對練習4:從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺,其中至少要甲型與乙型電視機各一臺,則不同的取法共有( )種。

A.140 B.80 C.70 D.35

解析:在被取出的3臺中,若不含甲型或不含乙型的抽取方法均不合題意,故符合題意的取法有=70(種),故選C。

五、選排問題— —先取后排法

對于從M個數(shù)中選N個數(shù),按照一定的順序排成一列,我們常常采用先取后排法解決此類問題。

例5 從1,3,5,7中選出2個不同的數(shù),從2,4,6,8中選出3個不同的數(shù),組成的五位數(shù)共有多少個?

解析:從1,3,5,7中選出2個不同的數(shù)有種選法,從2,4,6,8選出3個不同的數(shù)有種選法,然后將選出的5個數(shù)進行排列有種排法,依據(jù)分步計數(shù)原理,組成的五位數(shù)共有=2880(個)。

針對練習5:將4個不同的小球放入編號為1,2,3,4的4個盒子中,則恰有1個空盒的放法共有____種(用數(shù)字作答)。

解析:從4個不同的小球中任取2個“捆綁”在一起看成一個元素有種方法,從4個不同的盒中取其中的3個將球放入有種方法。所以一共有=144(種)方法。

六、組排問題— —先分組后排列法

對于組排問題,要分清是平均分組、不平均分組還是混合分組,還應注意是編號分組還是非編號分組,即組與組之間有無差別。此類問題一般應按先分組后排列的方法來解決。

例6 6本不同的書,按照以下要求處理,各有幾種分法?

(1)平均分成3組;

(2)分成3組,一組1本,一組2本,一組3本;

(3)分成3組,每組書的本數(shù)為1,1,4;

(4)平均分給甲、乙、丙三人。

解析:(1)為平均分組,且組與組無編號。先分第一組,有種,再分第二組有種,再分第三組有種,因同一種分組結果,按以上分法可以用種不同順序分出,故共有

(2)為不平均分組,先拿1個,再拿2個,最后3個為一組,所以共有=60(種)。

針對練習6:7個人參加義務勞動,按下列方法分組有多少種不同的分法?

(1)分成三組,分別為1人、2人、4人;

(2)選出5個人再分成兩組,一組2人,另一組3人;

(3)選出6個人,分成兩組,每組都是3人;

(4)選出2人一組、3人一組,輪流挖土、運土。

解析:(1)選出1人的方法有C17種,再由剩下的6個人中選出2人的方法有C26種,剩下的4人為一組有C44種,依分步計數(shù)原理得分組的方法有C=105(種)。

(2)可直接從7人中選出2人的方法有種,再由余下的5個人中選3人的方法有種,所以依分步計數(shù)原理,分組的方法有:=210(種)。

(3)選3人為一組有種,再選3人為另一組有種,依分步計數(shù)原理,又每2種分法只能算一種,所以不同的分法有70(種)。

(4)分組的方法有=420(種)。

七、多排問題— —單排法

把元素排成幾排的問題,可歸結為一排考慮,再分段處理。

例7 兩排座位,第一排有3個座位,第二排有5個座位,若8名學生入座(每人一個座位),則不同的坐法種數(shù)為( )。

解析:此題分兩排坐,實質上就是8個人坐在8個座位上,故有種坐法,故選D。

針對練習7:6個不同的元素排成前后兩排,每排3個元素,那么不同的排法種數(shù)是( )。

A.36 B.120 C.720 D.1440

解析:前后兩排可看成一排的兩段,因此本題可視為6個不同元素排成一排,共有=720(種)排法,故選C。

八、定序問題— —縮倍法

在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序稱為定序問題。求解這類問題可先全排,再除以定序元素的全排列。

例8 信號兵把紅旗與白旗從上到下掛在旗桿上表示信號。現(xiàn)有3面紅旗、2面白旗,把這5面旗都掛上去,可表示不同信號的種數(shù)是____(用數(shù)字作答)。

解析:5面旗全排列有種掛法,由于3面紅旗與2面白旗的分別全排列均只能算作一次的掛法,故共有不同的信號種數(shù)是=10(種)。

針對練習8:5人參加百米賽跑,若無同時到達終點的情況,則甲比乙先到有幾種情況?

解析:甲乙是對等的,不是甲先到就是乙先到,一共有A55種情況,所以甲先到的情況

九、“小團體”排列問題— —先“團體”后整體法

對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團體”時,可先按制約條件“組團”并視為一個元素,再與其他元素排列。

例9 已知4名男歌手和2名女歌手聯(lián)合舉行一場演唱會,演出的出場順序是2名女歌手之間恰有2名男歌手,則出場的方案有多少種?

解析:從4名男歌手中選出2名排在2名女歌手之間,2名女歌手全排,組成“小團體”,有種排法,把“小團體”視為1名女歌手與其余2名男歌手進行排列,有種排法,由分步乘法計數(shù)原理,可得滿足條件的出場方案共有=144(種)。

針對練習9:有7個人排成一行,甲乙之間間隔2個人,有多少種排法?

解析:從除甲乙外的5個人中選2個人與甲乙2人組成“小團體”,有種排法,把“小團體”視為1個人與其余3個人進行排列,有種排法,由分步乘法計數(shù)原理,可得滿足條件的排法共有=960(種)。