間接DGM(1,1)模型在基坑沉降預測中的應用

王 巖，黃張裕，張玉爽，艾合塔木?依米尼亞孜，王文利

（1. 河海大學 地球科學與工程學院，江蘇 南京 211100）

一個新鮮事物自誕生以來總會不斷被發掘、傳播和推廣，灰色系統理論亦是如此。“小樣本”、“貧信息”貫穿整個灰色系統理論[1-3]。部分信息已知、部分信息未知是灰色理論的典型特征[4-5]。其通過累加生成的方法，對原始數據進行加工，使數據中隱藏的信息得以顯示[6-7]。許多新模型應運而生，灰色預測模型已 由 GM(1,1)發 展 到 DGM(1,1)、GM(2,1)、DGM(2,1)、GOM(1,1)、 新 陳 代 謝GM(1,1)等[8-13]。 本 文 采 用GM(1,1)、DGM(1,1)、間接DGM(1,1)3種模型對基坑沉降進行預測。

DGM(1,1)模型是GM(1,1)的離散形式，對于不同的數據列，其預測精度有較大差別，有時甚至完全失真。對何種類型數據列的預測精度高，何種類型數據列的預測精度低，是使用該模型的關鍵。近似非齊次指數增長序列和近似齊次指數增長序列是僅相差一個常數項的兩種數據列，但使用DGM(1,1)模型對這兩種數據列進行預測時，精度有較大差別，后者要高于前者[14]；而現實中近似非齊次增長序列比近似齊次指數增長序列要普遍得多，兩種數據列的轉化是提高預測精度的關鍵。將基于近似非齊次指數增長序列的灰色預測模型稱為間接DGM(1,1)模型。它是DGM(1,1)的衍生模型，旨在進行兩種數據列（近似齊次、近似非齊次）之間的轉化。GM(1,1)、DGM(1,1)和間接DGM(1,1)模型都是變形預測的有效模型，本文采用這3種模型對基坑沉降進行預測，并對預測精度進行了比較。結果表明，間接DGM(1,1)預測曲線十分接近實測值曲線，隨著周期的增長，預測值并沒有像另兩種模型那樣較大幅度地偏離實測值，且在8～10周期預測效果最好；它對短中期和長期預測均適用，彌補了另兩種模型不能進行長期預測的缺憾。

1 GM(1,1)模型與DGM(1,1)模型

1.1 GM(1,1)模型

對序列進行運算為運算得到的序列，其中n。對序列x1建立微分方程：

以最小二乘法為約束條件，求得[a b]T=(BTB)-1BTYN，其中對式（1）求解，得到：

累減生成后的還原數據為：

判斷灰色模型精度等級的C、P值如表1所示。其中，模型精度等級=max{P所在級別,C所在級別}。C越小效果越好，P越大效果越好。

表1 模型精度等級

1.2 DGM(1,1)模型

將稱為離散灰色模型，即DGM(1,1)模型。對序列進行運算為運算得到的序列，其中

令為參數列，由最小二乘法得其結果其中由于故預測模型為：

還原值為：

2 間接DGM(1,1)模型

對序列進行運算，得到序列其中為近似非齊次指數增長序列，則序列y0為近似非負齊次指數增長序列，實現了兩種序列的轉化，這是建立間接DGM(1,1)模型的關鍵。序列其中k=1,2,…,n。

令m = [ m1m2]T為參數列，由最小二乘法得到：其中由式（4）可知，

作累減還原可得：

化簡得到：

式（6）為序列y0的DGM(1,1)預測模型。由于故進而得出序列x0的間接DGM(1,1)預測模型為：

3 實例分析

對某基坑進行沉降監測，基坑周邊為居民樓，基坑長45.7 m，寬13.7 m，最大開挖深度為11 m，共布設20個沉降監測點，監測11個周期，選取任一點進行分析，其11個周期的累計沉降量（實測值）、預測值和殘差如表2所示。通過計算得到3種模型的P、C值和中誤差，見表3。

表2 3種模型的預測值與殘差/mm

表3 3種模型的P、C值和中誤差

由表2可知，累計沉降量滿足近似非齊次指數增長，適合建立間接DGM(1,1)模型。由表3可知，間接DGM(1,1)的C值比另兩種模型小得多，所以間接DGM(1,1)的模型精度要高于另兩種模型。就中誤差而言，間接DGM(1,1)要遠低于另兩種模型，且不在同一 個量級上，說明間接DGM(1,1)的預測效果比GM(1,1)、DGM(1,1)要好。3種模型殘差曲線如圖1所示。預測曲線和實測曲線見圖2。

圖1 3種模型殘差圖

從圖1可以發現，間接DGM(1,1)的殘差值上下浮動較小，較穩定，沒有出現大幅度波動，增加緩慢近似一條水平線，實測值與預測值非常接近，最大值不超過0.2 mm，即使在后期，也沒有出現隨周期增加而快速增長的情況，始終控制在0.1 mm之內，短、中、長周期都取得了較好的預測效果。其他兩種模型的殘差值在7周期以前出現了下降，具有較好的短中期預測效果，但在7周期以后，殘差值隨周期增加而不斷增大，且增長幅度較大，說明這兩種模型不適合長期預測。

圖2 3種模型預測曲線和實測曲線

從圖2可以看出，GM(1,1)和DGM(1,1)的預測曲線除在6～8周期與實測值曲線偏離較小外，其余周期均與實測值偏離較大，7周期后與實測值偏離越來越大，說明這兩種模型僅適合短中期預測，不適合長期預測；而間接DGM(1,1)預測曲線十分接近實測值曲線，隨著周期的增加，預測值并未大幅偏離實測值，且在8～11周期預測效果最好，在一定程度上反映了間接DGM(1,1)不僅適合短中期預測，也適合長期預測，彌補了另兩種模型不能進行長期預測的缺憾。

4 結 語

從3種模型對基坑沉降監測數據的預測效果來看，GM(1,1)與DGM(1,1)模型的預測值在7周期以后與實測值偏離越來越大，說明這兩種模型僅適合短中期預測；間接DGM(1,1)的C值遠小于另兩種模型，因此預測精度要高于另兩種模型；且其預測曲線與實測值曲線十分接近，說明它對短中期和長期預測均適用，彌補了另兩種模型不能進行長期預測的缺憾。

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