SIR無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型穩(wěn)定性及免疫控制策略

王晶囡 逯蘭芬 高旭 許云中 丁悅航

摘 要：為了研究疫苗免疫和群外個(gè)體遷入對(duì)SIR型傳染病傳播行為的影響，在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)上建立了一類(lèi)含有免疫作用的SIR傳染病模型，討論了具有齊次性質(zhì)的SIR復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)平衡點(diǎn)穩(wěn)定性和具有非齊次性質(zhì)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)（度分布關(guān)聯(lián)和度分布不關(guān)聯(lián)）染病平衡點(diǎn)的存在性，從中得到了3種情況的染病臨界值，根據(jù)臨界值討論了比例免疫和目標(biāo)免疫策略?xún)?yōu)缺點(diǎn)，為控制病毒傳染提供了的理論參考。

關(guān)鍵詞：無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)；穩(wěn)定性；傳染病模型；臨界值；免疫

DOI：10.15938/j.jhust.2018.02.026

中圖分類(lèi)號(hào)： O175；O193

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號(hào)： 1007-2683（2018）02-0144-05

Abstract：In order to study the effect of the vaccine immunization and the individual immigration on the spread behaviors of the SIR epidemic， the SIR epidemic model for complex networks is constructed. The equilibrium stability of complex networks with homogeneous characteristics and the existence of epidemic equilibriums of scale-free network with non-homogeneous （when the node degrees distribution are related and when the node degrees distribution）are discussed. The epidemic critical threshold values under three different conditions are obtained. Based on the epidemic critical thresholds values， the advantages and disadvantages of uniform ratio immunization and targeted ratio immunization are compared，which presents the theoretical reference for controlling viral infection.

Keywords：scale-free networks； stability； epidemic model； threshold value； immunity

0 引 言

有些病毒性傳染病的傳播范圍廣，速度快又無(wú)法被有效治療，對(duì)人類(lèi)生命造成嚴(yán)重威脅，有效控制傳染病的傳播現(xiàn)成為急需解決的問(wèn)題之一。據(jù)世界衛(wèi)生組織（WHO）在2015年1月27日發(fā)布的最新報(bào)告顯示，在全球范圍內(nèi)，感染埃博拉病毒病例為22057例，死亡人數(shù)上升至8795人；感染沙特冠狀病毒導(dǎo)致死亡人數(shù)也已達(dá)到400多人。因此，對(duì)這些病毒性傳染病的發(fā)病機(jī)理，傳染規(guī)律及防治策略的研究就顯得尤為重要。

病毒的傳播可以看作是服從某種規(guī)律的網(wǎng)絡(luò)傳播行為。21世紀(jì)初，人們利用節(jié)點(diǎn)和連接節(jié)點(diǎn)的連線，建立了可以描述傳染性疾病傳播的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。最常見(jiàn)的均勻網(wǎng)絡(luò)是小世界網(wǎng)絡(luò)[1]，該網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)數(shù)不變，可以增加或減少少量的隨機(jī)捷徑，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)的度都圍繞平均值上下波動(dòng)；而無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)[2]模型揭示了原有網(wǎng)絡(luò)的連線不變，增加新節(jié)點(diǎn)數(shù)目以及新節(jié)點(diǎn)與原有網(wǎng)絡(luò)結(jié)點(diǎn)的連線來(lái)改變?cè)芯W(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)有些病毒性傳染病的傳播是由于其周?chē)h(huán)境的不同（即能接觸到傳染病人的數(shù)量可能會(huì)相差很大）會(huì)導(dǎo)致被感染的概率不同，這種傳播特點(diǎn)符合無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的范疇。

近些年，將復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到傳染病的研究已受到了人們的極大關(guān)注，例如文[3]在研究具有齊次性質(zhì)的susceptible-infected- removed （SIR）傳染病網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)傳染率比傳染臨界值大時(shí)，染病者會(huì)在人群中占有一定比例，當(dāng)傳染率小于傳染臨界值時(shí)，疾病最終會(huì)消失；文[4]在文[3]的基礎(chǔ)上考慮了通過(guò)接種疫苗來(lái)降低被感染的幾率，建立了具有免疫作用齊次性質(zhì)SIR模型的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（所有結(jié)點(diǎn)的度都服從一個(gè)常數(shù)k的指數(shù)分布），該模型如下：

此外，文[4]還利用非齊次性質(zhì)（度分布不服從指數(shù)分布， 如冪分布）的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)（模型如（2）所示），討論了免疫作用以及非齊次性質(zhì)對(duì)疾病傳播的影響，說(shuō)明了通過(guò)接種疫苗確實(shí)可以起到預(yù)防和控制疾病傳播的作用。

文[5]在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上建立了一類(lèi)SEI1I2R的傳染病模型，研究了無(wú)限維無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中的傳播閾值，證明了無(wú)病平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性與疾病的一致持續(xù)生存性，得到了目標(biāo)免疫好于比例免疫的結(jié)論。

文[6]研究了一類(lèi)現(xiàn)實(shí)復(fù)雜情形下SIRS型傳染病模型的無(wú)病平衡點(diǎn)與地方病平衡點(diǎn)的唯一存在性，漸近穩(wěn)定性及傳染病綜合控制策略，本文在文[4-6]的基礎(chǔ)上，將種群分為易感個(gè)體S，染病個(gè)體I，康復(fù)個(gè)體R，考慮到非線性傳染率、群外個(gè)體遷入、生育與死亡以及疾病可水平和垂直傳播等因素，來(lái)研究病毒性傳染病傳播的規(guī)律。

1 具有免疫功能齊次性質(zhì)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

本文考慮會(huì)有新的易感個(gè)體輸入到此種群中，引入易感個(gè)體的輸入率As，種群內(nèi)會(huì)有出生率b∈[0，1]和死亡率d∈[0，1]，（d>b），慮考遺傳因素，假設(shè)康復(fù)個(gè)體R僅生育康復(fù)個(gè)體R，易感個(gè)體S僅生育易感個(gè)體S，感染病毒的人群在患病期間痛苦不堪，不會(huì)考慮生育后代，即假設(shè)染病者不會(huì)生育孩子（如麻風(fēng)病）。用λ表示傳染病通過(guò)有效接觸進(jìn)行傳播的傳播系數(shù)，k為單位時(shí)間內(nèi)接觸的人數(shù)。γ為治愈率，γ∈[0，1]。考慮到染病者與易感者、康復(fù)者的死亡率可能不同，因此用d-∈[0，1]表示染病個(gè)體的死亡率。a為免疫接種的比例，則可以得到如下的動(dòng)力學(xué)模型：

2 具有免疫功能非齊次性質(zhì)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)

在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)可以極好地演繹病毒性疾病的傳播情況，本文根據(jù)文[4]和文[5]的研究方法，建立一個(gè)SIR免疫無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型來(lái)研究疫苗免疫對(duì)病毒性疾病在非齊次性質(zhì)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中傳播的影響。

現(xiàn)令Sk（t），Ik（t），Rk（t）分別為在t時(shí)刻易感染者、感染者、移出者在度為k的個(gè)體中占有的比例，Θ（t）表示任選一條連線指向感染者的概率。病毒傳播流程圖如圖1所示。

根據(jù)流程圖1，可得到如下所示的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)SIR免疫模型：

2.1 度分布不關(guān)聯(lián)

度分布不關(guān)聯(lián)時(shí)，任選網(wǎng)絡(luò)中一條連線指向感染者的概率如下：

3 傳染病控制方法與免疫策略

病毒性傳染病爆發(fā)的特點(diǎn)是來(lái)勢(shì)兇、危害大、傳播廣、社會(huì)影響大。人類(lèi)一直與各種傳染性疾病斗爭(zhēng)。隨著交通運(yùn)輸水平的大幅提升，染病者可以在短時(shí)間內(nèi)到達(dá)許多地方，若沒(méi)有做好預(yù)防措施，危害不可小視。因此，傳染病的預(yù)防與控制在現(xiàn)代生活中顯得尤為重要。

通過(guò)免疫方法來(lái)抑制病毒傳播是人們所關(guān)心的話題，采用的免疫策略不同，得到的免疫效果也不同。下面根據(jù)前面所得到的理論分析，來(lái)比較一下均勻比例免疫策略和目標(biāo)比例免疫策略的效果。

3.1 免疫策略的比較分析

本文第1部分所研究的齊次性質(zhì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型（3）所描述的是在均勻網(wǎng)絡(luò)上采用均勻比例免疫的數(shù)學(xué)模型，即指從網(wǎng)絡(luò)中隨機(jī)的選取一定比例的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，對(duì)網(wǎng)絡(luò)中度大的節(jié)點(diǎn)和度小的節(jié)點(diǎn)平等對(duì)待，沒(méi)有考慮網(wǎng)絡(luò)中節(jié)點(diǎn)間的差異。

本文第2部分研究的非齊次性質(zhì)的無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)模型（7）所描述的是目標(biāo)比例免疫，即網(wǎng)絡(luò)中各節(jié)點(diǎn)的度不均勻，可以對(duì)這些節(jié)點(diǎn)采取有目標(biāo)的免疫，選取少量度較大的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行免疫，而在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中，一旦該節(jié)點(diǎn)被免疫，則可以把與這些節(jié)點(diǎn)連接的邊刪除，其余節(jié)點(diǎn)不會(huì)傳染免疫節(jié)點(diǎn)，被免疫節(jié)點(diǎn)更不會(huì)傳染其他節(jié)點(diǎn)。被刪去的節(jié)點(diǎn)都是網(wǎng)絡(luò)中度較大的，刪去的邊也多，故大大減少了病毒的傳播途徑。在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中，目標(biāo)比例免疫的免疫臨界值與無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)中新節(jié)點(diǎn)加入新連接的邊數(shù)相關(guān)。傳播率在很大范圍內(nèi)取不同值時(shí)，與均勻比例免疫相比，可以得到較小的免疫臨界值。相對(duì)于均勻比例免疫，目標(biāo)比例免疫在現(xiàn)實(shí)實(shí)行起來(lái)也更容易[8]。

為更直觀描述這兩種免疫策略的免疫效果，根據(jù)本文對(duì)傳染臨界值λc，λ-c，λ～c算出的結(jié)果及在文[9-10]的基礎(chǔ)上，得到的結(jié)果如表1所示。

3.2 傳染病控制其他方法

考慮到現(xiàn)實(shí)世界中的傳染病傳播[11-16]和控制過(guò)程[17-20]中存在下列情形：①疾病可通過(guò)水平和垂直傳播；②群內(nèi)個(gè)體會(huì)生育；③群內(nèi)個(gè)體有死亡（自然和非自然）；④對(duì)染病個(gè)體采取隔離措施但不完全到位；⑤群外易感個(gè)體遷入。根據(jù)本文模型中的主要參數(shù)，針對(duì)流行于人類(lèi)的傳染病的特點(diǎn)，經(jīng)過(guò)分析可以從如下幾個(gè)方面來(lái)控制病毒性傳染病的傳播：

1）接種疫苗：從本文計(jì)算出的傳染臨界值λ-c的表達(dá)式可以看出，若接種比例a變大，傳染臨界值變大。此時(shí)疾病需要跨越更大的傳染臨界值才能流行，這說(shuō)明通過(guò)接種疫苗可以預(yù)防和控制疾病的傳播。

2）提高治愈率：從本文計(jì)算出的傳染臨界值λ-c的表達(dá)式還可以看出，治愈率γ變大，傳染臨界值也可以變大，所以可以通過(guò)提高醫(yī)學(xué)水平可以提高治愈率，從而控制疾病的傳播。

3）增大隔離率：同樣從本文計(jì)算出的傳染臨界值λ-c的表達(dá)式可以看出，引入易感個(gè)體的輸入率As越小，傳染臨值就越大，也就是說(shuō)通過(guò)控制人口流動(dòng)，且對(duì)染病者進(jìn)行有效隔離，可以減少易感者與感染者的接觸率，減少易感者感染病毒的幾率。

另外，傳染病的流行需要合適的媒介，對(duì)生態(tài)環(huán)境進(jìn)行改善，消除細(xì)菌賴(lài)以生存的因素，這些都對(duì)控制與預(yù)防流行性傳染性疾病具有重要意義。

4 結(jié) 論

本文討論了無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上SIR傳染病模型平衡點(diǎn)的存在性及其穩(wěn)定性的，得到了一些在無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)上含有免疫SIR模型的動(dòng)力學(xué)行為。在研究無(wú)標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)具有非齊次性質(zhì)時(shí)，分別討論度分布關(guān)聯(lián)和度分布不關(guān)聯(lián)時(shí)的傳染臨界值。并根據(jù)傳染臨界值提出了控制傳染病的方法，比如注射疫苗，提高治愈率，控制流動(dòng)人口數(shù)量等。為有效抑制病毒傳染提供了一定的理論依據(jù)。從均勻比例免疫和目標(biāo)比例免疫的差異比較中，發(fā)現(xiàn)目標(biāo)比例免疫策略?xún)?yōu)于均勻比例免疫。并根據(jù)得到的染病臨界值提出了控制病毒傳染綜合策略。

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