對(duì)一道中考數(shù)學(xué)壓軸題的探究和推廣

廣東省江門(mén)市新會(huì)區(qū)會(huì)城河南初級(jí)中學(xué) 李全歡

廣州市2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題以等腰直角三角形及其外接圓上一動(dòng)點(diǎn)為載體，以探究其中三條線(xiàn)段平方之間的等量關(guān)系為核心，著重考查了與圓相關(guān)的幾何知識(shí)、三角形全等、旋轉(zhuǎn)和勾股定理等初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)內(nèi)容。筆者以下特分享對(duì)2016年廣州市中考數(shù)學(xué)壓軸題的多解分析與加強(qiáng)推廣，促進(jìn)在新課改背景下的探究性學(xué)習(xí)和研究性學(xué)習(xí)的開(kāi)展。

一、相關(guān)試題的描述

圖1

試題：如圖1，點(diǎn)C為△ABD外接圓上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C不在上，且不與點(diǎn)B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°。

（1）求證：BD是該外接圓的直徑；

（2）連接CD，求證：AC=BC+CD；

（3）若△ABC關(guān)于直線(xiàn)AB的對(duì)稱(chēng)圖形為△ABM，連接DM，試探究DM2，AM2，BM2三者之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論。

二、相關(guān)試題的剖析

1.第一問(wèn)的證明方法

證明：因?yàn)?，所以∠ACB=∠ABD，又∠ACB=∠ABD=45°， 所以∠ADB=∠ABD=45°，則在△ABD中，∠BAD=90°，所以BD是△ABD外接圓的直徑。

【評(píng)析】第一問(wèn)考查了圓的相關(guān)知識(shí)，特別是學(xué)生比較熟悉的“90°的圓周角所對(duì)弦是直徑”的性質(zhì)定理，讓大部分考生能心平氣和地順利解決，為下面更好地展開(kāi)第二問(wèn)和第三問(wèn)做了良好的鋪墊，體現(xiàn)了試題由淺入深、逐步遞進(jìn)的命題特色，符合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的規(guī)律。

2.第二問(wèn)的證法

圖2

證明：如圖2（將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°），因?yàn)椤螦DB=∠ABD=45°，所以AB=AD，∠BAD=90°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABC'，所以AC'=AC，∠C'AC=90°，C'B=CD，∠ABC'=∠ADC，又四邊形ABCD的頂點(diǎn)在同一圓上，所以∠ADC+∠ABC=180°，則∠ABC'+∠ABC=180°，即C'，B，C在同一直線(xiàn)上，則在Rt△C'AC中，AC'2+AC2=CC'2，即2AC2=CC'2，所以又CC'=BC+C'B=BC+CD，所以AC=BC+CD。

【評(píng)析】第二問(wèn)的證法通過(guò)三角形旋轉(zhuǎn)和構(gòu)造全等三角形，將線(xiàn)段BC與CD拼接在同一直線(xiàn)上，再利用等腰直角三角形直角邊與斜邊的關(guān)系得到所求證的結(jié)論。

3.第三問(wèn)的探究結(jié)論是以下分享其中一種相關(guān)證法

證法：（延長(zhǎng)MB交△ABD的外接圓于點(diǎn)N，構(gòu)造Rt△MND）

圖3

如圖3，延長(zhǎng)MB交△ABD外接圓于點(diǎn)N， 連 接DN，AN， 因 為∠ANB=∠ACB=45°，又△ABC與△ABM關(guān)于直線(xiàn)AB對(duì)稱(chēng)，所以∠ACB=∠AMB=45°，則∠ANB=∠AMB=45°，所以AM=AN，∠MAN=90°，則在Rt△MAN中，MN2=AM2+AN2，即MN2=2AM2；又AM=AC，所以AN=AC，則又AB=AD，則DN=BC，又BC=BM，所以DN=BM，因?yàn)锽D是△ABD外接圓的直徑，所以∠AMB=90°，則在Rt△MND中，DM2=MN2+DN2=2AM2+BM2，所以DM2=2AM2+BM2。

【評(píng)析】第三問(wèn)的這種證法分別通過(guò)延長(zhǎng)線(xiàn)段引出垂直、三角形旋轉(zhuǎn)和作線(xiàn)段垂直且相等的方法來(lái)構(gòu)造直角三角形，再將DM2，AM2，BM2構(gòu)造在同一直角三角形中，最后根據(jù)勾股定理解決問(wèn)題。

通過(guò)對(duì)廣州市2016年中考數(shù)學(xué)壓軸題的多解分析與加強(qiáng)推廣，筆者發(fā)現(xiàn)此題可作為研究性教學(xué)的素材，對(duì)本題進(jìn)行研究性教學(xué)時(shí)，學(xué)生可重點(diǎn)研究試題的立意以感悟考查的目的與學(xué)習(xí)重點(diǎn)，研究試題的解法以?xún)?yōu)化解題策略和方法。總之，初中數(shù)學(xué)的主要任務(wù)不僅是學(xué)知識(shí)，也要增強(qiáng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，優(yōu)化思維結(jié)構(gòu)，注意思想方法和能力的提升。

[1]梁文威.對(duì)2013年廣東高考數(shù)列題的探究及推廣[J].廣東教育，2013（9）：36-37.

[2]唐瀟妮.教育的真諦[J].廣東教育，2016（11）：72.