分段函數(shù)：“分身”不“分心”解決方法研究

陶強

【摘要】函數(shù)是高中數(shù)學重要模型之一。分段函數(shù)是函數(shù)中的一個難點，也是歷年高考的熱點。所謂分段函數(shù)指的是在不同的自變量取值范圍內(nèi)，分段函數(shù)可以同時由多個初等函數(shù)構成，這就使得研究分段函數(shù)問題需要運用綜合的知識、方法、思想。

【關鍵詞】分段函數(shù)；定義域和值域；函數(shù)值；單調(diào)性；奇偶性

分段函數(shù)是“分身”不“分心”的函數(shù)。分段函數(shù)是指自變量在兩個或兩個以上不同的范圍內(nèi)，有不同的對應法則的函數(shù)。分段函數(shù)是一個函數(shù)，是一類表達形式特殊的函數(shù)，卻又常常被學生誤認為是幾個函數(shù)；它的定義域是各段函數(shù)定義域的并集，其值域也是各段函數(shù)值域的并集。分段函數(shù)有關問題蘊含著分類討論、數(shù)形結合等思想方法。學習分段函數(shù)既有利于對函數(shù)的概念、性質(zhì)等問題的理解以及函數(shù)思想的形成與培養(yǎng)，也有利于提高分析數(shù)學問題和解決數(shù)學問題的能力。本文就高考中這類熱點問題進行總結和方法的探討。

一、分段函數(shù)的定義域和值域問題

例1：已知函數(shù)，求其定義域和值域.

【分析】求分段函數(shù)的定義域只要將各段的子區(qū)間取并集；求分段函數(shù)的值域需要分段求出值域，再取并集.

圖1

解：由于，可知定義域為.

當時，，；

而當時，

因此，函數(shù)的值域為.

二、分段函數(shù)的函數(shù)值問題

例2：已知，則的值為 _______________.

【分析】運用誘導公式化簡求值；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)的值.

解：當時，，

故

.

三、分段函數(shù)的單調(diào)性問題

對于分段函數(shù)的單調(diào)性的判別，要分段分區(qū)間找出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。在分段點左右兩邊單調(diào)性一致時，還要根據(jù)分段點處的函數(shù)值及左右兩區(qū)間的函數(shù)值的大小判斷兩區(qū)間是否可并為一個區(qū)間。

例3：已知函數(shù)是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是________.

【分析】由題意，得，解得.

四、分段函數(shù)奇偶性的問題

分段函數(shù)的奇偶性與初等函數(shù)奇偶性的判斷一樣，主要根據(jù)定義。一般分兩步進行：第一，判斷定義域是否是對稱區(qū)間；第二，對定義域中任意一個實數(shù)，判斷與的關系。對于分段函數(shù)還要注意在不同區(qū)間上函數(shù)解析式的不同。

例4：判斷函數(shù)的奇偶性.

解：當時，，；

當時，；

當時，，.

因此，對于任意都有，所以為偶函數(shù).

五、分段函數(shù)的方程問題

已知函數(shù)值求自變量或其他參數(shù)的值的問題，一般按自變量的取值范圍分類討論，通過解方程而得到。

例5：已知函數(shù)，若關于的方程有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是 .

【分析】畫出分段函數(shù)的圖象，如圖2所示。

圖2

結合圖象可以看出，若有兩個不同的實根，也即函數(shù)的圖象與有兩個不同的交點，的取值范圍為.

六、分段函數(shù)的不等式問題

例6：已知函數(shù)，若，則的取值范圍是 .

【分析】分段函數(shù)的對應關系是借助幾個不同的表達式來表示的，不等式需按自變量的取值范圍分類討論，將不等式化為幾個具體的不等式來解決.

當時，，于是由得，再根據(jù)恒成立，只需，，從而解出.

當時，按照以上方法同樣可以求出，最終滿足以上兩個條件得出.

分段函數(shù)一直是高考命題的一個熱點。在解決分段函數(shù)問題時，函數(shù)圖象要分段畫出，這樣定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性就顯而易見。解關于分段函數(shù)的方程、不等式等用數(shù)形結合思想、等價轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想等就可輕松解決。通過學習分段函數(shù)可以拓展解決問題的思路，提高解決問題的能力。

【參考文獻】

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