基于SPH法波浪破碎數值模擬分析

許璐璐 郄祿文

(河北大學建筑工程學院，河北 保定 071002)

0 引言

光滑粒子流體動力學法(SPH法)是在近20多年來逐步發展起來的一種無網格方法，其基本思想是將連續的流體用相互作用的質點組來描述，通過物質點的質量和速度等量求解質點組的動力學方程和跟蹤每個質點的運動軌道，求得整個系統的力學行為。2006年，金阿芳將SPH方法用于流體模擬。李玉梅和汪繼文(2010年)考慮水流淺水波影響，利用SPH方法模擬了水滴和漣漪運動。方浩、孫世波等人(2012年)結合SPH方法和可視化技術較好的實現了泥石流的可視化仿真。林鵬智和劉鑫(2015年)分析了SPH模型在處理無反射波、進出流邊界、流固界面運動、底床沖刷等方面的應用。王燁、王永學等人(2016年)應用SPH方法，建立了模擬波浪作用下雙方箱浮防波堤運動響應的數值模型，與試驗結果較符合。

本文主要基于SPH方法，選擇搖板式造波機產生隨機波浪，造波板成為波浪入射邊界條件，建立二維數值波浪水槽，按照波浪要素及基床坡度模擬波浪破碎形成過程，將波浪破碎的力學性能與物理模型實驗結果作對比分析。

1 SPH方法的控制方程

SPH方法中各質點組各質點的運動函數是以核函數的積分：

(1)

在一連續場內，量守恒方程為：

(2)

其中,Θ為擴散項。擴散的三種不同的方法可以用在SPH模擬中：1)人工粘性；2)層流粘性；3)亞粒子湍流模型。

連續方程是質量守恒方程，流體密度的改變在SPH中用式(3)計算：

(3)

用它來代替質量加權求和條件(Monaghan，1992)。

利用SPH法建模中，假定流體是可壓縮的，帶粒子流體密度的變化產生的粒子間壓力變化，進而形成了質點粒子的運動。

2 隨機波浪破碎的數值模擬

當隨機波浪傳播過程中，其波陡(波高H與波長L之比)達到極限狀態，波浪發生破碎現象。在近岸淺水區域波浪傳播受海底基床邊界摩擦力影響，波高增大、波長變短，波陡急劇增加，波浪剖面變形顯著，使得海浪波峰處水質點的水平分速度達到或超過波速，該波浪即發生破碎現象，稱為破波。由于海底基床坡度和海浪波陡的不同狀況，可產生三種形式破波：崩破波、卷破波和激破波。

設置一個長3 m，寬0.2 m，高0.25 m的水槽，平直區域為0.5 m，斜坡傾斜角度為3.833 1°即1/15的坡度。在距左邊界0.2 m處設置搖板式造波機，造波板設置推程0.14 m，周期1 s，靜水位為0.15 m。三維各方向質點粒子間距取0.02 m，設定初始速度為0.0 m/s，時間步長為0.000 1 s，按照20 Hz頻率輸出實驗數據，每次選取5個周期的測試數據結果。實驗中選定離散出的粒子總數為11 930個。利用預算矯正法對時間積分，選取排斥力邊界的邊界條件。水槽實驗中在起坡處設置傳感器，得出起坡處波高與SPH數值模擬作對比圖(見圖1)。

由于平均波高為H=0.05 m，波長L=1 m，坡度1∶15，根據公式得出：

其中，ξb在0.2～0.4范圍內，所以發生崩破。

在數值模擬過程中，當時間T運行到1.1 s時，隨機波浪開始傳播到海底基床斜坡上，波形基本沒有發生變化，整體形態較為完整。而到1.25 s時刻，已經爬上海底斜坡的波浪頂端部分，開始出現離散的水質點粒子，隨之而來的是，在波浪的后部越來越多的出現離散的水質點，形成水花，隨機波浪的整體能量開始消耗。當波浪繼續傳播，從1.4 s～1.7 s之間，波浪形態變化明顯，大范圍破碎，形成浪花，波能逐漸耗散，隨著第一個波浪漸漸消失，第二個波浪接踵而至。波浪傳播到2.1 s時，該波浪的最高波峰出現，基本和上一次波浪的波峰出現的一致，從而完成一個波浪周期作用(見圖2)。

對應于以上時刻的流速場圖見圖3。

圖3描述了整個水域的速度場分布規律和單個質點粒子的速度變化過程。在T=1.0 s時，第一個波浪剛剛傳播到數值水槽基床斜坡上，整個波形基本沒有變化，形態較為完整，在波峰處水質點粒子(坐標為x=0.6 m，z=0.2 m)最大橫向分速度為1.32 m/s，沿波浪傳播方向。該波峰的后側的水質點粒子有沿y軸負向的速度分量，在波峰前后側的水質點粒子速度有沿其他方向分量。而在數值波浪傳播到1.7 s時，形成第二個波峰，此時在波峰之間的波谷區域出現了一個順時針漩渦，而在T=2.0 s時刻，在坐標(x=1.38 m，z=0.13 m)處，水質點速度達到0.91 m/s，形成水花與泡沫，第一個波浪隨即發生崩破破碎現象，此時水質點粒子速度方向分布無規律，呈無序狀態。隨著第一個波浪的逐漸消散，第二個波浪緊隨出現，并開始沿斜坡向上逐漸傳播推進。

當波浪開始在斜坡上推進的過程中，波態完整，水質點粒子速度尚能保持秩序排列，波峰速度始終是最大速度波浪，隨機波浪并未出現破碎現象。由于在波谷區域，水質點的速度可能會出現沿傳播反方向分量，并且隨著波浪破碎現象的發生，水質點粒子的速度方向呈雜亂無章狀態，波浪破碎也會引起波能的逐漸耗散，并使波浪傳播速度不斷降低。

圖4詳細地反映了第一個波峰從1.1 s到2.1 s的速度變化以及波峰發生破碎的速度變化規律。

眾所周知，波浪的波壓力會隨著波浪的傳播速度而變化。當波浪在沿基床斜坡上傳播推進過程中，波浪產生的基床壓力呈規律分布，壓力峰值為1.472 kN。當波浪運行到1.40 s時刻，在X軸向0.5 m～1.0 m范圍發生波浪壓力分布紊亂現象，壓力峰值降為1.366 kN。在T=1.70 s時，隨著第二個波浪的到來，第一個波浪發生崩破現象，水質點粒子的速度方向無規則分布，流體粒子的壓力分布呈不均勻特性，波浪峰值發生在X軸向0.2 m～0.3 m范圍，波浪壓力峰值達1.988 kN，隨著波浪破碎，波能逐漸衰減，波壓力最終趨近于0。

波浪速度也決定著流體的湍流動能，在波峰處水質點速度值保持最大，因而流體的湍流動能也呈現最大狀態。隨著波浪在基床斜坡上傳播，基床摩擦力降低了波速，促進了波浪破碎的發生，流體的湍流動能也逐漸減少。

類似方法可模擬波浪發生卷破和激破過程，如圖5，圖6所示。

3 結語

本文采用以Quadratic光滑函數為核函數的預算矯正法，選擇排斥力邊界條件，基于SPH方法模擬了具有一定坡度的淺灘斜坡波浪破碎問題。通過造波板推程、周期、斜坡角度等參數對隨機波浪傳播過程中形成的不同的破碎波進行數值模擬，分析了流場中隨機波浪的波速、作用在基床的波壓等水動力性能，將之與實際情況進行對比分析，更加直觀的展現了波浪破碎的過程，得到波浪參數對于破碎的影響規律。隨機波浪的多種因素，比如靜水位高度、海底基床平直區域長度、坡度大小、波浪要素等，將影響波浪破碎發生及其水力性能：1)隨著海底基床坡度的增大，淺灘波浪將具有由崩破波演變為卷破波再進一步轉變為激破方向發展趨勢。2)隨著波浪周期增大，波長將隨之變長，隨機波浪破碎將會由崩破波演變為激破波，隨著波高的逐漸增大，波浪的激破波也具有往崩破方向發展的可能。

參考文獻:

[1] 游 濤,波浪在斜坡上的傳播破碎及沿岸流研究[D].天津:天津大學,2004.

[2] 王永學.無反射數值波浪水槽水動力學研究與進展[J].SerA.,2004,9(2):205-212.

[3] 李 鵬.波浪在潛堤上傳播和破碎[D].南京:南京水利科學研究院,2005.

[4] 孫曉燕.SPH方法的理論及應用[J].水利水電技術,2007,39(3)：44-46.

[5] MONAHGAN J J.An Introduction to SPH[J].Comput.Phys.Comm，2008(48):89296.

[6] 孫云舫.SPH方法的改進及其在水波數值模擬中的應用[D].天津：天津大學碩士論文，2009.

[7] 劉謀斌,宗 智,常建忠.光滑粒子動力學方法的發展與應用[J].力學進展,2011,41(2):217-234.

[8] 胡 怡.波浪在泥質海床上傳播與破碎的數值研究[D].北京：清華大學,2012.

[9] 林鵬智.光滑粒子水動力學在水利與海洋工程中的應用研究進展[J].水利水電科技進展，2015，35(5)：36-46.

[10] 楊家軒,李訓強.基于水槽實驗的近岸波浪破碎計算研究[J].海洋通報，2015(1):45-51.