小議拋物線解題的三個層次

劉 寧

(江蘇省溧陽市光華高級中學 213300)

眾所周知，拋物線是圓錐曲線的一種，也是典型的截口曲線．對學生而言，拋物線的學習追述到初中二次函數，到高中演變成拋物線標準方程的學習．拋物線在圓錐曲線中的地位屬于第一層次，與橢圓相當，高于雙曲線和圓，因此頻頻作為考題出現在高考命題中．如何掌握拋物線問題的解決方式？如何思考拋物線問題的解決過程？在茫茫題海中，能否找到一點問題解決的共性？這恰是本文梳理的一些心得，與大家分享，也懇請提出寶貴意見批評指正．

層次一：定義為先

拋物線的定義是圓錐曲線的統一定義：即動點到定點的距離等于到定直線的距離，則動點軌跡是拋物線．如何利用解決問題呢？我們知道，跟定義相關的問題，首先必須與焦點(定點)有關，因此思考問題的第一原則是辨別是否與焦點有聯系？有，則從定義為先的方式入手思考．

問題1 已知傾斜角為60°的直線l通過拋物線x2=4y的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，則弦AB的長為____．

分析直線通過拋物線焦點，思考問題的方向首先是往定義上靠攏．本題求弦長，自然是焦點弦長度的運算要比一般弦長運算簡化很多，自然而然的培養問題解決的方向性．

∴AB=y1+y2+p=14+2=16．

分析相比問題1，本題顯得更為復雜一些，學生往往不清楚如何下手．教師要引導學生思考兩個方面：其一，與圓相關的問題，首要解決方向是代數還是幾何？其二，直線經過拋物線焦點，你想到了什么？教學中若時常引導學生思考，學生應該很快能想到解決與圓相關問題的主要方向是幾何，經過焦點的直線，自然跟拋物線定義緊密結合．

說明：本題體現了問題解決過程中方向的重要性，否則學生在一片茫然中思考|AB|和|CD|長度怎么算？圓問題解決的主導思考側重幾何，圓外動點到圓上動點的距離總是與圓心緊密聯系，從而自然而然獲得關系式|AB|·|CD|=(|AF|-1)(|DF|-1)，而|AF|和|DF|是焦點弦，拋物線定義躍然紙上！另外，本題也可以借助特殊位置處理，即令直線l的傾斜角為90°，利用通徑求解．

層次二：平幾輔助

在定義導向的背后，考慮到拋物線也是一種幾何曲線，自然問題也需要幾何手段的幫助，筆者以為代數和幾何是解決問題的兩大方式，若一味側重代數方式，則勢必減少了幾何思維的分析，則大大加大了問題解決的運算量；反之，若能將幾何方式恰當的滲透，則簡化運算的同時，還能獲得更好的思維．

問題3 如圖1，若過拋物線y2=2px(p>0)的焦點F的直線l依次交拋物線及其準線于點A、B、C，若|BC|=2|BF|，且|AF|=3，則拋物線的方程為____．

分析：初看本題，自然而然的是想設直線方程，利用|BC|=2|BF|，且|AF|=3的長度關系解決直線方程和拋物線方程，但是計算量對于小題來說有點多．從幾何角度思考，不難發現定義的使用，結合30°的直角三角形特征，本題可謂秒殺．

層次三：性質積累

對于拋物線來說，必備的性質積累是解決問題的有一個關鍵，比如僅焦點弦中有不少性質，如：

③以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切；等等．

教材中還有不少類似的問題，總結成性質，需要教師引導學生積累，如：

①y1y2=-4p2，x1x2=4p2；

②直線AB經過定點(2p,0)．

∴lAB：(m2-n2)(y-n)=(m-n)·(x-n2)，

即(m+n)(y-n)=x-n2，令y=0，

解得x=-mn=2，

∴C(2,0)．

S△AOB=S△AOC+S△BOC

說明：多積累相關定值、結論，對于快速解決問題是有幫助的．

總之，尋求拋物線問題的解決，從定義、平面幾何性質、定值積累等方面不斷思考總結，對于學好拋物線問題有重要意義，有興趣的也可以將這樣的學習方式推廣到橢圓、雙曲線中，不斷摸索．

參考文獻：

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