從一道高考題探究分析函數零點問題的基本方法

廣東省汕頭市澄海中學 李立峰

函數零點是函數知識的一個重要內容，是高考考查的熱點之一，本文主要從一道高考題探究分析解決函數零點問題的基本方法。

引例（2017年全國卷Ⅰ理科第21題）：已知函數（a-2）ex-x。

（1）討論 的單調性；

（2）若 有兩個零點，求a的取值范圍。

（注：本題是高考題，這里不再詳述其解題過程）

從教材函數零點的知識我們不難看出，函數的零點、方程的根，函數圖象與坐標軸的交點這三個不同的數學概念常統一在一起，它們有區別，但更多時候是密不可分的，從中我們可以得出分析函數零點問題的三種思路：

1.解方程，由方程 的根得函數 的零點。

2.利用函數單調性結合零點存在性定理。

3.數形結合法，根據題目的函數、方程，運用轉化與化歸的數學思想，通過分離參數法、作差法、拆分法等構造函數，再結合函數的圖象分析問題。例1 函數的零點為____________。

分析：都是R上的增函數，

R上也是增函數。

又

函數的零點為x=2。

對于這類超越函數的零點問題，由于高中教材知識的限制，因此一般通過觀察與分析，利用特殊值代入法結合函數單調性求解。

例1這類問題用到思路1，通過尋找方程 的根得到函數的零點，具體操作中一般借助分解因式或者特殊值代入法。

例2 已知函數g（x）＝2lnx－x2＋上有兩個零點，求實數m的取值范圍。

故g(x)在x=1處取得極大值，即最大值g（1）=m-1。

所以g（x）在上的最小值是g（e），

故g（x）在上有兩個零點等價于

解得1＜m≤2+所以實數m的取值范圍是

本題用到思路2，利用函數單調性與零點存在性定理，結合函數的極值、最值，分析函數的零點，這是最常用的方法，引例及2016年全國新課標Ⅰ卷理科第21題均用到此法。

例3 設（e為自然對數的底數），若關于x的函數有且僅有6個零點，則實數a的取值范圍是（ ）

令

由

得

故 的大致圖象如右圖：

方程在上有兩個不同的解時可以滿足題意，

令

則故選D。

“數缺形時少直觀，形少數時難入微”，本題用到思路3，利用數形結合法解決問題。本題運用轉化與化歸的數學思想與換元法，構造函數 ，利用其導數畫出函數的草圖，再借助其圖象輔助分析問題。注意在畫草圖時，不僅要考慮函數的單調性和極值，還要研究函數在區間端點的函數值情況。

雖然函數零點問題是一個難點，但只要我們理解好三種解題思路的精髓，充分利用好導數這個工具，注意題型的歸納和積累，多運用轉化與化歸思想、數形結合法和換元法等數學思想與方法，克服恐懼心理，大膽嘗試，我們就一定能提高此類題目的得分率。

[1]陳祥國.函數壓軸尋常見導數應用有情結[J].中學數學教學參考，2016（5）：51-53.

[2]王秀彩.導數的綜合應用[J].中學數學教學參考，2016（1-2）：124-128.