平面向量常見題型解法例析

■曹紅陽

平面向量是一個具有幾何與代數雙重身份的概念，同時平面向量作為一種工具常與其他知識交匯命題，其考題形式靈活，解題方法多樣。下面舉例分析平面向量常見題型的解法。

1.平面向量的線性運算問題

例1設D為△ABC所在平面內的一點，且，則( )。

評析：平面向量的線性運算是向量運算的基礎，解題時，要以向量運算的平行四邊形法則和三角形法則為核心，結合幾何圖形，選擇適當的基底，化簡求解。

2.平面向量的共線(平行)與垂直問題

例 2 已知向量a=(1，m)，b=(3，-2)，且(a+b)⊥b，則m=____。

解：由a+b=(4，m-2)，(a+b)⊥b，可得4×3+(m-2)×(-2)=0，解得m=8。

評析：向量的共線問題可利用非零向量共線的充要條件a∥b?a=λ b進行轉化求解，向量的垂直問題可應用向量垂直的充要條件a⊥b?a·b=0進行運算求解。

3.平面向量的數量積問題

例 3如圖1所示，在△ABC中，AD⊥____。

圖1

評析：解答平面向量的數量積問題，關鍵是選擇合適的基底，并把目標向量表示成基底的線性運算。

4.平面向量的綜合應用問題

例4已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內的一點，則()的 最小值 是____。

解：(坐標法)以BC為x軸，BC的中點為坐標原點，建立直角坐標系(圖略)，則點A(0，3)，點B(-1，0)，點C(1，0)。

評析：向量具有代數特征，故可建立直角坐標系，利用坐標法求解。