一種三自由度可重構并聯機構優化設計及性能分析

鄒 琦 曲海波 郭 盛

北京交通大學機械與電子控制工程學院，北京，100044

0 引言

可重構并聯機構兼具并聯機構剛度大、精度高的特征和可重構設計針對不同任務的適應性較強的特點。可重構并聯機構主要分為兩類，一種可重構并聯機構利用奇異位置重構，另一種通過改變機構的拓撲結構，進而改變機構的自由度，即變胞并聯機構［1-3］。本文所關注的是一種由于增加了多余的運動關節，使機架可重構或改變機構裝配關系的可重構并聯機構。這類機構的目標并不是改變動平臺的自由度，而是提升機構的性能。

可重構并聯機構優點突出，然而在航空航天等工業場合應用不多［4］。已有的機構大多比較昂貴、反應速度較慢，導致利用率相當有限。為此，國內外學者對可重構并聯機構做了許多研究。PLITEA等［5］設計的6自由度可重構并聯機構——Recrob 3-PRRS機構，在不同的條件下該機構可成為2/3/4/5自由度可重構并聯機構，結構簡單且易于控制。SRIVATSAN等［6］研制了3自由度可重構并聯機構——MaPaMan（the Madras Parallel Ma?nipulator），該機構含有3個相同的支鏈，重構成不同的構型時，其自由度數目及類型各不相同。XI等［7］提出了一種在保持驅動效率時利用不同的拓撲結構增強機器人的靜力學和剛度特性的機構。SON等［8］設計了一種多自由度桌面式可重構機床，該機床的優勢是有2個擺動式的拱形軌道模塊使其結構更加靈活，適應性更強。CARBON?ARI等［9］研制了一類源于3-CPU機構的可重構模塊并聯機器人，其設計的鎖緊系統允許一個旋轉副有選擇地與另一個旋轉副固定，從而使機構重構成具有不同機動性的并聯機構。ZHANG等［10］設計的6自由度可重構并聯機構可以重構為3/4/5自由度并聯機構。COPPOLA等［11］設計了一種應用于可持續制造領域的6自由度可重構混合并聯機構——ReSI-Bot。上述機構的可重構過程幾乎都是同時改變所有支鏈，而關于對稱地改變部分支鏈情形的研究較少。

本文設計了一款新型的具有2T1R（2個移動自由度、1個轉動自由度）的機架可重構并聯機構——2-PRRR+RRR機構，通過對稱改變其中2條支鏈進行重構。

1 運動學分析

本文提出的2-PRRR+RRR機構構型和機構簡圖見圖1。機構的移動副可由圓弧導軌MN實現，其中O為圓弧弧心，對應的圓心角為120°。點O與圓弧MN固定，AiBiCi為3條支鏈，AiBi與BiCi分別對應相等（i=1，2，3），?C1C2C3為動平臺，G點為動平臺幾何中心，點 A2和 A3可以在圓弧MN上移動。該機構包括10個桿件和11個運動副（9個轉動副和2個移動副），由修正后的Grübler-Kutzbach公式［12］有

式中，m為機構的自由度；d為機構的階數；λ為機構的公共約束數目，一般地，空間機構的階數是6，平面機構的階數是3；n為活動構件數；g為運動副數目；fi為第i個運動副所具有的自由度數目；υ為機構的冗余約束數。

圖12 -PRRR+RRR機構Fig.1 2-PRRR+RRR mechanism

由式（1）計算出機構的自由度是5，則相應的獨立驅動數是5。該機構屬于平面機構，動平臺的自由度為3，分別是沿X軸、沿Y軸的移動自由度和繞Z軸的轉動自由度。這里僅僅采用3個電機驅動，分別安裝于轉動副 A1、A2和 A3處，且A2、A3處電機輸出分別包含兩部分，一部分直接驅動轉動副，另一部分利用離合器與外齒輪傳動系統實現A2、A3處的移動運動（該離合器使得機構在任意位置均可安全鎖緊）。這樣，減少了電機及傳動系統的數目，也降低了控制系統的難度。另外，可重構機構可以通過對稱地改變A2、A3點在圓弧導軌中的位置而產生無窮多的對稱位置，易于控制。

1.1 逆運動學分析

建立圖1b所示的坐標系。A1與坐標系的原點O重合，X軸水平向右，Y軸豎直向上。桿件AiBi長度為ai，桿件 BiCi長度為bi，圓弧 MN 半徑為R，?C1C2C3邊長為h，AiBi與X軸正方向夾角為 θi，AiBi和 BiCi的夾角為 φi，C1C2與X軸夾角為φ，A1A2和X軸夾角為α，A1A3和X軸夾角為 β，A1M 與Y軸重合，A1N與X軸夾角為-30°。

已知C1點的坐標（XC1，YC1）、φ、α和 β，求解 θi（i=1，2，3）。以支鏈 A1B1C1為例，應用下面的矢量方程求解：

聯立方程并寫成坐標形式，有

將式（3）兩邊分別平方后相加，即可消去φ1，得到關于 sin θ1和 cosθ1的方程，用三角萬能公式替代，得到一元二次方程：

求解可得

由結果可知，θ1解的個數可能有0、1或2個，對應支鏈 A1B1C1分別是無解、有1個或2個位置。用相同的方法，可求解另外2條支鏈。3條支鏈組合，則機構最多有8個可能的解，對應不同的α和 β，結果亦然。

1.2 正運動學分析

正運動學研究是由機構的驅動關節坐標確定末端操作器的位姿，具體到該機構則是由輸入變量 θi（i=1，2，3）、α 和 β 求解動平臺的位姿參量XC1、YC1、φ 。

式（3）兩邊分別平方后相加，得到關于 XC1、的二元二次方程：

同理，由另外2條支鏈可得

式中，Ui、Vi、Wi是θi、φ、α、β的函數。

聯立式（6）～式（8）并消去平方項，即可求解出XC1和YC1，代入式（6）中，得到關于 sin φ 和cosφ的四次方程，用三角萬能公式替代可得1個一元八次方程，即給定機構的輸入參數，最多會有8個可能的位置。

1.3 雅可比矩陣

為了2-PRRR+RRR機構的桿件優化設計，有必要首先推導出該機構的雅可比矩陣，這里選用微分變換法求解雅可比矩陣。由點Ci與點G(XG,YG)的位置關系和bi桿的約束方程，有

展開并對時間求導得到

其中，分別為Bi點的橫坐標和縱坐標。為便于表達，將式（10）整理成以 X˙G、Y˙G、φ˙及 θ˙i為未知量的方程，系數 JXij、Jqij（i，j=1，2，3）組成了雅可比矩陣中的元素，即

則雅可比矩陣表示為

2 優化設計

2.1 優化設計目標

為了使機構獲得更好的性能，通常以機構的靈巧度和工作空間等作為衡量指標。

靈巧度衡量的是機構輸入速度與輸出速度關系的精度，靈巧度指標可以檢測機構是否處于奇異位置或接近奇異位置，表征靈巧度的指標有條件數和可操作度［13］。條件數定義如下：

其中，W 為加權矩陣，則有1≤κ(J)≤∞。取條件數的倒數為局部條件指標 ILCI，則0≤ILCI≤1，ILCI越接近1的位姿表明此處機構的運動性能越好，因此在工作空間V上的全局條件指標IGCI為

且 IGCI越接近1，機構的全局運動性能越好。為了體現條件數的整體分布情況，引入以下函數：

式中，ε為表征在整個可達工作空間內條件數的波動程度。

綜合這兩個指標，得到

式中，ξ、τi（i=1，2，3）分別是 ε、ξ、IGCI和工作空間的權重系數。

f函數的數值越小，ILCI的波動程度越小，全局條件數和機構的可達工作空間越大，因此以f作為目標函數，可同時考慮機構的靈巧度、波動程度及工作空間，得到較好的結果。

2.2 優化計算

遺傳算法是借鑒生物界自然選擇和自然遺傳機制發展起來的隨機全局搜索和優化的算法［14］，其運算過程不受所求解目標函數相關理論的影響，由此求出優化解，運算速度快而且結果比較可靠。本文采用遺傳算法進行優化。

假設3條支鏈桿件對應相等，以2.1節中計算的f為遺傳算法的適應度函數，進行基于一種十分通用的數值計算方法——蒙特卡羅法的桿件優化。模型參數中，α和 β的值分別是 π 9和4π/9 ，ξ和 τi（i=1，2，3）取值分別為 14、10、1和1/300，初始種群大小是50，選擇算子選擇隨機均勻分布，交叉概率為0.8，終止條件的停止代數為50，停滯代數為50，設計變量共4個，根據設計要求，自變量（單位mm）的取值范圍為

適應度函數取為f時，優化后的變量取值分別為R=100 mm，h=25 mm，ai=76 mm，bi=79 mm。由圖2可知，最佳適應度值為0.432 936，平均值為0.447 185。此外，隨著代數增多，最佳適應度函數值和平均適應度函數值逐漸接近，表明適應度函數已經收斂到優化解。

圖2 最佳適應度與平均適應度Fig.2 Best fitness and mean fitness

3 工作空間

采用一種通用的離散邊界搜索算法計算機構的工作空間，該算法直接依據運動學逆解和幾何約束條件，因此計算過程較簡單，計算時間可以顯著縮短。具體的計算和繪圖步驟如下：

（1）按照設計要求，分析并設計出該機構各個維度的參數。該機構屬于平面機構，所以應初步確定 Xmin、Xmax、Ymin、Ymax、φmin和 φmax的值。

（2）確定由機構桿件尺寸及運動副約束（主要指轉動副轉角限制）組成的幾何邊界條件，動平臺處于初始位置，為方便計算，初始位置設計為各個邊界的最小值所表示的位置。

（3）從動平臺的初始位置開始，分別設計出沿X軸、沿Y軸和繞Z軸的步距。一般地，為了得到更加精準的計算結果，步距應越小越好。在該案例中為計算定姿態的工作空間，沿X軸和Y軸的步距均為0.1 mm，φ設置為定值0°。

（4）增加步距，動平臺從初始位置或前一位置逐漸移動，由前面的分析求解該位置對應的運動學逆解。

（5）應用步驟（2）得到的機構應滿足的約束條件來檢驗動平臺的位姿是否在約束條件的邊界內部，若在邊界內部，則計數器（初始值為0）加1，然后返回步驟（4）；否則直接返回到步驟（4）。

（6）幾何邊界內的值已經被遍歷，動平臺到達工作空間的邊界，算法終止，于是可以繪制出機構的工作空間。

由該算法繪制機構的定姿態工作空間（φ=0），桿件尺寸取優化后的數值。不同位置下機構的工作空間見圖3。

圖3 機構的工作空間Fig.3 Workspaces of the mechanism

由圖3可知，案例中的3個工作空間都是對稱圖形，對稱軸數量分別為1、3、1。機構3條支鏈桿件尺寸分別對應相同時，機構的定姿態工作空間是可變的、對稱的。當α和 β在給定范圍內（-π/6≤α＜β≤π/2）取任意值時，機構恒具有對稱性，對稱軸的斜率為 tan((α+β)/2)。

4 性能分析

4.1 規避奇異位形區域

由1.3節求解出的雅可比矩陣能夠對機構的奇異性進行分析。該2-PRRR+RRR并聯機構的一個特例是平面3-RRR并聯機構（當滿足β-α=π/3時），文獻［15］中關于平面3-RRR并聯機構奇異位形的分析對該機構同樣適用。

（1）逆運動學奇異。當機構的任一支鏈完全伸展或者折疊時發生逆運動學奇異，即φi=0或π（i=1，2，3），當機構中分別有1、2或者全部支鏈出現這種情況時，并聯機構相應地失去1、2或3個自由度。

（2）正運動學奇異。當 B1C1、B2C2和 B3C3交于一點（圖4a）或者互相平行（圖4b）時，機構發生正運動學奇異。由于正運動學奇異的所有可能性不易直接羅列，這里僅僅給出了圖4的2種奇異位形。

圖4 正運動學奇異位姿Fig.4 Singular configurations of forward kinematic

（3）逆運動學奇異和正運動學奇異同時發生的情況稱為組合奇異，組合奇異受機構的尺寸和位姿的影響，因此設計時應避免會引起奇異的桿件尺寸關系。

上述奇異位形及其附近區域會對機構的運作及精確控制造成不利影響，而 A2和 A3處的移動副可以解決這一問題。當機構陷入奇異位形或臨近奇異位形區域時，A2和A3處的離合器接合，在電機的驅動下，齒輪副開始運轉，從而帶動A2點或 A3點沿圓弧軌道移動，此時θ2或θ3也在變化，雙重的變動使機構脫離奇異位形或奇異位形區域。然后，離合器分離，移動副的動力斷開且A2或A3點被鎖緊，機構可以重新正常作業。

當α和 β確定后，軌跡規劃中并聯機構需要經過奇異位形的情況下，可以選擇按照既定方案運動，在奇異位形附近，更改α或 β的值，以非奇異的位形實現該軌跡。這一特性體現了該并聯機構較強的運動能力，同時也表明該可重構并聯機構優于普通并聯機構。

4.2 轉動性能

如前所述，該可重構并聯機構和平面3-RRR并聯機構均屬于平面機構，具有2個移動自由度和1個轉動自由度。并聯機構在不同位置下的轉動性能對其應用影響較大，因此有必要討論該機構的轉動能力。此處以動平臺上繞C1點的φc=φmax-φmin值來表征機構的轉動性能。機構的桿件尺寸取值為R=130 mm，h=10 mm，ai=20 mm，bi=60 mm，i=1、2、3。忽略機構中間關節的轉角范圍，依據1.1節中的位置逆解分別計算2種機構在不同位置下的轉動能力，圖5a和圖5b所示分別表示3-RRR并聯機構和2-PRRR+RRR機構在不同位置的轉動能力，圖中每個位置的轉動能力為封閉幾何體的上界，即沿Z軸的最大值。對比可知：①相比平面3-RRR并聯機構，所設計機構可達工作空間明顯增大；②由計算可知，平面3-RRR并聯機構轉動能力最大值為3.665 2，且圖5a幾何體上平面較尖，表明只有小部分的位置能達到這種姿態范圍，而該機構大部分位置都可以達到6.283的轉動能力，因此圖5b幾何體的上平面接近水平；③同一位置點時，圖5b比圖5a的Z軸值大，表明在可達工作空間的同一位置，該機構能達到更大的轉角范圍。

4.3 容錯工作空間

圖5 轉動性能Fig.5 Rotation capability

并聯機構的驅動器和關節是故障多發部件，這些故障會對所設計機構的工作能力產生嚴重影響，還有可能造成較大的經濟損失，隨著機器人應用的領域越來越廣闊，這些問題得到了廣泛的關注。以下分兩種情況進行討論。

（1）關節 A1故障，此時 A1處關節被鎖緊，桿件 A1B1固定。假設θ1=π/3，C1點的軌跡在以B1(a cosπ/3,a sin π/3)為圓心、 ||B1C1為半徑的圓上。

（2）關節 B1故障，桿件 A1B1和 B1C1合為一個構件。如給定φ1=3π/2，A1B1C1形成一個三角形，由余弦定理可知，| A1C1|=，顯然，C1點的軌跡在以A1點為圓心以 | A1C1|為半徑的圓上。

同樣地，依據1.1節中的運動學逆解，分析2個并聯機構在A1點和B1點故障時G點的工作空間，分別見圖6、圖7。由圖6和圖7可知：①2個案例中3-RRR平面并聯機構G點位置均為一小段屬于右半部分的圓弧，而可重構并聯機構G點能達到的位置為幾個沒有交集的圓，并且前者軌跡包含在后者中；②可重構并聯機構G點位置在案例1中為5個圓和1段圓弧，案例2中為5個圓和3段圓弧，表明案例2下G點的工作空間更大，然而各圓或圓弧之間相互沒有交集，所以在不同位置故障時，G點運動受限，最大軌跡為1個圓；③案例1、2中，無論在何種位置故障，后者的工作空間總大于前者。

圖6 案例1的工作空間Fig.6 Workspace of case 1

圖7 案例2的工作空間Fig.7 Workspace of case 2

5 結論

（1）設計了一種機架可重構并聯機構——2-PRRR+RRR機構，機架重構過程是利用離合器系統與齒輪傳動系統相配合來實現1個驅動輸入2個運動輸出，且機構可同時對稱地改變可重構的2條支鏈，機構運動靈活、控制相對簡單。

（2）在運動學建模的基礎上，以同時考慮全局靈巧度及離散程度和工作空間的函數為優化目標，計算出了機構桿件尺寸，分析了其可達工作空間，驗證了提出的機構性能更加優良。

（3）由位置奇異分析可知，該機構可規避奇異位形區域，便于軌跡規劃，通過轉動能力分析表明該機構轉動性能較強，借助于機架重構功能，當部分關節發生故障時動平臺能達到比3-RRR機構更多的位姿，可靠性較高。

（4）如前所述的優點，該機構可用于物料拾取，后續也將探索配合具有可動的工件平臺組成4/5/6自由度的機構，擴大該機構的應用范圍。

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