利用轉(zhuǎn)化思想解決復(fù)合方程根的分布問(wèn)題

安徽合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 洪 倩

安徽合肥一中 吳建平

近年來(lái)，有關(guān)復(fù)合方程根的分布問(wèn)題經(jīng)常出現(xiàn)在高考試題中，而大部分同學(xué)遇到這樣的問(wèn)題本能地存在恐懼心理，不知從何處入手，或者一部分同學(xué)知道從何處入手，卻由于思維混亂導(dǎo)致分類、計(jì)算出現(xiàn)問(wèn)題，從而使前一部分的努力付之東流。復(fù)合方程從本質(zhì)上說(shuō)就是把一個(gè)函數(shù)整體藏入另一個(gè)函數(shù)的自變量中，在解決復(fù)合方程根的分布問(wèn)題中，最常用到的就是轉(zhuǎn)化思想。轉(zhuǎn)化思想在處理問(wèn)題時(shí)，把待解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化變?yōu)橐活惾菀邹D(zhuǎn)化的常見(jiàn)問(wèn)題。將復(fù)雜的復(fù)合方程轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的一元二次方程進(jìn)行求解，從而使得原問(wèn)題巧妙解決。

我們來(lái)看以下這個(gè)例子：

例題：已知函數(shù)若關(guān)于x的方程f2（x）-有8個(gè)不等根，求a的取值范圍。

分析：由于這道題涉及8個(gè)不等根，學(xué)生在解題過(guò)程中很容易無(wú)從下筆，一方面是因?yàn)椴荒芎芎玫乩斫忸}意，另一方面未想到將復(fù)合方程轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的一元二次方程。

解法1：在這里我們可以令 =t，即由圖1知，要使+a=0這個(gè)方程有8個(gè)不等根，即要求在（1，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的根。

圖1

則a要滿足條件

得出

解法2：該方程在（1，2）內(nèi)有兩個(gè)不相等的根。

令在（1，2）上有2個(gè)交點(diǎn)，如圖2，得出

圖2

這道復(fù)合方程根的分布問(wèn)題無(wú)論是從解法1還是從解法2去分析，都巧妙運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將復(fù)合方程轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的一元二次方程，然后通過(guò)一元二次方程根的分布問(wèn)題的一般解法進(jìn)行解決。此類題目看似無(wú)從下手，實(shí)則簡(jiǎn)單，只要能夠巧妙運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想將其轉(zhuǎn)化成常規(guī)題，即可以化難為易。轉(zhuǎn)化思想就是要求我們換一個(gè)角度去處理問(wèn)題，以使問(wèn)題朝著有利于解決的方向不斷變更，把同一問(wèn)題用不同的形式在不同的水平上轉(zhuǎn)化出來(lái)，轉(zhuǎn)化就如同“翻譯”，通過(guò)“翻譯”，不僅使我們對(duì)能解決的問(wèn)題不再停留在解決的層面上，而且讓我們站得更高、看得更清、想得更好、表述得更簡(jiǎn)潔，做到既知道有幾種解法，又明白以怎樣的方向入手去解才是最簡(jiǎn)單的。

[1]俞觀根.一元二次方程根的分布問(wèn)題解法上的探究[J].黃山學(xué)院學(xué)報(bào)，2003（2）：80.

[2]范繼榮.探究一元二次方程根的分布[J].教海探航，2011：39.

[3]杜素麗.淺談轉(zhuǎn)化思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].學(xué)周刊，2014（7）：126.