淺談分類討論思想在中考數學解題中的應用
——以江西省中考數學為例

（江西省贛州市章貢區濱江第一小學 江西贛州 341000）

全日制義務教育數學課程標準要求，“通過義務教育階段的數學學習，學生能獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學基本思想”。分類討論作為最基本的數學思想方法之一，在中考解題中占有重要的地位。本文主要是以江西省近年的中考試題為例對分類討論思想進行分析，為教師的有效教學和學生的發散思維提供參考。

一、分類討論思想

分類討論是指當問題所給的對象不能進行統一研究時，需要對研究對象按某個標準進行分類，然后逐類討論，最后綜合各類結果得到整個問題的答案。像這種先分類再討論，把問題“分而治之，各個擊破”的解決問題的思想就是分類討論思想。分類討論思想能有效地幫助學生整理解題思路，提高解題能力。

應用分類討論＂化整為零，各個擊破，再集零為整＂的數學策略時必須得明確分類原則。

（1）完備性原則 在解題要明確所討論的問題的全域。

（2）不漏原則 分類必須完整，不能遺漏。

（3）不重復原則 所有的分類之間必須是互斥的。

二、分類討論思想在初中數學解題中的應用

1.與函數有關問題的應用

函數是數學中非常重要的模塊，其中二次函數是中考重點考察的內容，通過對近年中考題的分析發現，有關二次函數的考題多涉及參數，學生用分類討論思想能很好地解決這一類問題。

例：（2016·江西）設拋物線的解析式為y=ax2，過點B1（1，0）作x軸的垂線，交拋物線于點A1（1，2）；過點作x軸的垂線，交拋物線于點A2；…；過點（n為正整數）作x軸的垂線，交拋物線于點An，連接AnBn+1，得Rt△AnBnBn+1。

2.在系列Rt△AnBnBn+1中，探究下列問題：

①當n為何值時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形？

② 設1≤k＜m≤n（k，m均為正整數），問： 是否存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，說明理由.

【分析】因為Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1是直角三角形，所以分兩種情況討論：根據結論代入所得的對應邊的比列式，計算求出k與m的關系，并與1≤k＜m≤n（k，m均為正整數）相結合，得出兩種符合條件的值，分別代入兩相似直角三角形計算相似比.

【解答】由Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形得AnBn=BnBn+1，

∴當n=3時，Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，

②依題意得，∠AkBkBk+1=∠AmBmBm+1=90°，

有兩種情況：i）當Rt△AkBkBk+1∽Rt△AmBmBm+1時，

所以，k=m（舍去），

ii）當Rt△AkBkBk+1∽Rt△Bm+1BmAm時，

∴k+m=6，

∵1≤k＜m≤n（k，m均為正整數），

∴取或

當時，Rt△A1B1B2∽Rt△B6B5A5，

相似比為：

當時，Rt△A2B2B3∽Rt△B5B4A4，

相似比為：

所以：存在Rt△AkBkBk+1與Rt△AmBmBm+1相似，其相似比為64：1或8：1.