運用分類討論思想速解函數問題

李麗偉

摘要：在平時的教學中，我發現很多學生學習函數部分比較吃力，解題的過程中總會遇到一些題目考慮不全，丟解的情況，怎樣才能避免此類情況的發生，提高他們解題的準確性、速度呢？這就需要對問題進行分類討論加以研究，為了讓大家清楚，僅就部分內容給您展示一下分類討論思想在函數學習中的運用。

關鍵詞：分類討論思想；函數

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578（2018）02-0254-02

現就常涉及到的分類討論知識歸納如下：

1.題目中的函數本身是以分段形式給出的，解題時涉及到這類已知函數值或函數值取值范圍的，求變量取值或取值范圍的一定注意別忘記分類討論。

1.1 （2011遼寧理）設函數f（x）=21-x，x≤11-log2x，x>1，則滿足f（x）≤2的x的取值范圍是（ ）。

A.[-1，2] B.[0，2] C.[1，+∞] D.[0，+∞]

分析：因為f（x）=21-x1-log2x，x>1為分段函數，所以f（x）≤2應用兩種情況。

解：由題意知，21-x≤2x≤1或x>11-log2x，x≤2解得x≥0，x≤1即0≤x≤1，而1-logx2≤2可化為logx2≥-1=log122，得x≥12，因此解x>11-log2x≤2得x>1，x≥0綜上可知，故選D。

1.2 （2011浙江理）設函數 f（x）=-x，x≤0，x2，x>0.若f（α）=4，則實數α =（ ）

A.-4或-2 B.-4或2 C.-2或4 D.-2或2

解：由α≤0，-α=4，或α>0，α2=4，得α=-4或α=2。故選B

2.冪函數型題目的定義域、奇偶性、單調性等要看冪指數

定義的給出是有條件限制的或分類給出的，就一定需要分類討論了。

2.1 當m= ____________時，函數f（x）=（m+3）x2m+1+4x-5（x≠0）是一次函數。

分析：考慮此函數的定義表達式，觀察f（x）=m+3x2m+1+4x-5（x≠0）的特點，未知數x的系數和指數均含字母入手，與一次函數表達式對照即可。若（m+3）x2m+1該項為常數項f（x）為一次函數，若（m+3）x2m+1不為常數項且2m+1=1也可能符合。

解：當m+3=0時，即m=-3，函數f（x）=4x-5為一次函數；當2m+1=0時 ，即m=-1 2， f（x）=4x-52為一次函數；

當2m+1時，且m+3+4≠0時，即m=0時，f（x）=7x-5為一次函數；綜上所述，m=0，或m=-1 2或m=-3時符合要求。

3.題目是和指數函數、對數函數有關的函數，底數均為字母，常借助函數的單調性通過對底數加以討論，再解決

3.1 （2015山東理）已知函數f（x）=ax+b（α>0.α≠1）的定義域和值域都是[-1.0]，則a+b ___________。

分析：借助指數函數性質考慮底數。

解：當0>α1時，函數f（x）是增函數，所以α-1+b=-1，α0+b=0

此方程組無解。當0<α<1時，函數f（x）是減函數，所以α-1+b=0，α0+b=-1α=12b=-2所以α+b=-32故填-32。

4.函數中最高次項系數是含字母的代數式，他的取值可以有多種情況，這就需要我們進行分類討論解決此題。又函數的圖象與 軸總有交點，或是函數有限定條件的零點問題等，故可考慮函數最高次項系數可能為零，也可能不為零來分類討論研究，進而轉化成我們熟悉一次或二次函數的問題來求解。含參二次函數的最值問題一種是對稱軸是確定的常數，區間端點含有參數；一種是對稱軸含有參數，而區間端點是常數，不管是那一種，都可以理解成對稱軸在區間的左側，對稱軸在區間內，對稱軸在區間右側來討論。當對稱軸在區間內時，還需考慮區間端點離對稱軸的遠近來確定另一個最大值或最小值。當然，如果給出函數的一個最值，求其中的參數問題也可以按照上面的方法進行解決

4.1 已知函數f（x）=2（p+1）x2+4px+2p-1 的圖象與x 軸總有交點，求p的取值范圍。

分析：注意到該函數的最高次項的系數為字母，且與x軸總有交點。

解：當2（p+1）=0時，即p=-1，f（x）=-4x-3 ，顯然與x軸有一個交點；

當2（p+1）≠0時，函數為二次函數，只需Δ=（4p）2-4x2（p+1）（2p-1）≥0 ，

解得p<-1或-1

4.2 已知函數f（x）=mx2 +（m-3）x+1的零點至少有一個在原點右側，求實數m的取值范圍。

解：當m=0時，f（x）=-3x+1，令f（x）=0，得x=13，即函數的零點13 在原點右側，符合題意；

當 m≠0時，因為f（0）=1 ，所以函數圖象過點（0，1），若m<0 ，函數圖象開口向下二次函數的兩個零點必然一個在原點的左側，一個在原點的右側。若m>0 ，函數圖象開口向上如圖，

要使函數的零點在原點右側，當且僅當Δ=（m-3）2-4m≥0， 3-m2m>0，m>0即m2-10m+9≥0，00進一步整理

解得m≤1或m≥9，00即0

運用分類討論思想解函數題時，不管是在哪方面，如果學生的頭腦中沒有分類討論的意識，在平時的解題中就不能辨認出是需要分類討論的題目，就很容易丟解、錯解，很難保證問題得到有效解決。為此在平時的教學中，首先，教師在平時的課堂教學中應有意滲透分類討論思想，幫助學生建立分類討論的意識，其次，學生應當準確理解和記憶與分類討論相關的定義、性質、公式等知識點，它們是解決問題的強有力的工具，為分類討論指明方向。再次，解題時學生認真審題明確分類討論的對象、分類標準。最后，注意檢查努力做到不重不漏，檢查參數是否取到符合要求的所有實數。要想提升他們的解題能力，加強理論學習是非常必要的，因此在平時的學習中建議他們應該多讀一些相關的學習資料，提高自己的理論水平。另外，解題后一定要及時總結解題規律、相關知識點歸納等，對于學習中遇到的困難可以大家在一起多多研究。以上是僅就高一上學期函數部分內容加以展示，準確掌握它們就可以迅速解決函數問題，僅供參考，希望對您能夠有所幫助。

參考文獻：

[1] 李秀蘭.談談二次函數的最值問題[J].數理化解題研究， 2011 （9） ：26-28.

[2] 王焱坤.新課程背景下函數客觀題考查的新視角[J]中學數學， 2010 （1） ：32-35.