流向圖在行星齒輪箱故障診斷中的應用

于 軍 于德水

1.哈爾濱理工大學自動化學院，哈爾濱，150080 2.哈爾濱工業大學機電學院，哈爾濱，150001

0 引言

行星齒輪箱具有設計緊湊、傳動比大和承載能力強等特點，廣泛應用于風力發電機、車輛或直升機等設備的機械傳動系統中［1-3］。然而，由于長期在高速重載等復雜惡劣工況下運行，行星齒輪箱極易出現各種故障［4］，從而造成設備停產，所以，行星齒輪箱的故障診斷具有十分重要的工程意義和應用價值。

近年來，行星齒輪箱的故障診斷已逐漸成為國內外研究的熱點之一，許多方法已應用于行星齒輪箱的故障診斷中，如人工神經網絡（artificial neural networks，ANNs）、證據理論（D-S evidence theory，DST）和支持向量機（support vector ma?chine，SVM）等。ANNs因其簡單的結構，快速的訓練過程和良好的擴展能力，已成功應用于行星齒輪箱的故障診斷中［5］，但其診斷過程難于理解，且較難確定其結構和參數。DST利用先驗概率分配函數獲得后驗概率的證據區間，并量化命題的可信度與似然率，其最大特點是在證據中引入了不確定性；因此DST為行星齒輪箱的故障診斷提供了一種新的解決思路［6-7］。然而，在基于DST的故障診斷框架中，各命題的基本概率分配函數依然難以確定；在合成高度沖突的證據時，得到的故障診斷結果往往有悖常理。SVM已發展為非常有效的行星齒輪箱故障診斷方法［8-9］，它采用結構風險最小化原理，將低維數據映射到高維空間，通過最優超平面將數據分類，具有極高的推理準確性和良好的適應能力，且非常適合處理小樣本數據，但其最優超平面確定過程需要較長時間，且依賴于操作者的經驗并需反復實驗。

流向圖是由波蘭學者PAWLAK［10］在2002年首次提出的一種新型知識表示和數據分析工具。它主要由節點、有向分支和流函數三部分組成。作為粗糙集理論的擴展，其特點在于有向分支簡潔地描述信息的分布，具有直觀的知識表示和存儲特性，能夠以圖形化的方式描述決策過程。因此，流向圖被廣泛應用于知識表示、數據挖掘和模式識別［11］等領域。但流向圖在機械故障診斷方面的應用還較少。

為此，本文提出了一種基于流向圖的行星齒輪箱故障診斷方法。

1 流向圖

1.1 流向圖定義

流向圖是一種有向、非循環圖G=(N,B,ψ)，其中N為節點集，B?N×N為有向分支集，ψ：B→R+定義為流量，R+為非負實數集。若(x,y)∈B，那么 x是 y的輸入節點，由 I(y)表示；y是x的輸出節點，由O(x)表示。流向圖G的輸入和輸出分別為 I(G)={x∈N|I(x)=?}和O(G)={x∈N|O(x)=?}。若分支 (x,y)∈B，那么 ψ(x,y)被稱為從節點x到節點 y的流量。我們假設對于任意分支 (x,y)∈ B ，其流量 ψ(x,y)≠0［12］。

對于流向圖G的每一個節點x，它的輸入流量和輸出流量分別為為標準化流向圖，σ：B→［0，1］定義為流函數，對于 (x,y)∈B ，其流函數為σ(x,y)=ψ(x,y)/ψ(G)。對于流向圖G中的每一節點，其流函數為 σ+(x)=ψ+(x)/ψ(G)=對于任一內部節點 x,σ+(x)=σ-(x)=σ(x)，其中σ(x)為節點 x 的流函數［13］。

1.2 流向圖約簡

流向圖中節點間的聯系可用路徑來描述。設流向圖G=(N,B,σ)，一條從節點 x到節點 y的有向路徑定義為一系列相關聯的節點x1，x2，…，xn，其中 x≠y，xi=x，xn=y，且1≤i≤n，此路徑可表示為 (x,…,y)［13］。若路徑 (x,…,y)的節點x和 y分別為流向圖G的輸入和輸出節點，那么路徑(x,…,y)為完整路徑。

設流向圖 G=(N,B,σ)，σ：B →［0，1］為流函數，C和D為征兆屬性層集合和決策屬性層，U為路徑集合。如果C(p)→D(p)表示一條完整路徑 p，其中 p∈U,C(p)=?(a,v)，a∈C,d∈D,a(p)=v,d(p)=w ，那么 suppp(C,D)=|C(p)∩D(p)|為路徑 p的支持度，其中|X|表示變量 X的基數。路徑 p的一致性因子為γ(p)=suppp(C,D)/suppp(C)。流向圖G的一致性因子為所有路徑的一致性因子的集合［14］。

1.3 流向圖分類決策

流向圖是決策表直觀的知識表示和知識獲取工具。決策表中的每個實例均可由流向圖中的完整路徑表示。如果根據實例的條件屬性值，利用挖掘出的決策知識識別出實例的決策屬性值，那么便可實現流向圖分類決策。完整路徑是由相關節點構成的。這些相關節點間具有有向分支，所以完整路徑的置信度定義如下［12］：

其中，card((c1(x),c2(x),…,cm(x),dj))表示滿足路徑屬性值節點的實例數；card((c1(x),c2(x),…,cm(x)))表示滿足路徑條件部分節點的實例數。路徑的置信度代表利用此路徑進行分類決策的可靠程度。

路徑的覆蓋度定義如下［12］：

其中，card((dj))為滿足路徑決策部分節點的實例數。路徑的覆蓋度代表此路徑在流過其決策屬性節點的路徑中所占的比重。

2 基于流向圖的行星齒輪箱故障診斷方法

為使故障診斷過程更直觀，本文提出基于流向圖的行星齒輪箱故障診斷方法，該方法的流程見圖1。首先，將提取的特征數據分為訓練實例和待診實例；然后，根據訓練實例構建流向圖；并根據流向圖約簡算法獲得最簡流向圖；最后，根據流向圖的分類決策算法獲得待診實例的故障類型。

圖1 行星齒輪箱故障診斷方法Fig.1 Fault diagnosis method of planetary gearbox

2.1 流向圖構建算法

流向圖是決策表的一種圖形化的表示工具，其節點和有向分支可直觀地表示出屬性值以及它們之間的聯系，因此，將故障診斷決策表構建為流向圖能更加直觀地表示故障診斷信息。流向圖的構建算法如下：

（1）構建流向圖節點 N=NC∪ND，其中，NC為征兆屬性節點集，ND為決策屬性節點集；

（2）根據決策表中的決策規則從左至右依次連接各節點，從而形成有向分支集B；

（3）累計節點和有向分支的流過次數，獲得節點流量ψ(x)和有向分支流量ψ(x,y)；

（4）計算節點流函數σ(x)和有向分支流函數σ(x,y)，并分別標記于節點下方和有向分支上方，獲得標準化流向圖G；

（5）計算有向分支 (x,y)∈B的置信度cer(x,y)和覆蓋度cov(x,y)，并標記于有向分支上方。

2.2 流向圖約簡算法

對于最初構建的流向圖而言，它一般包含大量不必要的征兆屬性節點，這些節點會影響知識表示的復雜程度，降低分類效率，所以，有必要對構建的流向圖進行節點約簡。約簡的目的是在保持流向圖分類決策能力的前提下，去掉不必要的征兆屬性節點，以簡潔的形式表示屬性之間的因果關系。流向圖的約簡算法如下：

（1）計算流向圖G中所有路徑的一致性因子γ；

（3）刪除該征兆屬性節點n，以及與它相連的有向分支B，構建新流向圖G′；

（4）計算新流向圖G′中所有路徑的一致性因子 γ′；

（5）如果一致性因子 γ≤γ′，那么節點n可以刪除，否則節點n不可刪除；

（6）對其他征兆屬性節點重復步驟（3）～步驟（5），直至最后一個征兆屬性節點；

（7）刪除所有可刪除的征兆屬性節點，獲得最簡流向圖G″。

2.3 流向圖分類決策算法

流向圖中的置信度和覆蓋度是對路徑的定量刻畫，路徑的置信度越大，依據此路徑做出的故障判斷越可靠。當路徑的覆蓋度小于1時，表明由此路徑判斷的故障對應多種情況。可通過路徑的置信度對實例進行分類決策，通過覆蓋度對由路徑做出的分類決策進行定量評價。流向圖的分類決策算法如下：

（1）根據待診實例的完整路徑(ci(x),dj)，i=1，2，…，m，計算完整路徑的置信度 cer(ci(x),dj)，j=1，2，…，n。

經過50 余年的開發，大港油田積累了海量的地震、鉆井、測井、錄井、修井、分析化驗、開發動態數據，并且這類數據仍在規模增長。在低油價下，隨勞動用工總量的減少，油藏綜合研究和管理的工作量大幅度增加。

（2）根據置信度cer(ci(x),dj)的大小，確定待診實例的故障類型。故障類型為最大的cer(ci(x),dj)的節點dj所表示的故障類型。

（3）計算完整路徑的覆蓋度，將完整路徑的置信度和覆蓋度用于分類決策的量化評價指標。

3 仿真信號分析

本文利用行星齒輪箱故障振動仿真信號驗證本方法的有效性。故障振動仿真信號由調幅和調頻兩部分組成，模型簡化為［15］

令調幅調頻強度 E=0.6，F=0.05，嚙合頻率fm=(50 3)fg，采樣頻率為2 048 Hz，采樣長度為204 800點。h(t)為局部故障的時變效應，隨故障位置（太陽輪、行星輪、內齒圈）而變化［15］。

根據本文提出的行星齒輪箱故障診斷方法進行仿真信號分析。由于db8小波包三層分解的重構誤差最小，因此本文采用db8小波包提取故障特征［11］。選取峭度、波形指標、峰值指標、裕度因數、脈沖指標、幅值譜幅值和作為行星齒輪箱的6個故障特征，并進行離散化處理。然后，將每種故障的樣本分成100組，80組看作訓練實例，20組看作待診實例，利用訓練實例進行流向圖構建和約簡。最后，利用約簡后的流向圖判斷待診實例的故障類型，準確率與訓練實例數之間的關系見圖2。待診實例診斷準確率隨訓練實例數的增加而提高。當訓練實例數大于200時，準確率趨于穩定，當訓練實例數大于180時，待診實例的診斷準確率依然很高。該方法可獲得令人滿意的診斷效果。

圖2 準確率與訓練實例數之間的關系Fig.2 Relationship between accuracy and training case number

4 實驗驗證

4.1 實驗設備

本實驗在哈爾濱理工大學研發的行星齒輪箱故障診斷試驗臺（圖3）上進行。其中，可調速三相交流電機用作驅動裝置，行星齒輪箱輸入軸通過2個聯軸器和1個短軸與三相交流電機的輸出軸相連，負載電機通過聯軸器與行星齒輪箱的輸出軸相連。為了模擬行星齒輪箱的齒輪故障，分別在行星齒輪箱的太陽輪、行星輪和內齒圈上人為加工斷齒故障。行星齒輪箱上方的加速度傳感器用于采集行星齒輪箱的振動加速度信號，采樣頻率為5 120 Hz，采樣長度為20 480點。三相交流電機的輸出轉速分別調節到75 r/min、150 r/min、300 r/min，實驗中加入負載電機和不加入負載電機，據此模擬了6種不同的行星齒輪箱運行工況。每種運行工況采集8組樣本，每種齒輪可獲得48組樣本，4種狀態的行星齒輪箱可獲得192組樣本。

圖3 行星齒輪箱故障診斷試驗臺Fig.3 Experimental platform for fault diagnosis of planetary gearbox

4.2 故障特征提取

本實驗將利用db8小波包提取的峭度、波形指標、峰值指標、裕度因數、脈沖指標、幅值譜幅值和，這6個故障特征分別用符號 xq、K、O、L、P、Q表示。提取的故障特征為連續變量，所以需進行離散化處理。如圖4所示，峭度值主要分布在3個區域內，即 xq（1）=［-0.5，0.5）、xq（2）=［0.5，1.3）、xq（3）=［1.3，1.8］。通過此離散化原理，另外5個故障特征的特征值能被分配到3～4個區域內，從而實現連續變量的離散化，降低計算復雜度。在離散化后，這6個故障特征形成故障征兆屬性，用于判斷行星齒輪箱的4種狀態。決策屬性值為行星齒輪箱的4種狀態，并分別用符號N、F1、F2、F3表示。

圖4 峭度值分布Fig.4 Kurtosis value distribution

4.3 結果與討論

4種狀態的行星齒輪箱一共可獲得192組樣本。本實驗將其中的144組樣本看作訓練實例，將剩下的48組樣本看作待診實例。可根據流向圖構建算法，利用故障特征提取后的訓練實例構建行星齒輪箱故障診斷流向圖，結果見圖5。圖中 xq、K、O、L、P、Q這6層表示行星齒輪箱的故障征兆屬性，其中的每個節點表示1個故障征兆屬性值。圖5中D層表示行星齒輪箱的故障類型。征兆屬性節點的流函數標于節點下方。

圖5 行星齒輪箱故障診斷流向圖Fig.5 Flow graph for fault diagnosis of planetary gearbox

圖5 中包含大量不必要的征兆屬性節點，因此采用流向圖約簡算法對行星齒輪箱故障診斷流向圖進行約簡，約簡結果見圖6。由圖6可以看出，僅剩下5個故障征兆屬性層和14個故障征兆屬性節點，冗余或不相關的故障征兆屬性節點被合理刪除。

圖6 約簡后的行星齒輪箱故障診斷流向圖Fig.6 Flow graph for fault diagnosis of planetary gearbox after reduction

約簡后流向圖的最小約簡以路徑的形式表示，見表1。表1是對故障診斷知識的直觀表示和精煉概括，可作為行星齒輪箱故障診斷的重要依據。

表1 約簡后流向圖的最小約簡Tab.1 Minimal reduct of flow graph after reduction

下面根據流向圖分類決策算法對48組待診實例進行診斷，驗證算法的準確性。待診實例的置信度和覆蓋度見表2。由表2可以看出，置信度和覆蓋度是對路徑的定量描述。可根據路徑置信度對待診實例做出故障判斷。行星齒輪箱分類決策結果見表3。由表3可看出，本文提出的故障診斷方法具有極高的準確率。行星齒輪箱4種狀態的平均準確率分別達到93.75%、95.83%、95.83%和97.92%，因此，本文提出的故障診斷方法能夠獲得滿意的診斷效果。

表2 待診實例的置信度和覆蓋度Tab.2 Certainty degree and coverage degree of test cases

表3 行星齒輪箱分類決策結果Tab.3 Classification decision results of planetary gearbox

為了進一步驗證本文提出的故障診斷方法的效果，將該方法與人工神經網絡（ANNs）和支持向量機（SVM）在準確率方面進行對比。訓練與待診實例數之比分別為2∶1、3∶1、5∶1，3種方法的平均準確率見圖7。由圖7可以看出，3種方法的平均準確率隨樣本數之比的提高而上升。當實例數之比為5∶1時，3種方法均獲得最優的診斷效果。在3種實例數之比相等的情況下，本文提出的故障診斷方法的平均準確率均超過另外2種方法。該方法在準確率上優于另2種方法的原因在于，流向圖約簡是在保持分類決策能力的前提下，刪除不必要的征兆屬性節點，以簡潔的形式表示節點間的因果關系，這樣可排除冗余或不相關節點的干擾，減少分類決策過程中輸入節點的數量，降低計算復雜度，提高故障診斷的準確率。

圖7 3種方法的平均準確率Fig.7 Average accuracy of 3 methods

5 結論

（1）流向圖是一種直觀的知識表示工具，以節點的形式表示出屬性值，可定量刻畫信息流過節點和有向分支的強度，以及節點間的聯系。與決策表相比，流向圖的知識表達形式更加清晰，便于用戶理解和分析。

（2）流向圖約簡算法是在保持流向圖分類決策能力的前提下，去掉不必要的征兆屬性節點，以簡潔的形式表示屬性之間的因果關系，減少分類決策過程中輸入節點的數量，降低計算復雜度，提高運算效率和準確率。

（3）流向圖分類決策算法通過路徑的置信度對實例進行分類決策，通過覆蓋度對由路徑做出的分類決策進行定量評價，該決策算法的計算量較小，分類決策的策略清晰。

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