纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼固有特性計(jì)算及驗(yàn)證

周正學(xué) 李 暉 薛鵬程 吳懷帥 陳姝瑤

1.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽(yáng)，110819 2.東北大學(xué)理學(xué)院，沈陽(yáng)，110819

0 引言

纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼相對(duì)于金屬薄殼，具有質(zhì)量小、耐腐蝕、絕緣性好等特點(diǎn)，被越來(lái)越多地應(yīng)用于航空航天、船舶、海洋工程、石油化工、兵器制造以及核工業(yè)等重要領(lǐng)域［1］。纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼通常處于一端約束的懸臂邊界條件下，如航空發(fā)動(dòng)機(jī)的機(jī)匣、復(fù)合鼓筒、復(fù)合雷達(dá)罩等［2］。復(fù)合薄殼的振動(dòng)問(wèn)題突出，容易產(chǎn)生共振、疲勞和損傷等故障［3-6］。對(duì)懸臂邊界下的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼固有特性進(jìn)行理論及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的研究還不夠完善，因此，研究懸臂邊界下纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的振動(dòng)特性問(wèn)題有著重要的工程及學(xué)術(shù)意義［7］。

固有特性是深入研究結(jié)構(gòu)系統(tǒng)振動(dòng)特性的基礎(chǔ)，對(duì)理論分析、動(dòng)態(tài)設(shè)計(jì)、故障診斷都有著重要的指導(dǎo)作用。長(zhǎng)期以來(lái)，國(guó)內(nèi)外學(xué)者在研究纖維增強(qiáng)復(fù)合材料薄殼的固有特性方面做了很多的工作，已經(jīng)取得了階段性的研究成果。AZARAFZA等［8］基于Love殼體理論，采用一階剪切變形理論分析了簡(jiǎn)支邊界下復(fù)合薄壁圓柱殼的固有特性問(wèn)題。LI等［9］采用傳遞矩陣以及有限元法求解了懸臂狀態(tài)下金屬薄壁圓柱殼的固有特性問(wèn)題，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)試對(duì)理論方法進(jìn)行了驗(yàn)證。RIBEIRO［10］將薄殼理論和一階剪切變形理論計(jì)算獲得的固有頻率，與有限元方法獲得的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，結(jié)果表明一階剪切變形理論的計(jì)算結(jié)果更加準(zhǔn)確。HASHEMIAN等［11］通過(guò)理論解析的方法計(jì)算獲得了復(fù)合實(shí)心薄圓柱殼和復(fù)合網(wǎng)狀薄圓柱殼的固有頻率，并采用有限元法對(duì)理論解析結(jié)果進(jìn)行了驗(yàn)證，最后發(fā)現(xiàn)，尺寸及物理參數(shù)相同時(shí)，網(wǎng)殼的固有頻率小于實(shí)心殼的固有頻率。CHEN等［12］利用Navier-Stokes理論和Flügge薄殼理論，對(duì)帶有阻尼層的復(fù)合薄殼的固有頻率影響因素進(jìn)行了分析，研究表明復(fù)合薄殼固有頻率隨涂層密度的增大而減小，隨涂層彈性模量的增大而增大。宋旭圓［13］采用Rayleigh-Ritz法研究了簡(jiǎn)支邊界條件下纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的固有特性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)纖維鋪設(shè)角度的變化對(duì)復(fù)合殼體振動(dòng)特性的影響呈明顯的周期性。項(xiàng)爽［14］通過(guò)數(shù)值積分方法，分析了簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支、自由-簡(jiǎn)支兩種邊界條件下纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的固有特性問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)隨著厚徑比的增大，簡(jiǎn)支-簡(jiǎn)支邊界條件下復(fù)合薄殼的固有頻率逐漸增大，而自由-簡(jiǎn)支邊界條件下復(fù)合薄殼的固有頻率卻逐漸減小。李學(xué)斌［15］采用分離變量法和Flügge經(jīng)典殼體理論，計(jì)算了正交各向異性圓柱殼在懸臂邊界條件下的固有頻率和模態(tài)振型，但僅獲得了量綱一固有頻率。戴亦俊［16］采用Donnell簡(jiǎn)化殼體理論，通過(guò)配點(diǎn)法計(jì)算了含有液體的復(fù)合薄殼的固有頻率和模態(tài)振型，并將其與實(shí)驗(yàn)求得的頻率進(jìn)行比較，結(jié)果表明，復(fù)合殼內(nèi)液體會(huì)使圓柱殼的固有頻率下降，且含水量越大，其各階固有頻率越低。樓玲娜［17］利用Donnell殼體理論得出殼體振動(dòng)方程，并研究了纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼在懸臂邊界條件下的固有特性，但沒(méi)有將計(jì)算結(jié)果與其他相關(guān)論文或?qū)嶒?yàn)進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證。

雖然人們已對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的固有特性進(jìn)行了深入研究，但上述研究工作絕大部分針對(duì)理想的邊界條件，在懸臂狀態(tài)下通過(guò)理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合的方法對(duì)其固有特性進(jìn)行研究的較少，且絕大多數(shù)文獻(xiàn)得出的頻率多為量綱一頻率，并未得到實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)驗(yàn)證。為此，有必要繼續(xù)研究懸臂邊界下該類(lèi)型復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的固有特性。

本文對(duì)懸臂狀態(tài)下纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的固有頻率和模態(tài)振型進(jìn)行了計(jì)算及實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。在考慮纖維增強(qiáng)復(fù)合材料纖維方向影響的前提下，對(duì)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼進(jìn)行了理論建模，并采用正交多項(xiàng)式法來(lái)表示復(fù)合薄殼的振型函數(shù)，隨后通過(guò)Ritz法對(duì)該類(lèi)型復(fù)合薄殼的固有頻率進(jìn)行了求解。將計(jì)算獲得的某階固有頻率對(duì)應(yīng)的特征向量回代入振型函數(shù) u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和 w(x,θ,t)中，即可獲得復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)的某階模態(tài)振型，重復(fù)以上步驟可獲得復(fù)合薄殼的各階固有頻率。

1 固有特性理論計(jì)算

1.1 理論建模

所研究的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼是由N層具有正交各向異性的纖維和基體材料組合而成的（圖1）。首先，將復(fù)合薄殼的中面作為參考平面，建立XθZ坐標(biāo)系。纖維方向與整體坐標(biāo)系 X軸方向的夾角為 β，殼體長(zhǎng)為 L，中面半徑為R，殼體厚度為h，每一層位于Z坐標(biāo)軸較低表面hk-1和較高表面hk之間，每層的厚度均相同。圖1中，1代表纖維縱向，2代表纖維橫向。假設(shè)纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼平行纖維方向的彈性模量為E1，垂直纖維方向的彈性模量為E2，1-2平面內(nèi)的剪切彈性模量為G12，1方向作用應(yīng)力引起1、2方向應(yīng)變的泊松比為 μ1，2方向作用應(yīng)力引起1、2方向應(yīng)變的泊松比為 μ2。

圖1 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼理論模型Fig.1 The theoretical model of FRCS

根據(jù)板殼振動(dòng)理論，將位移場(chǎng)寫(xiě)為

其中，u、v、w分別為殼內(nèi)任意一點(diǎn)在 X、θ、Z三個(gè)方向的坐標(biāo)位置；n為圓柱殼的周向波數(shù)；ω為復(fù)合材料層圓柱殼的固有圓頻率；U(x)為 X方向的振型函數(shù)；V(x)為θ方向的振型函數(shù)；W(x)為Z方向的振型函數(shù)。

對(duì)于正交各向異性材料，平面應(yīng)力狀態(tài)主方向有下列關(guān)系：

當(dāng)材料主軸與整體坐標(biāo)系之間有一定夾角β時(shí)，用應(yīng)力-應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式計(jì)算得到第k層殼體在整體坐標(biāo)系下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

式中，βk為第k層薄殼的纖維方向與整體坐標(biāo)系X軸的夾角。

薄殼振動(dòng)的動(dòng)能

其中，ρ為纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的密度。

彈性體因受力變形而在結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)變和應(yīng)力，所以使結(jié)構(gòu)內(nèi)部產(chǎn)生了變形勢(shì)能。根據(jù)板殼振動(dòng)理論假設(shè)，薄壁圓柱殼的應(yīng)變能EU為

根據(jù)Love殼體理論，可得

纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)的薄膜剛度矩陣為

其中，第k層的較高表面、較低表面到參考平面的距離分別為Hk與 Hk-1。

將位移公式（式（1））和應(yīng)力公式（式（3））代入式（4）、式（5），可以得到復(fù)合薄殼的動(dòng)能和應(yīng)變能：

1.2 Ritz法求解

由于解析法很難得到懸臂薄殼的精確解，故本文采用Ritz近似解法。根據(jù)Ritz法，中面位移為

其中，aM、bM、cM為系數(shù)；ψu(yù)(ξ)、ψv(ξ)、ψw(ξ)是滿足幾何邊界條件與力學(xué)邊界條件正交的Schmidt函數(shù)，ξ=x/L；T為通過(guò)Ritz法截取的項(xiàng)數(shù)。

本文通過(guò)對(duì)滿足懸臂邊界條件的多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行正交化處理，來(lái)獲得一系列的正交多項(xiàng)式：

將式（10）代入式（8）、式（9），得到用待定參數(shù)aM、bM、cM表示的應(yīng)變能和動(dòng)能表達(dá)式，即可得到最大應(yīng)變能 EUmax和最大動(dòng)能 Ekmax的表達(dá)式。那么，能量方程為

采用Ritz法對(duì)式（11）進(jìn)行求解，可以得到

由式（12）可得到由3個(gè)方程組成的方程組，將此方程組采用矩陣的表達(dá)，可以得到特征方程：

式中，K、M分別為結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣；q為特征向量，q=(aM,bM,cM)Τ。

此時(shí)，K、M中的元素是所有待定參數(shù)的系數(shù)。為保證式（13）有解，需要系數(shù)矩陣的行列式為0，即

最后，對(duì)式（14）進(jìn)行求解可得到特征方程的特征值，此特征值即為復(fù)合薄殼的某階次固有頻率。通過(guò)改變圓柱殼的周向波數(shù)n，并重復(fù)式（10）～式（14）的步驟可依次獲得各階模態(tài)的固有頻率。式（10）中，T的取值越大，固有頻率計(jì)算結(jié)果就越精確，通常取T=8即可達(dá)到足夠的精度。最后，將計(jì)算獲得的某階固有頻率對(duì)應(yīng)的特征向量代入振型函數(shù) u(x,θ,t)、v(x,θ,t)和w(x,θ,t)，即可獲得復(fù)合薄殼結(jié)構(gòu)的某階模態(tài)振型。反復(fù)將獲得的不同階次的固有頻率代入式（13），可得到不同階次固有頻率對(duì)應(yīng)的特征向量，將特征向量代入振型函數(shù)，就可依次獲得所關(guān)注的全部振型。

2 固有特性求解流程

2.1 輸入復(fù)合薄殼的幾何參數(shù)和材料參數(shù)

給出纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的長(zhǎng)度、半徑、厚度及每層纖維角度等幾何參數(shù)。然后，輸入纖維縱向和纖維橫向的彈性模量、剪切模量、泊松比和密度等材料參數(shù)，為后續(xù)動(dòng)能和應(yīng)變能的計(jì)算做好準(zhǔn)備。

2.2 計(jì)算獲得最大動(dòng)能

將位移（式（1））代入動(dòng)能表達(dá)式（式（4）），得到用中面位移表示的動(dòng)能的一般表達(dá)式，然后基于正交多項(xiàng)式法表示振型函數(shù)，并令表達(dá)式中的諧波分量 sin ωt=1，即可得到最大動(dòng)能的表達(dá)式。

2.3 計(jì)算獲得最大應(yīng)變能

在考慮纖維方向與整體坐標(biāo)系X軸方向夾角θ的基礎(chǔ)上，首先利用應(yīng)力-應(yīng)變轉(zhuǎn)軸公式計(jì)算獲得每一層鋪層的應(yīng)力（式（3）），隨后將應(yīng)力、應(yīng)變代入式（5）即可獲得每一層對(duì)應(yīng)的用中面位移表示的應(yīng)變能。然后，將每一層的應(yīng)變能進(jìn)行疊加，即可得到總應(yīng)變能表達(dá)式。最后采用正交多項(xiàng)式來(lái)表示振型函數(shù)，并將其代入總應(yīng)變能表達(dá)式中，可求得最大應(yīng)變能。

2.4 采用Ritz求解固有頻率和模態(tài)振型

將上述步驟中計(jì)算獲得的最大動(dòng)能和最大應(yīng)變能代入式（11），可以獲得能量方程的表達(dá)式。根據(jù)Ritz法，將能量函數(shù)Π對(duì)所有待定參數(shù)求偏導(dǎo)，可以得到薄殼振動(dòng)的特征方程（式（13）），對(duì)此特征方程求解特征值，可獲得纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼的一階固有頻率，通過(guò)改變圓柱殼的周向波數(shù)n，并重復(fù)式（10）～式（14）的步驟可依次獲得各階模態(tài)的固有頻率。最后將求得的固有頻率對(duì)應(yīng)的特征向量代入振型函數(shù)中，即可獲得復(fù)合薄殼的全部振型。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

本文以T300碳纖維/環(huán)氧樹(shù)脂基復(fù)合薄殼為研究對(duì)象，對(duì)其固有特性進(jìn)行了測(cè)試，薄殼長(zhǎng)度為150 mm，內(nèi)半徑為132.5 mm，厚度為3 mm，安裝邊半徑為165 mm，安裝邊厚度為7 mm，密度ρ=1 570 kg/m3，纖維縱向彈性模量E1=134 GPa，纖維橫向彈性模量E2=8.5 GPa，剪切模量G12=3.36 GPa，泊松比 μ1=0.30。該類(lèi)型復(fù)合薄殼為對(duì)稱正交鋪設(shè)，即[±4512]，共有24層，且每一鋪層具有相同的厚度和纖維體積分?jǐn)?shù)。

本文研究的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄壁圓柱殼的一端帶有安裝邊，在圓環(huán)壓板上擰緊12個(gè)M10螺栓來(lái)將復(fù)合圓柱殼固定到一個(gè)剛性和質(zhì)量都很大的夾具平臺(tái)上，夾具平臺(tái)通過(guò)多組螺栓實(shí)現(xiàn)與振動(dòng)臺(tái)臺(tái)面的剛性連接。固定12個(gè)M10螺栓時(shí)，采用對(duì)稱安裝的方式，即先安裝兩個(gè)相對(duì)的螺栓，并不完全擰緊，當(dāng)12個(gè)螺栓全部采用對(duì)稱安裝的方式固定之后，再用定力矩扳手以70 N·m的力矩將其擰緊，以此來(lái)保證較好的懸臂約束效果。

為了驗(yàn)證本文所提出的懸臂邊界下纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼固有頻率計(jì)算方法的正確性，搭建了圖2所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)來(lái)測(cè)試其固有頻率和振型。采用多點(diǎn)激勵(lì)單點(diǎn)響應(yīng)測(cè)試的方法，對(duì)復(fù)合薄殼進(jìn)行模態(tài)測(cè)試。

首先，建立其線框模型，并在模型上以每隔5°的間隔來(lái)設(shè)定錘擊點(diǎn)。然后，分別在復(fù)合圓柱殼的上、中、下3個(gè)圓周位置進(jìn)行錘擊法模態(tài)實(shí)驗(yàn)，測(cè)點(diǎn)總數(shù)為216。實(shí)際測(cè)試時(shí)，通過(guò)PCB 208C03模態(tài)力錘對(duì)復(fù)合薄殼進(jìn)行脈沖激勵(lì)，使用Polytec PDV-100激光多普勒測(cè)振儀來(lái)獲取其振動(dòng)響應(yīng)，同時(shí)利用LMS16通道數(shù)據(jù)采集儀來(lái)獲得激勵(lì)和響應(yīng)信號(hào)。表1給出了測(cè)試獲得的前8階固有頻率和振型。同時(shí)，為了便于比較，將通過(guò)MATLAB程序獲得的復(fù)合薄殼固有頻率的計(jì)算結(jié)果也列入表1，并對(duì)其誤差進(jìn)行了詳細(xì)分析，表中的m、n分別為軸向半波數(shù)和周向波數(shù)。

圖2 纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼固有特性測(cè)試系統(tǒng)Fig.2 Natural characteristic test system of FRCS

通過(guò)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比可知，基于正交多項(xiàng)式法的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼固有頻率計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的誤差范圍是2.2%～9.3%，處于誤差允許的范圍內(nèi)，且計(jì)算振型也與測(cè)試振型結(jié)果吻合度很高，進(jìn)而驗(yàn)證了所提出的固有特性計(jì)算方法的正確性，利用本文所提出計(jì)算方法可以較好地實(shí)現(xiàn)懸臂邊界下該類(lèi)型復(fù)合薄殼固有特性的分析與預(yù)測(cè)。固有頻率的誤差可能來(lái)自于理論建模和實(shí)驗(yàn)測(cè)試兩個(gè)方面。理論誤差包括在建模過(guò)

表1 計(jì)算和測(cè)試獲得的纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼前8階固有頻率和模態(tài)振型Tab.1 The first 8 natural frequencies and modal shapes of FRCS obtained by calculation and test

程中沒(méi)有考慮橫向剪切應(yīng)力、纖維排列不規(guī)則、界面缺陷、殘余應(yīng)力以及復(fù)合材料參數(shù)分散性的影響；實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的諸多因素也會(huì)導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生，如測(cè)試時(shí)的邊界條件（夾具夾緊程度）不準(zhǔn)確、儀器靈敏度漂移、錘擊點(diǎn)偏離、實(shí)驗(yàn)方法不當(dāng)?shù)仍斐傻挠绊憽?/p>

4 結(jié)論

（1）推導(dǎo)了具有k層纖維增強(qiáng)薄殼的應(yīng)變能和動(dòng)能，并計(jì)算了懸臂狀態(tài)下纖維增強(qiáng)薄殼的固有頻率和振型。

（2）給出了計(jì)算纖維增強(qiáng)復(fù)合薄殼固有特性的4個(gè)關(guān)鍵步驟：輸入復(fù)合薄殼的幾何參數(shù)和材料參數(shù)；獲得復(fù)合薄殼的最大動(dòng)能；獲得復(fù)合薄殼的最大應(yīng)變能；求解固有頻率和振型。

（3）以TC300碳纖維/樹(shù)脂復(fù)合薄殼為研究對(duì)象，計(jì)算獲得了其固有頻率和振型，并將其與測(cè)試結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，固有頻率誤差范圍是2.2%～9.3%，且計(jì)算振型也與測(cè)試振型結(jié)果吻合得很好，驗(yàn)證了理論計(jì)算方法的正確性。

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