例談函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的分類討論策略

盧云輝

(福建省廈門(mén)市松柏中學(xué) 361012)

我國(guó)著名數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)先生在《談怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》中提到,要做高質(zhì)量的數(shù)學(xué)題目,要善于獨(dú)立開(kāi)展解題活動(dòng),對(duì)待問(wèn)題的觀點(diǎn)是要從正面、反面各個(gè)角度多想想,要善于找到它們之間的聯(lián)系,總結(jié)出規(guī)律性的東西.本文對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中的分類討論策略進(jìn)行整理與歸納,便于讀者參考與借鑒.

分類討論實(shí)質(zhì)是一種“化整為零，各個(gè)擊破，再積零為整”的解題策略.解題步驟大致為:①確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行分類;②分類進(jìn)行討論,獲取分類成果;③綜合得出結(jié)論.

(1)若函數(shù)f(x)的最小值為0,求a的值;

(2)證明:.ex+(lnx-1)sinx>0.

(2)當(dāng)x>0時(shí),ex>0,而(lnx-1),sinx有正有負(fù).討論sinx的正負(fù)分為0

點(diǎn)評(píng)當(dāng)某一項(xiàng)正負(fù)值不能確定時(shí)可以采用分類討論策略.如本題中當(dāng)x>0時(shí),ex>0而(lnx-1),sinx,有正有負(fù),討論sinx的正負(fù)分為0

例2 (2017年廈門(mén)市高二年第二學(xué)期質(zhì)檢理)已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)-ax,a∈R.

(1) 討論f(x) 的極值;

(其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))

①當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)>0，f(x)在(-1,+∞)上單調(diào)遞增，無(wú)極值.

綜上可得，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)無(wú)極值；當(dāng)a>0時(shí),

f(x)有極大值-lna+a-1，無(wú)極小值.

記F(x)=ln(x+1)-axex(x≥0)，

只需F(x)max≤0.

所以F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，故當(dāng)x≥0時(shí)，F(xiàn)(x)≤F(0)=0，符合題意.

當(dāng)0

所以g′(x)=-a(x+1)(x+3)ex<0，g(x) 在[0,+∞)上單調(diào)遞減.

當(dāng)0g(x0)=0，

分類討論不僅是一種典型的邏輯方法,而且也是一種非常重要的數(shù)學(xué)思想,這是因?yàn)閿?shù)學(xué)自身的概念、定理、公式、法則、性質(zhì)等有不少都是分類規(guī)定或研究的.而數(shù)學(xué)解題作為一個(gè)思維過(guò)程,其最大的特點(diǎn)在于它是一個(gè)漸進(jìn)的、曲折的過(guò)程.在解復(fù)雜問(wèn)題過(guò)程中,我們需要套路,但又不能拘泥于套路.否則,套路可能遮蔽我們的眼睛,這就是數(shù)學(xué)解題的辯證法.

參考文獻(xiàn)：

[1]劉文杰.高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課模式的探究:《函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用》課堂教學(xué)設(shè)計(jì)案例[J].課程教育研究,2013(08).