平面向量知識點導學

■王佩其

知識點一：向量的概念及線性運算

1.向量的有關概念。

(1)向量:既有大小又有方向的量。

(2)零向量:長度為0的向量，其方向是任意的。

(3)平行向量:方向相同或相反的非零向量。

(4)相等向量:長度相等且方向相同的向量。

(5)相反向量:長度相等且方向相反的向量。

2.向量的加法與減法。

(1)向量的加法遵循三角形法則和平行四邊形法則。

(2)向量的減法與加法互為逆運算，遵循三角形法則。

3.兩個向量共線定理。

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數λ，使得b=λ a。

例 1下列命題中正確的是( )。

A.a與b共線，b與c共線，則a與c也共線

B.任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一個平行四邊形的四個頂點

C.向量a與b不共線，則a與b都是非零向量

D.有相同起點的兩個非零向量不平行

零向量與任一向量都共線，A項錯誤。由于數學中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構不成平行四邊形，B項錯誤。向量的平行只要求方向相同或相反，與起點是否相同無關，D項錯誤。對于C項，可以用反證法來說明該命題的真假，假設a與b不都是非零向量，即a與b中至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線可知a與b共線，不符合已知條件，所以向量a與b不共線，則a與b都是非零向量。應選C。

方法歸納：準確理解向量的基本概念是解決此類問題的關鍵，理解向量的概念時還應注意以下兩個重要結論：①向量相等具有傳遞性，非零向量的平行具有傳遞性；②向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量。

例 2設兩個非零向量e1和e2不共線，如果3e1-k e2，且 A，C，F三點共線，求實數k的值?！?。

因為2e1-3e2，所以3e1-2e2。

因為A，C，F三點共線，所以從而存在實數λ使得，故3e1-2e2=3λ e1-λ k e2。

又因為e1，e2是兩個不共線的非零向

所以實數k的值為2。

變式1：在例2的條件下，試確定實數k的值，使得k e1+e2與e1+k e2共線。

提示：因為k e1+e2與e1+k e2共線，所以存在實數λ使得k e1+e2=λ(e1+k e2)，即

提示 ：因為所 以=4e1+e2。

因為=-8e-2e，所 以=

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又因為有公共點C，所以A，C，D三點共線。

知識點二：平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任意向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使得a=λ1e1+λ2e2。我們把不共線的向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底，記為{e1，e2}，λ1e1+λ2e2叫作向量a關于基底{e1，e2}的分解式。

例 3(1)如圖1，在△ABC中，點M，N滿足

圖1

(2)已知點G為△ABC的重心，過G作直線與AB、AC分別交于M、N兩點，且

方法歸納：應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算。用平面向量基本定理解決問題的一般思路：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決。

例 4如圖2，在△O CB中，點A是邊BC的中點，點D是將O B分為2∶1的一個內分點，DC和O A交于點E，設=a，=b。

圖2

(1)用a和b表示向量

(2)若，求實數λ的值。

方法歸納：平面向量基本定理是平面向量知識體系的基石，在解題中有著至關重要的作用，在使用時一定要注意兩個基向量不共線這個條件。

知識點三：平面向量的數量積

1.向量的夾角。

(1)向量的夾角的定義:已知兩個非零向量a和b，作=b，如圖3所示，則∠AO B=θ叫作向量a與b的夾角，記作〈a，b〉=θ。

圖3

(2)向量的夾角的范圍:夾角θ的范圍是[0，π]。a與b同向時，夾角θ=0；a與b反向時，夾角θ=π。

2.平面向量的數量積。

(1)數量積的定義:已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，則向量a與b的數量積是數量|a||b|cosθ，記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ。

(2)向量的投影:設θ為a與b的夾角，則向量a在b方向上的投影是|a|cosθ，向量b在a方向上的投影是|b|cosθ。

(3)數量積的幾何意義:數量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

(2)在邊長為1的正方形ABCD中，M為BC的中點，點E在線段AB上運動，則的取值范圍是____。

(3)在△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=6，若點D在斜邊BC上且CD=2DB，則=____。

(1)a·b=|a||b|cosθ=選B。

(2)將正方形ABCD放入如圖4所示的平面直角坐標系中。

圖4

(3)由向量加法的三角形法則和向量共線定理，可知將表示，代入中求解即可。

方法歸納：計算平面向量的數量積有以下三種方法：①定義法：a·b=|a||b|cosθ。②坐標法：若a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，則a·b=x1x2+y1y2。③分解轉化法(基底法)：利用平面向量基本定理將所求向量用基底表示，在不含坐標系或者不宜建立坐標系的情況下，通過向量的運算得到答案。

例 6(1)已知向量a，b的夾角為，且|a|=3，|b|=2，在 △ABC中=2a+2b，AC→=2a-6b，D為BC的中點，則|AD→|等于( )。

A.2 B.4

C.6 D.8

(2)向量a，b均為非零向量，(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，則a，b的夾角為( )。

(2)(a-2b)·a=|a|2-2a·b=0，(b-2a)·b=|b|2-2a·b=0，所以|a|2=|b|2，即|a|=|b|。

故|a|2-2a·b=|a|2-2|a|·|b|·cos〈a，b〉=0，可得cos〈a，b〉=。

例 7(1)已知向量a，b是夾角為60°的兩個單位向量，向量a+λ b(λ∈R)與向量a-2b垂直，則實數λ的值為( )。

A.1 B.-1

C.2 D.0

(2)在△ABC中，若，則△ABC是( )。

A.等邊三角形 B.銳角三角形

C.鈍角三角形 D.直角三角形

(1)由題意可知a·b=|a|·|b|cos60°=。又因為(a+λ b)⊥(a-2b)，故(a+λ b)·(a-2b)=0，即a2+λ a·b-2a·b-2λ b2=0，可得1+-1-2λ=0，解得λ=0。應選D。

方法歸納：向量的垂直與向量所在的直線垂直是一致的，向量的線性運算與向量的坐標運算是求解向量問題的兩大途徑。

知識點四：向量的應用

1.向量在平面幾何中的應用。

(1)證明線段相等、平行，常運用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，有時也用到向量減法的三角形法則。

(2)證明線段平行、三角形相似，判斷兩條直線(或線段)平行，常運用向量平行(或共線)的條件:a∥b?a=λ b(或x1y2=x2y1)。

(3)求與夾角相關的問題，可利用向量的

2.平面向量在物理中的應用。

(1)由于物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，所以可以用向量的知識來解決。

(2)物理學中的功是一個標量，這是力F與位移s的數量積，即W=F·s=|F||s|·cosθ(θ為F與s的夾角)。

例 8(1)在直角三角形ABC中，點D是斜邊AB的中點，點P為CD的中點，則

A.2 B.4

C.5 D.10

(2)三角形ABC是等腰直角三角形，∠B=90°，點D是BC的中點，BE⊥AD，延長BE交AC于F，連接DF，求證:∠ADB=∠FDC。

(2)如圖5所示，建立直角坐標系。

圖5

設點A(2，0)，點C(0，2)，則點D(0，1)，于是=(-2，1)，=(-2，2)。

設點F(x，y)，由B·=0，即(x，y)·(-2，1)=0，所以-2x+y=0。 ①

又因為點F在AC上，則，而=(-x，2-y)，因此2(-x)-(-2)(2-y)=0，即x+y=2。 ②

又因為所以cos∠ADB=cos∠FDC，故∠ADB=∠FDC。

方法歸納：用向量方法解決平面幾何問題可分三步：①建立平面幾何與向量的聯系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉化為向量問題；②通過向量運算，研究幾何元素之間的關系，如距離、夾角等問題；③把運算結果“翻譯”成幾何關系。

例 9(1)已知(x2+y2)(a2+b2)=

(2)求證:(a b+c d)2≤(a2+b2)(c2+d2)。

根據給出的代數式的特征和向量的有關運算性質，構造向量，轉化為向量問題來解決。

(1)若x=y=0，則結論顯然成立。

若x、y不全為0，設p=(x，y)，q=(a，b)。

(2)設=(c，d)。

當至少有一個為零向量時，所證不等式成立。

故原不等式成立。

方法歸納：待解決的代數、幾何、三角、物理等問題，只要其表達式能用向量的運算來表示，就可以考慮使用向量方法來解決。本例中x2+y2，a2+b2，c2+d2與向量的模有聯系，而a x+b y，a c+b d與向量的數量積有聯系，故可嘗試設出向量來表示。