小學數學思維教學的幾個案例（下）

三、“握手問題”的教學

正如人們廣泛認識到的，抽象性可以被看成數學最基本的一個特性。例如，以下一些論述事實上都可以被看成關于數學這一特性的不同表述：“數學是模式的科學。”“數學抽象的思想是最基本的一個數學思想。”

從同一角度分析，這顯然也可以被看成數學教學的關鍵，即我們在教學中應當很好地處理具體與抽象、特殊與一般之間的關系。后者不僅是指我們應通過諸多實例的分析幫助學生由特殊上升到一般，從而實現相應的抽象，也是指我們應以已建立的一般性認識為基礎，更好地從事新的認識活動，包括已有認識的重構或深化，也就是通常說的由一般到特殊。

還應強調的是，盡管上面的論述似乎具有較強的理論性，但這事實上與我們的日常教學活動密切相關，我們應當聯系自己的教學工作進行分析、理解，直至以此作為自覺的指導性原則。例如，通常所謂的“舉三反一”與“舉一反三”，可被看成關于由特殊到一般，再由一般到特殊的一個很好闡述。這也就如上海南洋模范中學的趙憲初先生所指出的：“數學教學需要‘舉三反一，甚至有時需要‘舉十反一，能夠‘舉三反一，孺子可教也。”當然，又如張奠宙先生所指出的，我們應“將‘舉一反三和‘舉三反一結合起來，使兩者相輔相成”。因為，“學習者若能舉一而反三、問一而知十，這必定是其熟悉內在道理并能融會貫通的結果。然而‘舉一反三是建立在‘舉三反一之上的，只有經過深入的三番考察、十方探究，總結得出一種客觀規律（即‘舉三反一），才能在應用該規律時做到‘舉一反三”。（[3]第225頁）

以下就依據相關論述對握手問題的教學做出具體分析，我們的論述將集中于這樣一個問題：就這一內容的教學而言，有哪些方面直接涉及數學的抽象性，即由特殊向一般的過渡，以及再由一般到特殊？

首先，所說的問題在現實中往往會以多種不同的形式表現出來，如連線問題、單循環比賽場次的計算問題等。因此，這就是相關教學活動應當努力實現的一個目標，即不應滿足于各個具體問題的解決，而應當從中抽象出普遍的數學模式。更一般地說，這事實上也就是諸多現實問題的教學中應當特別重視的一點。例如，就植樹問題而言，相對于所謂的三種情況（即所謂的兩端都種、只種一端和兩端都不種）的區分而言，我們應更加重視如何以植樹問題為原型抽象出普遍性的數學模式（可稱為分隔問題），然后應用所說的模式解決各種類似的問題，如路燈問題、排隊問題、鋸樹問題、爬樓問題等。當然，后者又以清楚地建立起這樣一種認識作為必要的前提，即后面這些問題都與植樹問題具有相同的數學結構，從而就可歸結為同一個數學模式。（對此可見[1]第4.1節）

依據上述分析，相信讀者可更好地欣賞以下的教學設計（[1]第一章，[例5]）：

老師：各位同學把桌子和椅子推開，空出中間的地方來，我們來玩握手游戲，每一組先找4個同學。

全班學生一起行動，很快就把桌椅推向兩旁，然后很有默契地4個人組成一組，人數不夠的，就找旁聽者來充數。

老師：每兩個人只能握手一次，不能重復。然后看看4個人握手能夠握幾次，把它記錄下來。

每個學生都參與了這個工作。

老師：現在每一組換成5個人握手，看看能握幾次。

學生很快換成5個人一組進行握手的活動。

老師：現在每一組6個人。

學生馬上轉變成6個人一組的形態。

活動結束，老師讓學生回到各組，把剛才的記錄畫成表格，然后老師也在黑板上畫出如下的表格，讓學生發現其中的規律：

容易看出，這里所說的由課堂游戲向數學問題的轉變，事實上也就是數學抽象的過程，即我們如何超越各個具體的事物或現象，揭示出一類具有相同數學結構的事物和現象的共同本質。

再者，在上述問題得到解決以后，我們還應注意引導學生對此做出進一步的推廣，即對更一般的情況進行研究。

例如，就握手問題而言，我們不應局限于“每兩個人握一次手”這樣的情形，還應當就“每3個人組成一個小組”或“每4個人組成一個小組”等情況研究可能的組合數目。容易想到的是，如果采用更抽象的形式進行表述，這也就是所謂的組合問題———盡管后者已經超出了小學數學的范圍，但在適當的條件下，我們仍可通過指明所說的發展幫助學生更好地理解數學家是如何進行工作的，包括由特殊到一般對于數學研究的特殊重要性。

另外，也只有從后一角度分析，我們才能更好地理解這樣一個事實，即就握手問題而言，盡管我們可以通過綜合分析引出相應的結論，即“自己沒有辦法和自己握手，所以要減1，再乘以總人數會重復算兩次，所以要除以2”，但教學中采取以下做法則具有更加普遍的意義，即我們可以首先就總人數是3、4、5的情況分別引出相關的結論，然后通過歸納得出相應的普遍性結論。因為，除了后一做法可能更加適合學生的接受能力之外，顯然還具有重要的方法論意義。而這事實上也可被看成數學抽象的又一重要表現：“對于一個特例，之所以要進行這樣周密的描述，就是為了從中提出一般的方法或模式。這種模式，在以后類似的情況下，對讀者求解問題可以起指引作用。”（[4]第一卷，第3頁）

進而，從同一立場出發，相信讀者也可更好地理解以下教學設計的意義，即在求解握手問題時，我們不是滿足于通過具體實驗去發現各種特殊條件下的相關結論，而是注意引導學生通過逐步的遞歸解決所面臨的問題，也即致力于研究人數的增加與總的握手次數之間的關系。因為，這也是數學中經常用到的一個解題策略：“應當充分利用已獲得的成果。”“在解題的每一階段，我們都把關于一個新的分量的知識加到已經得到的知識上去，在每一階段，我們又都要用已經得到的知識去得出更多的知識。”（[1]第4.1節。這方面的更多實例可參見書中第四章的[例2]和第三章的[例12]）另外，由所說的過程我們也可更好地理解如何實現由特殊向一般過渡這樣一個建議：“通過系統的特殊化，為一般化提供直接的基礎。”（梅森語）

四、“線段、射線與直線”的教學

這是筆者新近與廣東省中山市小學數學教研員劉燕老師進行的一次討論的直接主題，引發這一討論的起因是她在一次教研活動中的以下發現。盡管這是關于線段、直線和射線的同課異構，幾位執教老師卻都是采取的從現實中尋找射線和直線的原型的方法，如用手電筒的光引出射線，用金箍棒引出直線等。盡管教師做出了很大的努力，相關的教學效果卻似乎都不理想，如有不少學生認為金箍棒無論怎么延長，它上下總有兩個圓圓的面；在將手電筒的光射向遠處時，學生往往也會認為最后的結果是“光線看不見了”……

以下則是我們關于為何會出現上述現象的共同看法：這即可被看成十分清楚地表明了直觀經驗的局限性。具體地說，由于人們的實踐活動始終停留于有限的范圍，要想通過從現實生活中舉例抽象、再返回現實生活尋找實際例子這一常用方法幫助學生理解射線和直線這樣具有無限性質的概念是十分困難的。我們更無法通過實際操作對相關結論做出直接的檢驗。也正因為如此，這一教學活動的關鍵就在于，我們必須超出直觀經驗，讓學生充分展開想象的翅膀。

劉燕老師依據這一思想做了一個新的教學方案，以下就是相關的部分。

1.認識射線

師：線段在生活中處處可見，它們都是直的，都有兩個端點，一個是起點，一個是終點。可是數學家卻通過想象創造了一種神奇的線，這種線也是直的，你猜，它有可能神奇在哪？

生：它只有起點，沒有終點。

師：猜對了！閉眼想象一下，一條神奇的線，直的，只有起點，卻沒有終點……告訴我，你想象的這條線是什么樣子的？

生1：它很長很長，長得望不到頭。

生2：它長到宇宙中去了。

生3：它鉆到地底去了，深得見不到底。

師：我們一起閉眼想象、比劃一下這條線，想比劃什么方向的？

生：橫著的。

師：好，我們先來想象一條從左往右的。

師生（齊）：起點，唰……（師生邊說邊書空：從起點向右延伸）

師：到了終點嗎？

生：沒有。

師：到了終點嗎？

生：沒有。

師：找得到終點嗎？

生：找不到。

師：讓它繼續飛，我們回來。

師：我們再一起閉眼想象一條豎著的。

師生（齊）：起點，唰……（師生邊說邊書空：從起點向上延伸）

師：到了終點嗎？

生：沒有。

師：找得到終點嗎？

生：找不到。

師：你還想和它一起飛下去嗎？

生：不想。

師：為什么？

生：沒有終點，一直飛下去就回不來了！

師：還想比劃一條什么方向的？

生：斜著的。

……

師：我們跟隨數學家想象出來的這條線有什么特點？

生1：是直的。

生2：只有起點，沒有終點，也就是只有一個端點。

生3：無限長，無法測量。

師：如果給這條線起個名字，你認為叫什么線？

生1：神線，因為沒有終點。

生2：無限長線。

生3：射箭線，它像射箭一樣射出去。

師：數學家和你想的一樣，給它起了一個名字，就叫射線。（板書）

2.認識直線

師：射線已經夠神奇了，可是數學家還通過想象創造出了一種更神奇的線，這種線也是直的，你猜，它又神奇在哪？

生：它連起點都沒有了，沒有起點，也沒有終點。

師：猜對了！閉眼想象一下，一條神奇的線，直的，沒有起點，也沒有終點……告訴我，你想象的這條線是什么樣子的？

生1：它很長很長，往上鉆到云里面去了，往下鉆到地底下了。

生2：我想象的是斜著的，起點和終點都沒有，兩邊望不到頭。

生3：我想象的是向左右兩邊伸展的，彩虹色的。

師：我們一起閉眼想象、比劃一下這條線，先想比劃什么方向的？

生：橫著的。

師：好，我們先閉眼想象一條橫著的，唰……向左看看，看到了起點嗎？

生：沒有。

師：向右看看，看到了終點嗎？

生：沒有。

師：還想比劃什么方向的？

師：我們再一起閉眼想象、比劃一條豎著的。唰……向上看看，看到了起點嗎？

生：沒有。

師：向下看看，看到了終點嗎？

生：沒有。

師：還想比劃什么方向的？

……

師：這條更神奇的線有什么特點？

生1：是直的。

生2：沒有起點，也沒有終點，一個端點也沒有。

生3：無限長，無法測量。

師：如果給這條線起個名字，你認為叫什么線？

生1：長又長線，因為沒有起點也沒有終點。

生2：雙射線，它向兩邊延伸出去。

師：你們的創造力真強，想得很有道理，不過這次數學家不如你們，數學家給這條神奇的線起了一個非常非常普通的名字———直線。（板書）

在實踐中，這一設計取得了較好的教學效果（這方面的又一課例可見[1]：第八章，[例14]）。以下則是筆者在進一步的討論中所提及的幾個建議。

第一，對于數學中所說的直線與生活中所說的直線，我們應當做出更清晰的區分，特別是，它們更可被看成構成了兩個不同的范疇：（1）數學中的直線（射線）與線段；（2）生活中的直線（直的線）與曲線。

對于直線（射線）與線段的區分，我們可概括如下：如果說線段同時具有長度和方向這樣兩個屬性，那么，對于直線和射線而言，前一概念已不再適用。這也就是指，方向是它們的唯一屬性（顯然，按照這一分析，平行線概念的引入也就十分自然了）。另外，我們事實上也可從同一角度對直的線與曲線的區分做出概括：與前者不同，后者僅僅具有長度這樣一個屬性。

第二，就射線與直線的理解而言，除了以數軸，即以自然數為例進行分析以外，還可提及時間的無限性，特別是后者的以下特點：它既沒有終點也沒有起點。

更深入地說，這兩個例子與其說有助于我們更好地理解直線與射線這樣兩個概念，不如說正是直線與射線這兩個概念為我們理解自然數與時間的無限性提供了必要的形象工具。

第三，也正是從后一角度分析，我們可很好地理解這樣一個論述：“如果‘無限的直線這一概念的發明可以歸功于某一個人的話，那么這位發明家就可自豪地說，‘我根據能摸、能扔、能摘的許多具體物體完成了這樣一個自覺的思維過程。我的后代將因為我想象出了無限的直線而感謝我，因為借助這樣的直線去認識世界，將比沒有它要方便得多！”（[5]第85頁）

更為一般地說，這也就是指，正是數學為人們更好地認識世界和從事實踐活動提供了必要的概念工具。

最后，還應強調的是，這一例子事實上也可被看成通過發現問題、解決問題進行教學研究的很好實例。特別是，就只有堅持這樣一個立場，我們才能在幫助學生學會數學地思維上取得切實的進展。

（作者單位：南京大學哲學系）

參考文獻

[1]鄭毓信.小學數學教育的理論與實踐———小學數學教學180例[M].上海：華東師范大學出版社，2017.

[2]鄭毓信.中國數學教育的問題特色[J].數學教育學報，2018年第1期.

[3]張奠宙.張奠宙數學教育隨想錄[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[4]波利亞.數學的發現[M].呼和浩特：內蒙古人民出版社，1980.

[5]鄭毓信.數學方法論入門[M].杭州：浙江教育出版社，2006.