函數與方程思想在高中數學解題中的應用探討

趙祺

摘 要 本文對高中數學中的函數與方程思想的內涵作了探討，并結合一些具體實例說明了函數與方程思想在數學解題中的應用。

關鍵詞 數學 函數 方程思想 應用

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A

函數與方程思想是指在數學問題解決過程中，根據問題中的數量關系，構造或建立適當的函數與方程，應用函數與方程的知識及其性質進行分析問題和解決問題。函數與方程思想可以使數學問題解決變得簡潔、明快，能夠化繁為簡，化難為易。

1高中數學中的函數與方程思想

函數與方程雖然是兩個不同的數學概念，但它們之間有著緊密的聯系。從高中數學角度來看，函數與方程思想主要在兩個方面對解題發揮著很大的作用：一方面是聯系有關初等函數的性質，解決關于求值、解析（證明）不等式、求解方程和關于參數取值范圍的討論等問題；另一個方面則是通過建立函數關系式和構造輔助函數，把需要求解的問題轉化成為討論函數相關性質的問題，從而簡化題目難度。

1.1函數的思想

函數的思想總體上而言就是利用運動和變化的觀點，進而分析研究數學中的數量關系，建立起函數關系或是構造函數，最終能夠利用函數的圖像和性質去分析、轉化這些問題，使問題得以解決。

1.2方程的思想

方程思想指的是通過分析數學問題中變量的直接關系，從而建立起方程或方程組，或是構造方程，通過解方程或方程組，或運用方程的性質去分析、轉化問題、解決問題。方程的思想要求對方程的概念有深刻的認識，在解題中需要利用方程或方程組的觀點觀察、分析和處理問題。

2函數與方程思想在解題中的典型應用

在下文，結合一些典型的題目來顯現函數與方程思想在解 答高中數學題目中所發揮的獨特的作用。

2.1求解不等式問題

例1：解不等式+5>0。

解析：題目中不等式可以簡化為（）3+5>+5，

令（）=+5，則上式可寫成（）>（），

易知函數（）=+5在整個R上單調遞增，所以原式等價于>，

因此，解得： 1

點評：上述例題是函數與方程數學思想在不等式解題中的應用，是將不等式的求解問題轉化為函數問題，再通過函數單調性簡化問題。

2.2求解數列有關問題

例2：設數列{an}為等差數列，Sn是數列an的前n項和，已知S7=7，S15=75，Tn為數列的前n項和，求Tn。

解析：設等差數列{an}公差為d，則有

，解方程可得：a1= 2，d=1。

所以，=a1+（n1）d= 2+（n 1），

又因 =，所以數列{}是等差數列，且其首項為 2，公差為，

即：Tn= n

點評：在例2中可以看到，利用題目已知條件，列出方程組，直接對問題進行求解，此外，數列實質上就是定義域為N的函數值列。應該注意N的無限子集中除N外均不能做為數列所對應的函數的定義域，有限子集也必須是規定的形式。數列的通項公式an=f（n），前n項和公式 Sn=g（n）實質上就是函數解析式。

2.3求解應用型問題

例3：甲、乙兩地相距600千米，快車勻速走完全程需10個小時，慢車勻速走完全程需15個小時，兩車分別從甲、乙兩地同時相向而行，求從出發到相遇，兩車的距離 y（千米）與行駛的時間x（小時）之間的函數關系式，給出自變量x的取值范圍。

解析：由題目已知條件可以得到快車、慢車的速度分別為60 Km/h，40 Km/h，進而推出 y 與 x 的函數關系式為：y=600-（40+60）x，所以兩車相遇所用的時間是6 小時，即有 0≤x≤6。

點評：就本體而言，主要是通過行程問題尋找變量 x、y 之間的函數關系式，在一般的題目中，解題時首先列出關于x、y 的方程式，再轉化成 y 與 x 之間的函數關系式，值得注意的是 實際問題中自變量的取值范圍的確定。

3函數與方程思想解題總結

從以上給出的例子可以看出，函數與方程思想在高中數學的解題中有著廣泛的應用，巧妙利用函數與方程的數學思想通常可以將一個較為復雜抽象的題目轉化成為簡單具體的問題進行分析。在基于函數與方程數學思想解題的時候，有以下幾個問題值得注意：

（1）看到一個題目，首先要想想是否可以一個代數式抽象成為看成一個函數，把方程化作函數，把字母可以設為變量。

（2）如果可以把一個代數式變成函數，把字母當作變量，是否應該充分運用函數的性質和圖像來解題。

（3）如果題目中的問題不能簡單地化作函數問題來處理，是否應該想到構造一個輔助函數來解決問題。

（4）對于一個等式是否可以把這個等式看作為一個含有未知數的方程來處理。

（5）對于一個方程，應該注意對這個方程的根（例如根的虛實、正負、范圍等）有什么要求。

總之，函數與方程思想是高中數學解題中最基本的思想方法，在高中數學的學習過程中要加強這種思想方法的訓練，以便熟練掌握這種思維方式，運用在題目的分析和解題中，不斷地提高思維的靈活性。

參考文獻

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