時滯變頻調壓供水系統的穩定性及Hopf分支性質

丁宇婷 蔣麗 蘇琳琳

摘 要：為研究一類人造板施膠過程中的變頻調壓供水系統的數學模型，在原有線性化模型的基礎上考慮了時滯的影響及非線性因素，從而得到更符合實際的時滯變頻調壓供水系統的非線性微分方程。進一步分析了該方程平衡點的存在性、穩定性及Hopf分支的存在性和穩定性，并利用多時間尺度方法推導系統Hopf分支的規范型。利用Matlab軟件結合參數的實際意義給出數值仿真，展示了系統存在的穩定平衡點及穩定周期解，從而驗證理論分析的正確性。

關鍵詞：變頻調壓供水系統； 時滯； 穩定性； Hopf分支； 多時間尺度

DOI：10.15938/j.jhust.2018.02.027

中圖分類號： O175.13

文獻標志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）02-0149-06

Abstract：This paper considers the mathematical model of variable frequency water supply system in the process of applying glue to artificial board. On the basis of the original linear model， the effects of time delay and the nonlinear factors are considered. Then we get the delayed nonlinear differential equation of variable frequency water-supply system. Further， we consider the existence and stability of the equilibrium and the Hopf bifurcation in this equation， and derive the normal form of the Hopf bifurcation by using the multiple time scales method. Finally， by using Matlab software， we obtain numerical simulations under actual parameters， and we show the existence of stable equilibrium and stable periodic solutions of the system to verify the correctness of the theoretical analysis.

Keywords：variable frequency water-supply system； time delay； stability； hopf bifurcation； multiple time scales

0 引 言

近年來，國內外人造板工業發展十分迅速，在不斷吸收國外先進經驗的基礎上，國內人造板生產技術不斷優化，質量不斷提高，但在生產過程中仍難以擺脫對國外產品的仿制，創新部分不足。調施膠工藝是影響人造板生產的重要因素之一，該過程不僅具有多種約束條件、多變量、非線性、大時滯等特點，而且要求系統能夠在一定程度上具有克服動態不確定性的能力，并且具有較好的穩定性[1-3]。

人造板調施膠系統由變頻電機、泵和管道組成，學者在研究過程中，更多的是側重調施膠工藝控制系統的研究，并且為了簡便，對于控制系統基于的變頻調壓的數學模型，往往使用一些理想的數學模型。這樣得到的模型在系統具有時間延遲，變量間具有非線性關系等非理想因素影響下，就會不準確，然而很少有學者會研究具這兩類因素的數學模型[4-5]。

調施膠工藝中的變頻調壓供水過程對所產人造板質量的優劣有很大影響，在實際生產中通常使用工程上簡單實用的變頻調壓供水系統的數學模型[3，6]。為了簡化分析，學者們往往忽略時滯的影響，并進行線性化處理，從而得到較為簡單的數學模型。但在變頻調壓供水系統中轉矩和轉速往往存在平方關系，時間上也會存在滯后；如果要提高人造板施膠的生產效率，則不能忽略非線性、時滯這些重要影響因素，否則會因為對異步電機的轉速的估計誤差造成變頻器的供給頻率與實際所需頻率相差較大，進而影響到系統的施膠量和人造板的生產質量。

眾所周知，在生態學、工程學、醫學等眾多領域中，對于許多問題的研究都可以歸結為考慮微分方程的定性理論[7-14]。時滯微分方程既依賴于當前時間的狀態，又依賴于過去時間的狀態，因而更能有效客觀的描述實際問題。時滯微分方程是具有無窮多個根的超越方程，分析平衡點的穩定性及分支的存在性較為復雜，而在研究非線性動力系統時，特別是在考慮微分方程的穩定性及分支性質時，計算微分方程的規范型卻是極其重要的[15-17]。計算規范型一般有中心流形約化和多時間尺度兩種方法，文[18]對于幾個不同的滯后型微分方程用兩種方法推導出一致的約化到三階的Hopf分支規范型。由于多時間尺度方法不需要計算中心流形定理便可以直接運用到微分方程中，因而是計算規范型的一種有效簡便的方法。本文將采取該方法推導時滯變頻調壓供水非線性方程的Hopf分支的規范型。

本文針對人造板調施膠過程的變頻調壓供水系統的數學模型問題，在原有模型基礎上進行改進，引入非線性和時滯因素，建立更符合實際的變頻調壓供水系統的非線性時滯微分方程，從而確保變頻器能夠準確控制施膠流量。進一步，我們分析了該系統的平衡點的存在性、穩定性、Hopf分支的存在性及分支周期解的穩定性。最后通過Matlab數值模擬驗證理論分析的正確性；可以看出改進后的模型比原有模型更符合實際，具有更好的實用價值。

1 人造板施膠過程中變頻調壓供水系統數學模型

1.1 原始模型介紹

工程上簡單實用的變頻調壓供水系統的數學模型，當鼠籠式電機的供電電源的電壓與頻率之比始終不變時，其小偏差線性化模型為[3]：

1.2 改進后的模型

在實際變頻調壓供水過程中，對泵類負載，轉矩與轉速的平方成正比[3]，即：

并且該供水過程存在時間延遲，即轉子角速度的變化率與ω（t-τ）有非線性關系，結合實際背景，我們得到如下改進后的變頻調壓供水系統模型：

2 改進后模型穩定性分析

2.1 平衡點的存在性及穩定性

令τ=0.02∈（0，τ（0）2），以4.5為初值，滿足定理3條件，則得到系統（3）的波形圖（見圖3），此時系統（3）的平衡點ω2仍是局部漸近穩定的。

令τ=0.04>τ（0）2，Re（f）Re（g）<0，Re（f）δ>0，以4.5為初值，滿足定理4條件，則得到系統（4）的波形圖（見圖4），此時系統（4）從平衡點ω2分支出一個穩定的周期解。

令τ=0.2>τ（1）2，以4.5為初值，則得到系統（4）的波形圖（見圖5），此時系統（4）從平衡點ω2分支出一個不穩定的周期解。

該數值仿真的結果與定理2～4的結論完全一致。

4 結 論

本文研究了人造板施膠過程中的變頻調壓供水模型的動力學性質，將線性化的原始模型引入非線性與時滯因素，改為更符合實際的時滯微分方程模型。并分析該時滯微分方程模型的平衡點的存在性、穩定性及Hopf分支的存在性。進一步，利用多時間尺度方法推導出該系統的Hopf分支的規范型，從理論上說明引進時滯和非線性項后，系統會產生穩定的周期解。最后利用Matlab軟件進行數值仿真，系統會存在穩定的平衡點，當系統經歷Hopf分支后，平衡點的穩定性改變，系統會分支出穩定的周期解。數值仿真結果驗證了理論分析的正確性。本文通過對實際變頻調壓供水系統的各個參數進行調整來控制系統的穩定性，因而改進后的變頻調壓供水系統的數學模型可在實際生產中起到一定指導作用。

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（編輯：溫澤宇）