基于粒子群算法的3D印花網(wǎng)版對位的移動(dòng)平臺(tái)誤差補(bǔ)償

李 培，李培波，謝 瑤，孫以澤

(東華大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 201620)

隨著絲網(wǎng)印刷技術(shù)的發(fā)展，高精度3D印花技術(shù)應(yīng)運(yùn)而生。 高精度3D印花的圖案厚度要求在0.8 mm以上，需多塊網(wǎng)版疊印、套印數(shù)十次，因此多塊網(wǎng)版的對位成為一個(gè)難題，也是決定印花質(zhì)量的關(guān)鍵。傳統(tǒng)的人工對版已不能滿足要求，對版機(jī)在一定程度上解決了這一問題。三自由度移動(dòng)平臺(tái)應(yīng)用在對版機(jī)上可實(shí)現(xiàn)網(wǎng)版的對位，但由于幾何參數(shù)誤差、動(dòng)態(tài)誤差等因素的存在，導(dǎo)致對版機(jī)的對位精度往往不能滿足實(shí)際要求。 對位精度主要由三自由度移動(dòng)平臺(tái)的精度決定，因此需對三自由度移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行誤差分析及補(bǔ)償，以提高對位精度。

粒子群優(yōu)化算法可用于尋找多參數(shù)非線性模型(目標(biāo)函數(shù))的全局極值點(diǎn)，其步驟為：(1)初始化結(jié)構(gòu)參數(shù)和粒子群算法參數(shù); (2)根據(jù)目標(biāo)函數(shù)計(jì)算適應(yīng)度值; (3)計(jì)算個(gè)體極值和全局極值; (4)比較適應(yīng)度值的大小; (5)更新粒子速度和位置，尋找更優(yōu)解，直到完成所設(shè)定的迭代次數(shù)[1-2]。

本文以3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差為目標(biāo)函數(shù)，利用粒子群優(yōu)化算法尋找最優(yōu)解，減少綜合誤差，提高對位精度。

1 誤差模型

建立并聯(lián)機(jī)構(gòu)輸出誤差模型的方法主要有矢量法[3-4]和誤差獨(dú)立作用原理法[5]。對滾珠絲桿的誤差研究多以單驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為對象，采用矩陣法得到末端執(zhí)行構(gòu)件的輸出誤差模型[6]。 本文研究的三自由度移動(dòng)平臺(tái)為多滾珠絲桿并聯(lián)機(jī)構(gòu)，借鑒上述方法，對其建立輸出誤差模型，并在此基礎(chǔ)上建立3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差模型。

1.1 三自由度移動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)

三自由度移動(dòng)平臺(tái)的結(jié)構(gòu)如圖1所示。 該機(jī)構(gòu)由3臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)驅(qū)動(dòng)，驅(qū)動(dòng)電機(jī)固定在定平臺(tái)上，通過聯(lián)軸器與滾珠絲杠連接，并通過絲杠螺母驅(qū)動(dòng)滑座移動(dòng)。 動(dòng)平臺(tái)與4個(gè)交叉滾子軸承連接，滑座分為上中下3部分，上面部分與交叉滾子軸承連接，下面部分固定在定平臺(tái)上。3臺(tái)電機(jī)的組合驅(qū)動(dòng)可以使動(dòng)平臺(tái)實(shí)現(xiàn)兩個(gè)方向的平移以及在其平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)，因此，該機(jī)構(gòu)具有三個(gè)自由度。

1.2 等效結(jié)構(gòu)簡圖

1—定平臺(tái); 2—驅(qū)動(dòng)電機(jī); 3—聯(lián)軸器; 4—絲桿支座; 5—滾珠絲杠; 6—絲杠螺母; 7—交叉滾子軸承; 8—滑座圖1 三自由度移動(dòng)平臺(tái)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of three degrees of freedom mobile platform

建立坐標(biāo)系O-xyz，其中xOy面固定在定平臺(tái)上。 該三自由度移動(dòng)平臺(tái)具有沿x軸方向和y軸方向平移的自由度，還有繞z軸旋轉(zhuǎn)的自由度。 電機(jī)驅(qū)動(dòng)滾珠絲桿，使絲桿螺母在絲桿上移動(dòng)，同時(shí)帶動(dòng)動(dòng)平臺(tái)，因此，該驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)可以看做可伸縮的驅(qū)動(dòng)桿或可移動(dòng)的滑塊。 將3臺(tái)驅(qū)動(dòng)電機(jī)分別旋轉(zhuǎn)180°，對于相同的動(dòng)平臺(tái)位置和姿態(tài)，絲桿螺母的位移相同，僅僅是電機(jī)的旋轉(zhuǎn)方向相反。 綜上所述，該三自由度移動(dòng)平臺(tái)的等效結(jié)構(gòu)簡圖如圖2所示。

圖2 三自由度移動(dòng)平臺(tái)等效結(jié)構(gòu)簡圖Fig.2 Equivalent structure diagram of three degrees of freedom mobile platform

1.3 三自由度移動(dòng)平臺(tái)的誤差模型

如圖2所示，建立坐標(biāo)系Oxy和Cx′y′，其中Oxy面固定在定平臺(tái)上，Cx′y′面固定在動(dòng)平臺(tái)上。 驅(qū)動(dòng)桿首端(滑塊初始位置)為Ai點(diǎn)(i=1，2，3)，動(dòng)平臺(tái)上安裝孔的位置為Ci點(diǎn)(i=1，2，3)，C1、C2、C33點(diǎn)組成等腰直角三角形，其外接圓圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)C，x′軸平行于C3C1，y′軸平行于C1C2。 等腰直角三角形C1C2C3的直角邊長度為a，即動(dòng)平臺(tái)上安裝孔間距，則C1、C2、C33點(diǎn)在坐標(biāo)系Cx′y′中的坐標(biāo)為

(1)

動(dòng)平臺(tái)的位置及姿態(tài)可用式(2)矩陣描述。

(2)

式中：xC、yC為C點(diǎn)在固定坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo);θ為x軸與x′軸之間的夾角。

坐標(biāo)系Oxy到坐標(biāo)系Cx′y′的齊次變換矩陣R可表示為

(3)

根據(jù)式(3)，點(diǎn)Ci在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)(xCi，yCi)可寫成：

(4)

(5)

根據(jù)各點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，點(diǎn)Ci在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo)(xCi，yCi)也可寫成：

xCi=xAi+ρicosαi+Licosβi

(6)

yCi=yAi+ρisinαi+Lisinβi

(7)

式中：xAi、yAi為點(diǎn)Ai在坐標(biāo)系Oxy中的坐標(biāo);ρi為驅(qū)動(dòng)桿AiBi的長度，即驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量;αi為驅(qū)動(dòng)桿AiBi與x軸之間的夾角;Li為連桿BiCi的長度;βi為連桿BiCi與x軸之間的夾角。

由式(4)～(7)得：

(8)

(9)

對式(8)和(9)進(jìn)行微分并整理得：

(10)

(12)

代入式(12)得：

JAδP=JBδe

(13)

則該三自由度移動(dòng)平臺(tái)的輸出誤差模型為

(14)

1.4 3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差模型

3D印花網(wǎng)版的4個(gè)角均有一個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)，呈中心對稱分布。 網(wǎng)版對位的基本原理是：計(jì)算機(jī)采集任意對角的兩個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)圖像，分析得到其位置信息，并控制三自由度移動(dòng)平臺(tái)將兩個(gè)校準(zhǔn)點(diǎn)移動(dòng)到指定位置，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)版的對位。 校準(zhǔn)點(diǎn)的位置準(zhǔn)確度決定了網(wǎng)版的對位精度。 校準(zhǔn)點(diǎn)的理論位置與實(shí)際位置如圖3所示。

圖3 校準(zhǔn)點(diǎn)的理論位置與實(shí)際位置Fig.3 Theoretical position and actual position of calibration point

(15)

A點(diǎn)和B點(diǎn)在坐標(biāo)系Mxy中的坐標(biāo)分別為(b/2，c/2)和(-b/2，-c/2)，其中，b、c分別為對角兩校準(zhǔn)點(diǎn)之間的距離在x軸方向和y軸方向上的分量。則A′點(diǎn)和B′點(diǎn)在坐標(biāo)系Mxy中的坐標(biāo)為

(16)

(17)

則3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差ΔP可表示為：

(18)

2 三自由度移動(dòng)平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定

運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定是指通過測量系統(tǒng)的輸出量辨識(shí)出誤差模型中各幾何參數(shù)的實(shí)際值。 常用的并聯(lián)機(jī)構(gòu)標(biāo)定方法有外部標(biāo)定法和自標(biāo)定法兩種，其中，自標(biāo)定法根據(jù)標(biāo)定中采用的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的不同，又可分為基于逆解的標(biāo)定和基于正解的標(biāo)定[7-9]。 本文采用基于逆解的自標(biāo)定法得到三自由度移動(dòng)平臺(tái)幾何參數(shù)的實(shí)際值。

2.1 三自由度移動(dòng)平臺(tái)的逆解模型

將式(8)和(9)移項(xiàng)后兩邊平方再相加消除變量βi(i=1，2，3，下同)，得到運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組為

(19)

將式(19)整理得：

(20)

解得：

(21)

式中：

由式(21)可知，每一個(gè)驅(qū)動(dòng)桿長(即驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量)有兩個(gè)解，所以在給定動(dòng)平臺(tái)位姿的情況下，可以求出8組驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的解，對應(yīng)著機(jī)構(gòu)的8種控制模式。 經(jīng)分析可知，本文所述機(jī)構(gòu)的等效逆解模型為

(22)

2.2 標(biāo)定方法及結(jié)果

本文應(yīng)用激光跟蹤測量法測量動(dòng)平臺(tái)的實(shí)際位姿，在滑座上安裝位移傳感器，測量滑座的實(shí)際位移，得到驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的實(shí)際值。

手動(dòng)模式下使動(dòng)平臺(tái)處于多個(gè)不同的位姿，通過激光跟蹤系統(tǒng)以及位移測量系統(tǒng)測得三自由度移動(dòng)平臺(tái)的多組位姿實(shí)際值以及驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量實(shí)際值。 由式(22)可知，共有18個(gè)未知量，而測得的每組數(shù)據(jù)可列3個(gè)方程，因此，至少需要測量6組數(shù)據(jù)才能求解出所有未知量。 測得的數(shù)據(jù)如表1所示，將數(shù)據(jù)代入逆解模型，應(yīng)用最小二乘法解得各幾何參數(shù)實(shí)際值，如表2所示。

表1 驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量和動(dòng)平臺(tái)位姿測量值Table 1 Measured values of the drive feed rates and the position and pose of the mobile platform

表2 幾何參數(shù)實(shí)際值Table 2 Actual values of the geometric parameters

3 基于粒子群優(yōu)化算法的誤差補(bǔ)償

3.1 粒子群優(yōu)化算法

由式(18)可知，3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差模型包含驅(qū)動(dòng)桿長誤差δρi(i=1，2，3)，因此可給驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量一修正量Δρi，使驅(qū)動(dòng)桿長誤差為δρi+Δρi，以減小綜合誤差。 綜合誤差模型是一個(gè)多輸入的非線性模型，本文將誤差補(bǔ)償轉(zhuǎn)化為多參數(shù)組合優(yōu)化問題，通過粒子群優(yōu)化算法尋優(yōu)各驅(qū)動(dòng)桿參數(shù)，以補(bǔ)償誤差。

設(shè)定三自由度移動(dòng)平臺(tái)3根驅(qū)動(dòng)桿長度的取值范圍為ρimin≤ρi≤ρimax(i=1，2，3)，即粒子的搜索空間。 算法隨機(jī)產(chǎn)生的粒子在空間內(nèi)飛行搜索，并根據(jù)自己和同伴的飛行經(jīng)驗(yàn)調(diào)整自己的飛行。 每個(gè)粒子在飛行過程中搜索到的最優(yōu)位置為個(gè)體極值點(diǎn)，整個(gè)群體搜索到的最優(yōu)位置為全局極值點(diǎn)，每個(gè)粒子通過個(gè)體極值點(diǎn)和全局極值點(diǎn)更新自己，經(jīng)過多次迭代，找到最優(yōu)解[10]。 粒子按式(23)和(24)更新自己的速度和位置。

(23)

(24)

每個(gè)粒子都有一個(gè)由被優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)決定的適應(yīng)度值，由它對粒子進(jìn)行評價(jià)。 本文以3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差模型(式(18))為目標(biāo)函數(shù)，結(jié)合式(14)、(16)、(17)，并將δρi用δρi+Δρi代替，得到只含有參數(shù)Δρi的目標(biāo)函數(shù)。

3.2 仿真分析

粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)定如下：粒子總數(shù)m=40，學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，慣性系數(shù)ω=0.8。 綜合誤差優(yōu)化值與迭代次數(shù)的關(guān)系如圖4所示。

圖4 綜合誤差優(yōu)化值與迭代次數(shù)的關(guān)系圖Fig.4 Relationship between the optimal value of the synthetic error and the number of iterations

由圖4可知，當(dāng)?shù)螖?shù)n≥4次時(shí)，綜合誤差趨于穩(wěn)定，因此本文選取迭代次數(shù)n=4。 至此，粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)設(shè)置完畢，機(jī)構(gòu)幾何參數(shù)采用通過運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定得到的實(shí)際值。 利用Matlab軟件進(jìn)行仿真，可得到各支鏈驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的修正量和綜合誤差的優(yōu)化值，分別如圖5和6所示。 為了更直觀地觀察修正量和補(bǔ)償效果，本文假定動(dòng)平臺(tái)的旋轉(zhuǎn)角θ=5°，驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量ρ1=ρ2=ρ3。

(a)支鏈1

(b)支鏈2

(c)支鏈3圖5 各支鏈驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的修正量Fig.5 Corrected values of each branch drive feed rate

圖6 綜合誤差的補(bǔ)償效果圖Fig.6 Compensating effect diagram of the synthetic error

由圖5可知：對于不同的驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量，3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差不同，因此進(jìn)給量的修正量也不同; 3個(gè)支鏈驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的修正量范圍均為-6～6 mm，但各不相同。

由圖6可知：補(bǔ)償前，3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差范圍為0.21～1.96 mm，補(bǔ)償后，綜合誤差保持在0.10 mm左右，即利用粒子群優(yōu)化算法補(bǔ)償誤差的效果是顯著的; 對于不同的驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量，補(bǔ)償后的綜合誤差接近于一恒定值。由此，一套網(wǎng)版對位的綜合誤差幾乎相同，這可極大地減小對位誤差引起的印刷質(zhì)量問題。

3.3 試驗(yàn)驗(yàn)證

根據(jù)本文所述方法，改進(jìn)對版機(jī)的控制方式，并使用改進(jìn)后的對版機(jī)進(jìn)行試驗(yàn)，以驗(yàn)證粒子群優(yōu)化算法對三自由度移動(dòng)平臺(tái)對位誤差的補(bǔ)償效果。 對于3D印花而言，一套網(wǎng)版對應(yīng)著一個(gè)完整的圖案，印刷前將它們依次放置在對版機(jī)上進(jìn)行對位，如圖7所示。 對位完成后，將它們依次放置在印花機(jī)上進(jìn)行印刷，每塊網(wǎng)版印刷一層子圖案。 從第二塊網(wǎng)版開始，每塊網(wǎng)版印刷結(jié)束后，將圖案放置在顯微鏡下觀察，并用測量裝置測量相鄰兩層子圖案之間的最大偏移量，即最大誤差。 按照上述試驗(yàn)內(nèi)容完成3組試驗(yàn)，驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的修正量和最大偏移量的測量結(jié)果如表3所示。

表3 驅(qū)動(dòng)進(jìn)給量的修正量和最大偏移量的測量結(jié)果Table 3 Corrected values of drive feed rates and measured result of maximum offset

由表3可知，利用改進(jìn)后的對版機(jī)進(jìn)行網(wǎng)版對位，并將網(wǎng)版放置在印花機(jī)上印刷，得到的印刷圖案的相鄰兩層子圖案之間的最大偏移量不超過0.03 mm，精度完全符合實(shí)際要求，與本文的仿真結(jié)果基本吻合。

4 結(jié) 語

本文為提高對版機(jī)的對位精度，對其關(guān)鍵機(jī)構(gòu)——三自由度移動(dòng)平臺(tái)進(jìn)行了誤差分析與補(bǔ)償。 首先建立了動(dòng)平臺(tái)的輸出誤差模型以及3D印花網(wǎng)版對位的綜合誤差模型。 在誤差模型的基礎(chǔ)上，利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行誤差補(bǔ)償，該方法使用的幾何參數(shù)值是通過運(yùn)動(dòng)學(xué)標(biāo)定得到的實(shí)際值。 仿真的結(jié)果表明：進(jìn)給量的修正量范圍為-6～6 mm; 補(bǔ)償前，綜合誤差范圍為0.21～1.96 mm，補(bǔ)償后，綜合誤差保持在0.10 mm左右。最后通過試驗(yàn)驗(yàn)證了粒子群優(yōu)化算法對誤差的補(bǔ)償效果，試驗(yàn)結(jié)果與仿真結(jié)果基本吻合。因此，利用粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行誤差補(bǔ)償，可明顯減少3D印花網(wǎng)版對位的誤差，使對版機(jī)精度符合實(shí)際要求。

參 考 文 獻(xiàn)

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